1、第 7 章双线性变换下的结构特性的化映射7.1 导论在这一章中，我们要全面地给出一般的线性多变量系统在双线性和逆双线性变换下的结构特性的映射特性。我们将深入地探讨在双线性（逆双线性）变换下，一般的线性时不变多变量连续时间（离散时间）系统的有限和无限零点结构，以及可逆性结构是如何映射到离散时间（连续时间）系统的相应结构。和这一章相似的内容已经包含在本书第一作者以前的专著22中，那里应用了双线性变换和它们的结构映射特性的结果来求一般的 Riccati 方程的解和离散时间 控制问题。但是在这一章中，我们要做的实际上是建立线性系统理论在连续时间域和离散时间域之间的桥梁。在第 8 章就会看到这一章的结果
2、对解决另一个线性系统问题也是有用的，即离散时间系统的分解。双线性和逆双线性变换在数字控制和信号处理中得到广泛应用。在22中已经证明双线性变换在离散时间 控制的极优值计算，以及在寻找离散时间 Riccati 方程解中起着重要作用。这一章的结果最早出现在 Chen 和 Weller 30中。实际上，对连续时间到离散时间模型转换的需求出现在许多工程领域，包括采样数字控制系统设计，数字信号处理。因此有许多离散化过程，包括输入的零阶和一阶保持器输入近似，脉冲不变变换，双线性变换（见7和55） 。尽管双线性变换得到广泛应用，但是文献中关于连续时间系统的关键结构特性如何过渡到离散时间系统关键特性的全面研究却
3、比较缺乏，如有限和无限零点结构，可逆特性。我们知道无限和有限零点结构在控制系统设计中发挥重要作用，正确地理解双线性变换下的零点结构有助于设计采样数字控制系统，并且是对现有的零阶保持采样下的有限和无限零点结构映射的一种补充（参见6和60） 。在这一章中，我们全面地的研究在众所周知的双线性（逆双线性）变换下，一般的连续时间（离散时间）线性时不变系统的结构是如何映射到离散时间（连续时间）系统的，即有限和无限零点结构，可逆结构，以及几何子空间。7.2 连续到离散时间系统的映射在这一节中，我们考虑以下一个连续时间线性时不变系统 ，表示为其中 ， ， ， ， ， 和 是具有适当维数的矩阵。不失一般性，我们
4、假设矩阵 和 都是满秩的， 有传递函数我们现在对上面的连续时间系统应用双线性变换，用来代替（7.2.2）中的 ，其中 是采样周期。如同（7.2.3）所示，双线性变换常称为 Tustin 近似7 ，而选择就产生了预畸变（Pre-warped）Tustin 近似，此时连续时间和离散时间的频率响应在频率处相等。这样就得到离散时间系统下面的引理给出了 的直接状态空间实现，55中有相似的结果。引理 7.2.1 在双线性变换（ 7.2.3）下， （ 7.2.1）的连续时间系统 的离散化结果 的一个状态空间实现为其中或或很显然，在 这里我们 明显地 假设 在 处没有特征值。证明 首先很容易验证如果我们引入
5、，则可得是 的状态空间实现，因此把（7.2.12）代入（7.2.10）可得因此有引理 7.2.1 的结果。 下面的定理建立了 和 结构特性之间的相互联系，是这一章的核心内容。证明非常繁琐，所以为了清晰起见放在 7.4 节中。定理 7.2.1 考虑（ 7.2.1）的连续时间系统 ，由四元组 来表示，其中 在没有特征值。在双线性变换（ 7.2.3）下， （ 7.2.6）的离散时间系统 由（ 7.2.7）的四元组 来表示。我们有以下的特性：1 的可控（可 镇 稳 定）和可观（可检测）性：（ a） 对是可控（可 镇 稳 定）的，当且仅当 对是可控（可 镇 稳 定）的。（ b） 对是可观（可检测）的，当
