1、分类号：O175.8 密 级：公 开U D C ： 单位代码： 10424学位论文几类非线性微分方程边值问题的解黄玉梅申请学位级别：硕士学位 专业名称： 应用数学指导教师姓名：高德智 职 称： 教 授山东科技大学二零零八年五月论文题目：几类非线性微分方程边值问题的解作者姓名： 黄玉梅 入学时间： 2005年 9月专业名称： 应用数学 研究方向：函数论与应用泛函分析指导教师： 高德智 职 称： 教 授论文提交日期：2008年 5月论文答辩日期：2008年 5月授予学位日期：EXISTENCE OF SOLUTIONS FOR SOME NONLINEARDIFFERTIAL EQUATIONS
2、BOUNDARY VALUEPROBLENSA Dissertation submitted in fulfillment of the requirements of the degree ofMASTER OF SCIENCEfromShandong University of Science and TechnologybyHuang YumeiSupervisor: Professor Gao DezhiCollege of information science and EngineeringMay 2008声 明本人呈交给山东科技大学的这篇硕士学位论文，除了所列参考文献和世所公认的
3、文献外，全部是本人在导师指导下的研究成果。该论文资料尚没有呈交于其它任何学术机关作鉴定。硕士生签名：日 期：AFFIRMATIONI declare that this dissertation, submitted in fulfillment of the requirementsfor the award of Master of Philosophy in Shandong University of Science andTechnology, is wholly my own work unless referenced of acknowledge. Thedocument ha
4、s not been submitted for qualification at any other academicinstitute.Signature:Date:山东科技大学硕士论文 摘要摘要非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，它是人们在研究古典和现代物理学、医学、生物学的过程中发展起来的，为解决当今科技领域中出现的各种非线性问题提供了丰富的理论依据。近年来，非线性泛函分析已经成为研究物理、航空航天技术、生物技术中非线性问题的一个重要的工具，所以，非线性泛函分析理论的研究及完备化具有非常重要的意义。国内外许多研究学者都对非线性问题的研究做了大量的工作，1921年，L. E. J
5、. Brouwer对有限维空间建立了拓扑度概念。1934年，J.Leray和 J.Schauder将这一概念推广到 Banach空间的全连续场。后来，E. Rothe，M. A. Krasnoselskii，P. H. Rabinowitz, H. Amann，V.Lakshmikantham，K. Deimling等对拓扑度理论，锥理论及其应用进行了深入的研究。国内许多著名的数学家，如张恭庆教授、陈文源教授、郭大钧教授、孙经先教授等在这一领域都做过很深刻的工作。本文主要是运用非线性泛函分析中的拓扑度理论和上下解方法研究了几类非线性微分方程边值问题解的存在性。第一章，阐述了非线性泛函方法的发展
6、历程及其现阶段的研究进程，给出了本文中要用到的一些与上下解方法及迭合度方法有关的概念及定理，最后介绍了本文的主要工作。第二章，运用上下解方法和 Leray-Schauder度理论讨论了一类二阶非线性三点边值问题三个解的存在性结果。第三章，讨论了一类二阶四点边值问题，运用上下解方法和不动点理论得到问题三个正解的存在性结果，并利用拓扑度理论对解的存在区域进行了估计。第四章，运用上下解方法和极大值原理讨论了一类四阶奇异边值问题的正解的存在性。关键词：边值问题，上下解，不动点，拓扑度，边界条件，多解，奇异边值问题，极大值原理。1山东科技大学硕士论文 AbstractAbstractNonlinear
7、functional analysis is an important branch of modern mathematics, it isdeveloped by people in the study of classical and modern physics, medicine, biology etc.Nonlinear functional analysis provides an effect theoretical tool for studying many nonlinearproblems.In recent years, the nonlinear function
