1、典型例题带电粒子在匀强电场中的运动带电粒子在电场中偏转界点的选择带电粒子射入加有电压的两平行金属板（即偏转板）之间，在其电场力作用下发生偏转，使之离开电场后打到荧光屏上有关的物理习题将综合运用电学和力学的基础知识，一般要求学生熟练掌握但由于不明确带电粒子偏转轨迹界点的选择方法，而在求解偏转板上所加电压的取值范围时，却往往出现谬误下面将通过对典型例题的分析研讨，找到避免错解的正确选择“界点”的简捷方法1 典型例题及其常见解答【例 1】如图 1 所示，水平放置且正对的两块平行金属偏转板 ab 与 ab，板长均为 I=10cm，两板间距离为 d=1cm离板右端为 L=45cm 处竖直放置一荧光屏 P
2、Q，其宽为 D=20cm，屏的中点 O恰在两偏转板间的中位线上有一电子以 v0=4010 7m/s 的水平初速度，沿中位线射入板间的匀强电场内，为使电子离开电场后能够打到荧光屏上，试求两偏转板间所加电压 U 的取值范围（设两偏转板之间为匀强电场，板缘附近的非匀强电场的影响忽略不计且设整个装置位于真空中电子的电量和质量分别为 e=1610 -19C， m=09110 -30kg）常见解答：为保证电子打到荧光屏上，应选择屏的端点为电子运动轨迹的界点，即电子恰好打在屏的 Q 端（或 P 端）然后依据电子先在匀强电场中所做的类似平抛运动和离开电场后的匀速直线运动的规律来求解，从而得出两偏转板间所加电压
3、的最大值表达式为代入数据可得 U=182V故所求电压的取值范围是：182VU 182V上述答案是错误的！其根源在于没有考虑带电粒子偏转时的“界点”，“界点”的选择不当那么，应如何正确选择电子偏转轨迹的界点呢？2 电子出射方向的规律为了便于分析，先推导电子离开偏转电场时出射方向的一般规律如同例 1，入射电子在偏转电场中做类似平抛运动的情况如图 2 所示它的两个分运动是：沿入射初速度 v0方向的匀速直线运动和沿与之垂直方向的在电场力 F=eE 作用下的初速为零的匀加速直线运动显然，对于前一分运动有（设电子在电场中运动时间为 t）典型例题对于后一分运动，电子离开匀强电场时的侧偏位移和相应的分速度分别
4、为且将（1）式代入设电子离开电场时的出射速度为 v，且设 v 相对于初速度 v0 的偏角为 ，见图 2将有将（3）式代入 在图 2 中，将电子的出射速度 v 的方向反向延长，使之与两偏转板间的中位线（实为沿电子入射速度 v0 方向的直线）相交于 O 点设其中的水平线段 Oc 为 x，在直角三角形Occ中，易得将（2）、（4）两式代入（5）式，可得从（6）式可知，电子离开电场时，其出射速度方向的反向延长线，恰好相交于电场区域内入射初速度 v0 方向上与偏转板等长线段的中点 O，即 1/2（l）。这一结果有普遍意义。掌握了电子出射偏转时的这一规律，将对解答有如例 1 等有关问题带来较大方便3 有关
5、界点的选择方法在解答上述典型例题时，要注意电子运动轨迹界点的选择是选择偏转板的边缘还是选择荧光屏的端点为界点若忽视这一点，可能陷入谬误对于这类界点的选择，可采用两种方法，即作图法和计算法31 用作图法来选择界点可找出相应的中点 O，如图 3 所示设电子恰从偏转板的 b 缘出射，连结 Ob，再顺向延长Ob（即为出射速度 v 的方向），若其延长线刚好抵达光屏的 Q 端（相应于屏 PQ 的宽 D 则典型例题为最大边界宽度）对于这一特殊情形，表明为使电子能打到荧光屏上最远点，既可选择偏转板的右缘 b 为界点，也可选择荧光屏的 Q 端为界点若屏 PQ 的竖直宽度小于其最大边界宽度，Ob 的延长线将通过