6、且仅当 是可观（可检测）的。2非奇异状态，输出和输入变换，以及状态反馈和输出馈入律下的结果：（ a）对任何给定的非奇异状态，输出和输入变换 ， 和 ，四元组是连续时间系统在双线性变换下所对应的离散时间系统。（ b）对于任何使得 在 没有特征值的 ，定义一个非奇异矩阵和一个定常矩阵则在（ 7.2.3）的双线性变换下，一个用表示的连续时间系统 就被映射成由所表示的离散时间系统 。我们注意到 是 在增益矩阵 为状态反馈律下所形成的闭环系统； 是 在增益矩阵 为状态反馈律下，以及非奇异输入变换 所形成的闭环系统。（ c）对任何使得 在 没有特征值的 ，定义一个非奇异矩阵和一个定常矩阵则在（ 7.2.3
7、）的双线性变换下，一个用所表示的连续时间系统 被映射一个由所表示的离散时间系统 。我们注意到 是 在增益矩阵 为输出馈入律下所形成的的闭环系统； 是 在增益矩阵 为输出馈入律，以及非奇异输出变换 所形成的闭环系统。3 的可逆和结构不变指数 和 列：（ a） ， 。（ b） 是左（右）可逆的，当且仅当 是左（右）可逆的。（ c） 是（不是）可逆的，当且仅当 是（不是）可逆的。4 的不变零点以及与此相关的结构由下面两个部分组成：(a)令 的无限零点结构（阶次大于 0）为则 是 的一个不变零点，具有重数结构（ b）令 是 的一个不变零点，具有重数结构则 是离散时间系统 的一个不变零点，具有重数结构5
8、 的无限零点结构由以下两部分组成：（ a）令 ， 是 的阶次大于 0 的无限零点总数，同时令 为在 的不变零点的几何重数，则我们有 。（ b）令 为给定连续时间系统 的一个不变零点，具有重数结构则离散时间系统 有一个无限零点结构（阶次高于 0）6几何子空间的映射满足：（ a）（ b） 。证明 见第 7.4 节。 我们有下面两个有趣的推论。第一个是关于 的最小和非最小相位特性，而第二个则是当采样周期 趋向于零时（或等价地当 ） 的渐近性质。推论 7.2.1 考虑一个连续时间系统 和在双线性变换（ 7.2.3）下所对应的离散时间系统，则根据定理 7.2.1 中的 4（ a）和 4（ b） ，有1
9、的所有不变零点都在单位圆内，当且仅当 的所有不变零点都在开左半平面，并且没有阶次高于 0 的无限零点；2 在单位圆上有不变零点，当且仅当 在虚轴上有不变零点，和 /或 至少有一个阶次高于 0 的无限零点；3 在单位圆外有不变零点，当且仅当 在开右半平面有不变零点。推论 7.2.2 考虑连续时间系统 和在双线性变换（ 7.2.3）下所对应的离散时间系统 。则根据定理 7.2.1，当采样周期 趋于零（但是不为零）时， 有以下的渐近特性：1 没有高于 0 阶的无限零点，即从输入到输出没有延迟；2如果 具有任何高于 0 阶的无限零点，则 在 有一个具有适当重数结构的不变零点。3如果 还有剩余的不变零点
10、的话，则趋向于 点。有趣的是，和 的稳定的不变零点相对应的 的不变零点总是稳定的，并从单位圆内趋向于 点。反过来，和 的不稳定的不变零点相对应的 的不变零点总是不稳定的，并且从单位圆外趋向 点。最后， 的虚轴上的不变零点总是被映射到单位圆上，趋向点。下面的例子演示了定理 7.2.1 的结果。例 7.2.1 考虑一个连续时间系统 ，四元组 为和我们注意到上面的系统 已经是定理 5.4.1 的特殊坐标基的形式了。而且 是可控，可观和可逆的，有一个 0 阶的无限零点，和一个 2 阶的无限零点，即 。系统在 和 分别有两个不变零点，具有结构 和 。1如果 ，我们得到一个离散时间系统 ，由矩阵四元组 表
11、示，其中利用87的工具箱，我们发现 确实是可控，可观和可逆的，有一个 0 阶的无限零点，和一个 3 阶的无限零点，即 。 在 和 也分别有两个不变零点，具有结构 和 。2如果 ，我们得到另一个离散时间系统 ，表示为和。这个系统它是可控，可观和可逆的，有一个 0 阶的无限零点，和一个 1 阶的无限零点，即 。它在 和 也分别有两个不变零点，具有结构和 ， 。 这与是符合定理 7.2.1 的结果相符的。7.3 离散时间到连续时间系统的映射我们在这一节里给出和前一节相类似的结果，不同的是采用逆双线性变换把离散时间系统映射到一个连续时间系统。我们从离散时间线性时不变系统 开始，表示为其中 ， ， ，