8、al analysis has become an important tool in theresearch of nonlinear problems of physical, aerospace technology and biological technology.Therefore, the research of nonlinear functional analysis theory has extremely importantsignificance. Some domestic and foreign scholars have done massive work to
9、the nonlinearanalysis. L. E. J. Brouwer had established the conception of topological degree for finitedimensional space in 1912. J.Leray and J.Schauder had extended the conception to completelycontinuous field of Banach space in 1934. Afrer, E. Rothe, M. A. Krasnoselskii, P.H.Rabinowitz, H. Amann,
10、V. Lakshmikantham, K. Deimling had carried on research ontopological degree and cone theory. Same well known mathematicians, Zhang Gongqing, ChenWenyuan, Guo Dajun, Ma Ruyun, Sun Jingxian etc, have great works in various fields ofnonlinear functional analysis.This article studies some multi-point bo
11、undary value problems by topological degreetheory and method of upper and lower solutions.In chapter 1, we introduce the development of nonlinear functional method and theadvancement of present stage, give some related conceptions and theorems, finally, weintroduce the main work of this master thesi
12、s.In chapter 2, via the method of upper and lower solution and the Leray-Schauder theory,we show the existence of triple positive solutions for a kind of second-order three pointboundary value problem.In chapter 3, we discuss a kind of second-order four point boundary value problem , viathe fixed-po
13、int theorem, we obtain the existence of at least three solutions of the four pointboundary value problem in the presence of two upper and lower solutions, and estimate theexistence regions of the solutions.2山东科技大学硕士论文 AbstractIn chapter 4, we use the maximum principle to discuss the existence of sol
14、utions for akind of four-order singular boundary value problem.Keywords: Boundary value problem, Upper and lower solutions, Fixed point, Topologicaldegree, Boundary conditions, Multiple solutions, Singular boundary value problem, Maximumprinciple.3山东科技大学硕士论文 目录目录1绪论11.1非线性泛函的发展及研究现状11.2相关预备知识及定理21.3