6、Q 端的下方，这说明只能选择荧光屏的 Q 端为界点若屏 PQ 的竖直宽度大于其最大边界宽度，Ob 的延长线将相交于 Q 端的上方屏内，这说明，只能选择偏转板的右缘 b 为界点用上述作图法选择界点的优点是，非常简明直观，可谓一目了然，且便于学生理解这类问题的物理情景但一般题目的附图只是示意图，它并没有严格按已知的各线度比例来描绘，若在原示意图上施用作图法来选择界点，就可能造成失误若重新绘制正规图，又很不方便因此，于这类问题界点的选择，宜着重于计算法32 用计算法来选择界点在图 3 中，因电子恰从偏转板的右缘 b 出射，则它相对于入射方向的出射偏角最大在直角三角形 Ocb 中，相应偏角，即cOb
7、用 表示则有而出射电子又刚好打到屏的下端 Q，在直角三角形 OOQ 中，相应偏角，即OOQ，用表示则有（7）、（8）两式不必化简，便于联系图示记忆在图 3 所示的特殊情形下，因=，故有tg =tg （9）易知，为使电子能打到荧光屏上，如果满足（9）式，既可选择偏转板右缘 b 为界点，也可选择荧光屏的 Q 端为界点从（7）、（8）两式可知，若两偏转板间的距离 d、板长 l、荧光屏与偏转板右端距离L 和屏宽 D 发生变化，将可能出现tg tg ，（10）或 tg tg （11）典型例题联系上述作图法所显示的物理情景，并结合与偏角 、 分别对应的直角三角形，将不难推理，如果满足（10）式，可得 ，则
8、选择荧光屏端点 Q 为界点；如果满足（11）式，可得 ，则选择偏转板右缘 b 为界点可见，只要依（ 7）、（ 8）两式算出 tg 与 tg 之值，再依（9）、（10）和（11）三个判别式，就能迅速准确选择电子运动轨迹的界点掌握了有关界点的选择方法，上述典型例题的错解将易于纠正4 典型例题的正确解答前面例 1 的正确解法如下：首先依据上述判别式来选择电子运动轨迹的界点先假设偏转板的右端 b 为界点，即依（7）式（且代入数据）可得再假设屏的下端 Q 的界点，即依（ 8）式可得可见，tg tg ，故宜选择偏转板右缘 b 为界点，如图 4 所示在此，电子离开电场时的侧偏位移为再依“类似平抛运动”规律所
9、导出的上述（2）式（在此推导从略）和（12）式，将不难得出加在两偏转板间的临界电压为将已知量代入（13）式得：U=91V典型例题当加在两偏转板间电压的正负极性变换后，运动电子将向上偏转同理可得下板与上板间的临界偏转电压为：U=91V则所求的两偏转板间所加电压的取值范围是91VU91V可见，此例的“常见解答”由于界点错选在荧光屏的 Q 端，所得结果相差甚远为加深对这类问题的理解，不妨再举两例【例 2】在例 1 中，若荧光屏的竖直宽度变为 D=8cm，其余条件不变，其答案将如何？解：首先选择电子运动轨迹的界点分别假设偏转板 b 缘和屏的 Q 端为界点，即依（7）、（8）两式可分别得显然，tg tg
10、 ，故宜选择荧光屏 Q 端为界点，如图 5 所示据含偏角 的两直三角形相似，对应边成比例得据（2）、（14）两式，可得临界偏转电压为将已知量代入（15）式得：U=728V典型例题与例 1 正解同理，相应于所求电压的取值范围是：728VU 728V【例 3】 在例 1 中，若两偏转板间的距离变为 d=3cm，且荧光屏的竖直宽度变为D=30cm其余条件不变，其答案将如何？解：首先选择电子运动轨迹的界点分别假设板 b 缘与屏 Q 端为界点，即据（7）、（8）两式可分别得可见，tg =tg ，故可选择 b 缘或 Q 端为界点若选择 b 缘为界点，据例 1 正解中导出的（13）式（且代入数据）可得若选择 Q 端为界点，据例 2 解答中导出的（15）式（且代入数据）可得与例 1 正解同理，可得所求偏转电压的取值范围是：819VU 819V由此可见，掌握了上述电子出射电场的方向规律以及由此而演绎得出的有关界点的选择方法，解答此类问题，真谓轻车熟路