12、， ， 和 是具有适当维数的矩阵。不失一般性，我们假设 和 都是满秩的矩阵， 有传递函数（7.3.2）的逆双线性变换可以用来代替 而得到，即下面的引理和引理 7.2.1 相类似，给出了 的状态空间实现。引理 7.3.1 在逆双线性变换（ 7.3.3）下， （ 7.3.1）的离散时间系统 被映射为连续时间系统 ，它的状态空间实现为其中或或这 很 显然 ，我们 假设 在 没有特征值。下面的定理类似于定理 7.2.1定理 7.3.1 考虑（ 7.3.1）的离散时间系统 ，用四元组 来表示，其中矩阵在 没有特征值。在逆双线性变换（ 7.3.3）下，等价的连续时间系统（ 7.3.5）的 由（ 7.3.6
13、）的四元组 表示。我们有下面的特性：1 的可控（可 镇 稳 定）和可观（可检测）性：（ a） 对是可控（可 镇 稳 定）的，当且仅当 对是可控（可稳定）的。（ b） 对是可观（可检测）的，当且仅当 是可观（可检测）的。2非奇异状态，输出和输入变换，以及状态反馈和输出馈入律下的结果：（ a）对任何非奇异状态，输出和输入变换 ， 和 ，四元组是离散时间系统在逆双线性变换（ 7.3.3）下所对应的连续时间系统。（ b）对任何使得 在 没有特征值的 ，定义一个非奇异矩阵和一个定常矩阵则在逆双线性变换（ 7.3.3）下，由所表示的离散时间系统 被映射到由所表示的连续时间系统 。注意到 是 在增益矩阵 为
14、状态反馈律下所形成的闭环系统； 是 在增益矩阵 为状态反馈律，以及非奇异输入变换 下所形成的闭环系统。（ c）对任何使得 在 没有特征值的 ，定义一个非奇异矩阵和一个定常矩阵则在逆双线性变化（ 7.3.3）下，由所表示的离散时间系统 被映射到由所表示的连续时间系统 。我们注意到 是 在增益矩阵 为输出馈入律下所形成的闭环系统； 是 在增益矩阵 为输出馈入律，以及非奇异输出变换 下所成的闭环系统。3 的可逆和结构不变指数 和 列：（ a） 和 。（ b） 是左（右）可逆的，当且仅当 是左（右）可逆的。（ c） 是（不是）可逆的，当且仅当 是（不是）可逆的。4 的不变零点和它们的结构有以下两部分组
15、成：（ a）令 的无限零点结构（阶次大于 0）为则 是 的一个不变零点，具有重数结构（ b）令 是 的一个不变零点，具有重数结构则 是连续时间系统 的一个不变零点，具有重数结构5 的无限零点结构由下面两个部分组成：（ a）令 ，令 为 高于 0 阶的无限零点总数，同时令 为在不变零点 处的几何重数，则有 。（ b）令 为给定离散时间系统 的一个不变零点，具有重数结构则 有一个无限零点（高于 0 阶）结构6几何子空间的映射满足：（ a） 。（ b） 。证明 类似于定理 7.2.1 的证明。 我们用下面的例子来演示上面的结果。例 7.3.1 考虑离散时间线性时不变系统 ，其它的矩阵四元组 为和同样
16、，上面的系统已经是结构分解的形式了。很容易验证 是可控，可观和退化的，即既不是是左，也不是右可逆。有两个 1 阶的无限零点，即 ，和 。它也有一个不变零点在 ，结构为。应用引理 7.3.1 的结果（其中 ）可得 的 表示为利用87的软件工具箱，现在很容易验证 是可控，可观和退化的，具有无限零点结构， 和 。而且 在 有一个不变零点，具有结构 ，和定理 7.3.1 的结果相符。最后，在结束这一节的时候，我们在图 7.3.1 中用图形的方式来总结在双线性变换和逆双现行变换下的结构映射关系。连续时间系统 离散时间系统图 7.3.1 双线性变换下的结构映射7.4 定理 7.2.1 的证明我们在这一节中