15、本文的主要工作72二阶三点边值问题的多解存在性102.1预备知识102.2主要结果113二阶四点边值问题三个解的存在性173.1预备知识173.2主要结果194一类四阶奇异边值问题正解的存在性244.1引言244.2预备知识254.3主要结果29参考文献38附录：攻读硕士期间主要成果41致谢42山东科技大学硕士论文 contentsContents1 Introduction11.1 The background of nonlinear analysis 11.2 The preliminaries and theorems 21.3 Main result in this paper 72
16、 Existence of multiple solutions of a second-order three-point boundary valueproblem102.1 Preliminaries 102.2 The main result 113 Existence of three solutions for some second-order four-point boundary valueproblems173.1 Preliminaries 173.2 The main result 194 Positive solutions of a class of singula
17、r boundary value problems of fourth orderdifferential equations244.1 Introduction 244.2 Preliminaries 254.3 The main result 29Reference38Appendix: Main Work Achievement of the Author during Working on Master41Thanks42山东科技大学硕士学位论文1.1 1 绪论非线性泛函的发展及研究现状绪论非线性泛函分析是二十世纪二三十年代发展起来的一个数学分支，到五十年代已初步形成了理论体系。由于无
18、穷维空间框架中，处理分析学的非线性问题的方式有着无穷的潜力，近年来，非线性泛函分析已经成为研究物理、航空航天技术、生物技术中非线性问题的一个重要的工具。1870年，非线性泛函的一个伟大先驱 Poincare开创了非线性分析的一个新方向。他在分歧理论、大范围变分、拓扑方法在研究常微分方程组周期解的应用中，都引入了新的概念。较早时候的 Picard把逐次逼近的思想引人非线性分析，这个思想是 Cauchy强函数法的自然延伸。1912年，L. E. J. Brouwer对有限维空间建立了拓扑度概念。随后，S.Banach在 1920年的论文中，把 Picard的逐次逼近的思想引人非线性分析，推广到压缩
19、映象原理，这篇文章标志着非线性分析的诞生。1930年，J.Schauder利用 Birkohoff等人在 1922年发表的文章“函数空间的不动点” 中的方法得到了 Schauder不动点定理。1934年，Leray和 Schauder将上述方法提炼到理论高度，提出了全连续算子的拓扑度理论。至此，非线性分析初步建立。近几十年，非线性泛函分析的理论体系不断得到完善，相继产生了许多研究方法，如拓扑方法、变分方法、解析方法、单调方法以及半序方法。拓扑方法建立并应用到微分方程的可解性研究。变分方法形成，其依据的基本结论为“自反空间有界凸闭集上的弱下半连续泛函必达到极值”。解析方法主要用反函数，隐函数来研
20、究算子。半序方法的产生，使得人们开始用单调方法和锥理论来研究非线性增算子的性质。非线性泛函分析作为处理许多非线性问题的重要理论依据，在处理应用数学提出的各种非线性积、微分方程和偏微分方程中发挥着不可替代的作用。目前，解析方法和单调方法都日渐成熟。随着科学技术日新月异的发展，要求分析和控制客观现象的数学能力向着富有全局性的高、精水平发展，更多更新的非线性问题大量涌现，从而使非线性分析成果不断积累。近年来，郭大钧教授及其学生孙经先、刘兆理等诸位博士在利用非线性泛函分析来研究常微分方程解的方面做了大量工作，获得了许多研究成果，这些成果是单纯用数学1山东科技大学硕士学位论文 绪论分析办法无法得到的，从
21、而具有特色。例如，利用拓扑度理论、半序方法以及临界点理论来获得常微分方程多个解的存在性以及对各个解的存在区域的估计；在方程右端不具连续性情况下以及在方程具有反向的上解和下解情况下，讨论常微分方程解的存在性问题；利用不动点理论及单调迭代法来研究脉冲常微分方程最大解和最小解的存在性及迭代求解法；利用迭合度理论来求解二阶常微分方程两点边值问题，等等。郭大钧教授在专著1中对非线性泛函分析的几个重要课题及其应用都作了系统地概括和总结。这里面包括：某些经典的非线性算子，Hammerstein型积分方程、常微分方程和偏微分方程、锥理论及非线性算子方程的正解、非线性算子拓扑度和不动点以及固有值、解的个数等等。
22、专著2讨论了各种各样的积分方程解的存在性。专著3中利用锥理论讨论了多种非线性问题，主要是近些年来发展起来的新成果。专著4的内容非常丰富，包括了非线性泛函分析这一领域各个方面的成果。抽象空间中的常微分方程是近二三十年来发展起来的一个新的数学分支，它把微分方程理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函分析的方法来研究抽象空间的微分方程，郭大均和孙经先教授合著的文献5使这一课题的集大成之作，概括了 Banach空间常微分方程理论。文献6全面综述了抽象空间中非线性微分方程的各个分支的内容，包括了证明解的存在性时的方法以及解的某些性质。爱尔兰著名的数学家 ORegan D.在专著7中对非线性常微分方程奇异边值
23、问题作了系统而详细地论述。1.2 相关预备知识及定理研究微分方程解的存在性问题，需要用到锥、半序区间、算子的上下解、不动点、拓扑度、迭合度等基本概念，下面列出相关概念及定理结论，摘引自文献189等。定义 1.2.1 E是 Banach空间， P是 E中的非空闭集。如果 P满足()任给 x, y P， 0， 0，有 x y P；()若 x P， x 0，则 x P；则称 P是 E中的锥。设给定 E中的锥 P。对 x E, y E，如果 y x P，则记 x y。容易验证，按这种方法定义的“”具有下列性质：2则A在D中必有最小不动点x和最大不动点y(即x 和y都是A的不动点，并且若山东科技大学硕士
24、学位论文 绪论() x y；()若 x y， y z，则 x z；()若 x y， y x，则 x y。因此，按这种方式引入的“”定义了 E中的一个半序。并称按这种方法定义的半序空间是半序 Banach空间。设 M是 Banach空间 E中的子集，如果 M中的任一序列， xn 都有子列x ni 收敛于某 x E，这里不要求 x M，则称 M是 E中的相对列紧集。定义 1.2.2设 P是 E中的锥，若存在常数 N 0，使当 x y时必有 x N y，则称P是正规锥，其中 N成为 P的正规常数。定理 1.2.1设 E是 Banach空间， P是正规锥， M是 E中的全序集 (即任给 x M，y M
25、， x y和 y x必有一个成立)，则 M是相对列紧集的充分必要条件是： M是相对弱列紧集。定义 1.2.3设 E是半序 Banach空间， D E， A : D E是一个算子。若 x D， y D，x y蕴含着 Ax Ay，则称 A是一个增算子。定义 1.2.4设 E是半序 Banach空间， D E， A : D E 是一个算子。如果 x0 D满足x0 Ax0则称 x0是算子方程 x Ax的一个下解，简称 x0是 A的下解；如果 y0 D满足Ay0 y0则称 y0是算子方程 x Ax的一个上解，简称 y0是 A的上解。定理 1.2.2设 E是半序 Banach空间， x0 , y0 E，
26、x0 y0， D x0 , y0 ， A : D E是一个算子，设下列条件满足() A是增算子；( ) x0是 A的下解， y0是 A的上解；() B是次连续算子， C是连续算子；() A(D) 是 E中的相对列紧集，3则A在D中必有最小不动点x和最大不动点y ，并且若分别以x 0和y0为初始元素，作山东科技大学硕士学位论文 绪论z E也是 A的不动点，则必有 x z y )；并且若分别以 x0和 y0为初始元素，作迭代序列：xn Axn1， yn Ayn1， n 1,2,3则有 x0 x1 x2 xn yn y2 y1 y0xn x ， yn y 定理 1.2.3设 E是半序 Banach空
27、间，其半序由锥 P导出， x0 , y0 E， x0 y0，D x0 , y0 ， A : D E是一个算子，设存在另一个半序 Banach空间 E1，(其半序由 E1中的锥 P1导出)及算子 B : D E1，算子 C :Bx0 , By0 E，使得A CB并且满足下列条件：() B和 C是增算子；() x 0是 A的下解， y0是 A的上解；() A是连续算子；() P1是 E1中的正规锥， B D是 E1中的相对弱列紧集；迭代序列：xn Axn1， yn Ayn1， n 1,2,3则有 x0 x1 x2 xn yn y2 y1 y0xn x ， yn y 注 1.2.1在定理 1.2.2
28、、定理 1.2.3中我们假定了 A的上解 y0和下解 x0满足 x0 y0，如果 A的上解 y0和下解 x0满足 x0 y0，则称 A满足正向上下解条件。目前关于正向上下解条件已有了广泛的研究和应用。但在许多情况下正向上下解条件不能满足。如果 A的上解 y0和下解 x0不满足 x0 y0，而满足相反的条件 x0 y0 (即 y0 x0 P )，则称 A满足反向上下解条件。4山东科技大学硕士学位论文 绪论注 1.2.2定理 1.2.2、定理 1.2.3的特点在于用 A的上解和下解的存在性保证方程x Ax的解的存在性。利用上解和下解的性质来研究算子方程和各种具体方程解的性质，这就是上下解方法。目前