17、要给出定理 7.2.1 的详细证明。为了叙述简便和不失一般性，我们在整个证明中都假设（7.2.3）的常数 为 1，即 。我们将逐项证明这个定理。1（a） 令 是 的一个特征值，即 。如果 在 处没有特征值，以及不变零点结构不变零点结构无限零点结构无限零点结构可逆性结构可逆性结构几何子空间几何子空间是 的特征值，即 ，则很容易验证 。下面我们考虑矩阵束显然 ，所以有 1（a）的结果。1（b）和 1（a）对偶。2（a）该项的证明很显然。2（b）根据引理 7.2.1，由 所表示的 在双线性变换下的离散时间系统 由 表示，其中我们首先回顾第 2 章中的矩阵恒等式，即（2.3.14）和（2.3.15）
18、，这在推导我们的结果中会经常被用到，和接下来注意到和同时有和这样就完成了 2（b）的证明。2（c）这一项和 2(b)是对偶的。借助于特性 2（a）2（c ） ，剩余部分的证明就相当简单了。众所周知，在非奇异状态、输出和输入变换、状态反馈和输入馈入下，与有限和无限零点结构以及可逆性严格对应的结构不变 Morse 指数列是不变的。所以我们可以对 应用适当的非奇异状态、输出和输入变换、以及状态反馈和输出馈入，得到一个新的系统，比如说是 。如果在双线性变换下，这个新系统的离散时间系统是 ，则根据特性 2（a）2（c） ， 和 具有同样的结构不变特性。所以在余下的证明中，我们只需要证明 3（a）6（b）
19、是 的特性就足够了。我们首先对 应用非奇异状态、输出和输入变换 ， 和 ，使得变换后的系统是定理 5.4.1 的特殊坐标基形式，或等价地是（5.4.21）（5.4.24）的简明形式，其中和 由（5.4.29）给出， 和 由（5.4.30）给出， ， 和 由（5.4.32）给出。我们要进一步假设 已经是（2.3.39）和（5.4.34）的 Jordan 形，矩阵， ， ， ， ， 和 有如下的划分：其中矩阵 的特征值都在 ，即包含了 的剩余不变零点。进一步地假设 对是定理 4.4.1 的可控结构分解形式， 对是定理 4.3.1 的可观结构分解形式。下面定义一个状态反馈增益矩阵和一个输出馈入增益矩
20、阵这里 的选择是要抵消 的可控结构分解中的所有 ，即是所有对角元素为 0 的约当 Jordan 形。与此类似， 的选择是要使得为所有对角元素为 0 的约当 Jordan 形。同样地， 和 的选择是要使得为所有对角元素为 0 的约当 Jordan 形，这又意味着矩阵 ， ， 和 的选择是要符合（7.4.4）的 的要求，即和这总是可以实现的，因为已经假设矩阵 在 处没有特征值，这意味着 在不变零点处是可控和可观的。最后我们得到由四元组 所表示的连续时间系统 ，其中和其中 是置换矩阵，把 从它原来位置 块变得到（7.4.8）中的 块。下面定义一个子系统 ，其中和很容易验证如同（7.4.6）和（7.4
21、.7）那样选择 和 ，可使 没有特征值在 。因为 和 的全部特征值在 0， 只包含 的不变零点，不在 ，所以 也没有特征值在 。对 应用双线性变换（7.2.3） ，根据引理 7.2.1 的结果，我们得到离散时间系统 ，由四元组 表示，其中和我们下一个任务是找到适当的变换、状态反馈和输出馈入律，以便把上面的系统变换到特殊坐标系下，从而显示定理的 3（a）到 6（b）的特性。为了叙述简便，我们首先关注子系统 ，其中和利用（7.4.5）和（2.3.19） ，很容易计算其中所以其中和注意到（7.4.4）中 ， （7.4.6）和（7.4.7）中 和 的结构，我们有和因此 ， 和 变成了下面的形式：和下面
22、定义和由此可得其中和下面重新对（7.4.6）和（7.4.7）中的 和 划分如下：和 其中 和 都是最大秩的。因此可得和利用（7.4.4）和（7.4.21） ，简单地推导就可以得到和而且很容易验证，每一个由 ， 所表示的子系统，其中具有下面的特性：和根据定理 5.4.1，存在非奇异变换 ， 和 使得和我们现在回到由 所表示的 ，就是（7.4.14）到（7.4.17） 。利用刚才得到的子系统 的特性，我们现在可以定义适当的状态反馈和输出馈入增益矩阵，比如说是 和 ，还有非奇异的状态，输出和输入变换 ， 和 ，使得其中 由（7.4.22）给出，和和显然由 所表示的 和 具有同样的结构不变指数列，而