29、这一方法已成为非线性泛函分析的基本方法之一，也是研究常微分方程和其他许多类微分方程和积分方程的重要工具。定理 1.2.4 (Arzela-Ascoli定理)集合 M C J , R1相对列紧的充分必要条件是：()集合 M中的函数一致有界，即存在常数 K 0，使得对一切 u ut M，都有ut K， t J；()集合 M中的函数等度连续，即对任给 0，存在 0，使得当 t1 J，t2 J， t1 t2时，对任给 u ut M，都有 ut1 ut2。定义 1.2.5设是 R n中的有界开集， f C , R n， P R n / f，取 g C 2 , R n满足sup f x g x inf f
30、 x P，则 P R n / g。令deg f , P deg g , P则 deg f , P称为 f在上关于 P的 Brouwer度。定理 1.2.59 Brouwer度具有下列性质：( )同伦不变性：设 H :0,1 R n连续，并且对任给 t0,1， x，有Ht, x P，则deg Ht , , P =常数， 0 t 1。()区域可加性：设 1,2，都是 R n中有界开集，12 ，并且对任给x 12，都有 f x P，则必有deg f , P deg f ,1, P deg f ,2 , P。()切除性：设 1是 R n中有界开集，并且对任给的 x 1，都有 f x P，则必有deg
31、f , P deg f ,1, P。5山东科技大学硕士学位论文 绪论()平移不变性： deg f , P deg f P,。()正规性：若 P，则 deg I , P 1，这里 I是单位算子。()可解性：若 deg f , P 0，则方程 Ax x在中有解。定义 1.2.6设 E1， E2是两个 Banach空间， D E1， A : D E 2。()如果 A将 D中任何有界集映成 E2中的有界集，则称 A是映 D入 E2的有界算子。()如果 A将 D中任何有界集映成 E2中的列紧集，则称 A是映 D入 E2的紧算子。()如果 A既是映 D入 E2的连续算子，又是映 D入 E2的紧算子，则称
32、A是映 D入 E2的全连续算子。定义 1.2.7设是实 Banach空间 E中的有界开集， A : E 全连续，令 f x x Ax，x，设 P E f，则 inf f x P 0。取 E的有限维子空间 E1，以及连续有x界算子 A1 : E1，满足 P E1，并且Ax A1x ,x令 1 E1， f1 x x A1x，则 f1 :1 E1连续，并且 P E1 f11，因此 Brouwer度 deg f1,1, P有定义。令deg f , P deg f1,1, P则称 deg f , P为全连续场 f在上关于 P的 Leray-Schauder度。定理 1.2.69 Leray-Schaud
33、er度具有下列性质：()同伦不变性：设 H :0,1 E 全连续，令 ht x x Ht, x，若 P E ht， 0 t 1，则 deg ht , P =常数， 0 t 1。()区域可加性：设 1,2，都是 E中有界开集，12 ，并且对任给x 12，都有 f x P，则deg f , P deg f ,1, P deg f ,2 , P。()切除性：设 1是 E中有界开集，并且对任给的 x 1，都有 f x P，6中必具有不动点，即存在x D，使Axx。山东科技大学硕士学位论文 绪论则deg f , P deg f ,1, P。()平移不变性： deg f , P deg f P,。()正规
34、性：若 P，则 deg f , P 1。()可解性：若 deg f , P 0，则方程 Ax x在中有解。定理 1.2.7设 X是实 Banach空间 E的一个收缩核， X1是 X的一个有界凸收缩核， V是 X的非空开集且 VX1，又设 A : X1X全连续， A X1X1，并且 A在 X1 V上没有不动点，则必有 i A, V, X1。定理 1.2.8（Schauder 不动点定理）设 D是 E的有界凸闭集， A : D D全连续，则 A在 D1.3 本文的主要工作本文主要利用不动点定理，上下解方法，拓扑度理论等研究一些非线性微分方程边值问题的解的存在性与多解性。借助算子分解技巧和已有的关于
35、二阶微分系统的极大值原理和上下解方法，建立高阶微分方程的极大值原理,上下解方法，并用于解的存在性研究。在第一章中，介绍了非线性泛函的发展及其研究现状，给出了用非线性泛函方法研究边值问题用到的一些定理及相关概念。在查阅相关文献资料的基础上，具体介绍第二章至第四章中的几类非线性微分方程边值问题解的存在性。本文第二章中，受文献19和22 的启发，参考文献19中讨论二阶两点边值问题的方法，研究了一类二阶三点边值问题解的存在性，运用上下解方法和 Leray-Schauder度理论，讨论二阶三点边值问题 x(t ) f (t, x(t), x(t ) 0, t I 0,1, x(0) 0, x(1) x(
36、 ).其中 0 1， 0 1， f : I R 2 R是一个连续函数。7(1.3.1)x(0)x(1)0,定理4.3.1设(F)成立，则上述四阶奇异边值问题有C0,1 正解的充分必要条件为山东科技大学硕士学位论文 绪论给出边值问题的两个上解和两个下解，且满足 1 2， 1 2， 21，这里不需要 21从而弱化了下解 2和上解 1满足的条件。我们在如下假设下(A1)1 , 2和 1,2分别是边值问题(1.3.1)的两个严格下解和两个严格上解,并且在0,1上,满足 1 22 ,112 , 21；(A2) ft, x, y : I R 2 R是一个连续函数；(A3) f在(t, x) : 1 (t)
37、 x2 (t), t (0,1)上满足 Nagumo条件；(A4) 2 ,1不是边值问题(1.3.1)的解；得出边值问题(1.3.1) 至少有三个解 x1 , x2 , x3，且在0,1上满足 1 x11 , 2 x2 2 ,x31 , x3 2，并对结论进行了证明。本文第三章中讨论二阶四点边值问题 x(t ) f (t, x(t ), x(t ), t I 0,1 ,x(0) ax( ), x(1) bx( ). (1.3.2)其中 0 1 , 0 a, b 1，且 f : 0,1 0, 0,是连续的。本节在第二章的基础上研究二阶四点边值问题解的存在性问题，我们利用下解 1和上解 2构造了一
38、个辅助函数 F (t, x(t ), x(t )，使得到的 F (t, x(t ), x(t )是连续有界的，并且代替原问题中的 F (t, x(t ), x(t )后得到一个与边值问题 (1.3.2)同解的新的问题，通过讨论新的边值问题，应用文献27、28 和35中的一些结论，证明了方程多个解的存在性，并由拓扑度理论对解的存在区域进行了估计。本文第四章中讨论了一类四阶奇异边值问题 x (4) (t ) f (t , x(t ) , t 0,1 x(0) x(1) 0 (1.3.3)假设 f (t, x)满足一定条件(F)，使得 f关于 x是次线性的。参考30和31等文献中研究四阶奇异边值问题
39、的某些方法，考虑了上述四阶奇异边值问题(1.3.3)解的存在性。利用上下解方法及相应的极大值原理证明了下面两个定理的成立。280t(1t)f(t,t2(1t)dt2定理4.3.2设(F)成立，则上述四阶奇异边值问题有C0,1 正解的充分必要条件为0f(t,t2(1t)dt2山东科技大学硕士学位论文 绪论103109其中f:I RR 是一个连续函数。定义2.1.1如果 (t)C(I)满足1山东科技大学硕士学位论文 2二阶三点边值问题的多解存在性二阶三点边值问题的多解存在性2.1 引言及预备知识本章讨论如下二阶非线性三点边值问题x(t ) f (t, x(t ), x(t ) 0， t I 0,1
40、x(0) 0 x(1) x( )， 0 1， 0 1(2.1.1)(2.1.2)2关于二阶两点和二阶三点边值问题，受到了许多学者的广泛关注，取得了很多研究成果，参见文献10-18及相关文献。在文献11,12中，蒋达清教授运用上下解方法，在方程(2.1.1)满足 Dirichlet边界条件且 f满足超线性的条件下，研究了方程 (2.1.1)在 x 0，t 0 , t 1处有奇性的解的存在性。在文献 13,14中，Bonannao和 Candito应用修正的极小值原理分别研究了问题 x(t ) f ( x(t ) 0， x(0) x(1) 0和 x(t ) f (t, x(t ) 0 ,x(0)
41、x(1) 0的三解存在性。在 13-16中，非线性项 f均不含导数项 x。本节将运用上下解方法和 Leray-Schauder度理论来研究二阶三点边值问题(2.1.1),(2.1.2)，得到了三个解的存在性结果。特别的，我们给出边值问题(2.1.1),(2.1.2) 的两个上解 1 , 2和两个下解 1 , 2，在0,1上满足 1 2 ,1 2和 21。在本文中，我们不需要 1 2这个较强的条件，只需 21即可，从而减弱了下解 2与上解 1满足的条件。在本文中，我们将用到以下几个空间 C0,1， C10,1， C 20,1和 L10,1。对于x C10,1，定义范数 x max x : t0,1， x max x , x，定义 Sobole空间W 2,1 0,1为W 2,1 (0,1)x :0,1 R x, x在0,1 上是绝对连续的，且 x L 0,1。210山东科技大学硕士学位论文 二阶三点边值问题的多解存在性(t ) f (t , (t ),(t ) 0 , 0 t 1 (2.1.3) (0) 0, (1) ( ) (2.1.4)则称 (t)是边值问题(2.1.1)(2.1.2)的下解；如果 (t) C 2 (I )满足( t ) f ( t , ( t ),( t ) 0 , 0 t 1 (2.1.5