23、又和 具有同样的结构不变指数列。最为重要的是， 是 SCB 特殊坐标基的形式，我们现在可以证明定理的特性 3（a）6（b） 。3（a）首先注意到 。根据（7.4.26）到（7.4.29）以及 SCB 特殊坐标基的特性，我们知道 由矩阵对或的可控性指数给出。回顾 和 的定义：我们很容易验证的可控性指数也是由 所给出的，所以 。同样， 的证明沿用同样的路线。3（b）3（c）直接从 3（a）中推出。4（a）根据 SCB 特殊坐标基的特性， ，或等价的 的不变零点结构由 和的特征值以及相关联的约当 Jordan 块给出。特性 4（a）相应于的 的特征值，以及相关联的约当 Jordan 块。首先注意到对
24、任何 ，回顾 ， 和 的定义：和可以证明其中对 ， 为根据（7.4.30） ， 的特征值是使得的秩降到 之下的标量 。利用 的特殊形式，很显然在 中能够使 降秩的只有 。而且 ，即 只有一个线性独立的特征矢量。因此 是 的特征值，或等价地是 的不变零点，具有重数结构所以 4（a）得证。4（b）这一部分的无限零点结构对应了矩阵 的不变零点。由于是约当 Jordan 形，可直接推出特性 4（b） 。5（a）这一项的证明直接从（7.4.29）来。5（b）从（7.4.23）到（7.4.25）中的 的结构，以及 SCB 特殊坐标基的特性5.4.4 就可以推出这一项。6（a）6（b）我们令系统（7.2.1
25、）的状态空间为 ，按照 SCB 特殊坐标基分解成的子系统为进一步分解 为其中 和（7.2.1）在 的不稳定零点的零点动态相关， 和（7.2.1）剩余的不稳定零点动态相关。类似地，我们令变换后的系统（7.2.6）的状态空间为 ，按照它的SCB 特殊坐标基分解的子系统为进一步分解 为其中 和（7.2.6）在 的不变零点的零点动态相关， 和（7.2.6）剩余的在单位圆上零点的零点动态相关。然后从上面关于 1（a）到 5（b）的推导中，我们可以有以下在（7.2.1）的 和（7.2.6）的 的子系统之间的映射：注意在任意非奇异输出和输入变换下，以及状态反馈和输出馈入下，几何子空间 和是不变的，我们有和但
26、是其它的几何子空间并没有以上清晰的映射关系。这就完成了这一章定理 7.2.1 的证明。 7.5 练习7.1 考虑一个连续时间系统 ，表示为和（a）在双线性变换下计算离散时间系统 。（b）利用 线性系统工具箱 对连续时间系统 计算几何子空间， ， ， ， ， ， 和 ；对离散时间系统 计算子空间 ， ， ， ， ， 和 。（c）验证 和 。评论其它子空间的关系。7.2 证明推论 7.2.1 和推论 7.2.2。7.3 考虑连续时间系统 ，表示为和在双线性变换下计算离散时间系统 的不变零点，其中采样周期 ， ， ， ， 和 。通过在复平面上绘出离散时间系统的不变零点来验证推论 7.2.2的结果。7
27、.4 给定一个稳定的连续时间系统 ，具有其传递函数为在通常的双线性变换下得到离散时间系统 ，具有传递函数其中 ， ， 和 如引理 7.2.1 所给，证明 是稳定的，和同时用一个例子来证明在通常情况下有提示：参考第 2 章的 2.4 节关于连续和离散时间系统 范数和 范数的定义和计算。7.5 考虑一个连续时间系统，表示为另一个常用的离散化系统的方法是零阶保持变换（ZOH） 。可以证明在采样周期为 的ZOH 变换下，等价的离散时间系统为其中令 和 。通过一个例子证明通常有和 7.6 假设对练习 7.3 的连续时间系统采用 ZOH 变换的方法离散化。计算等价离散时间系统的不变零点，其中 ， ， ， ， ， 和 。在复平面上绘出这些不变零点，并加以讨论评论。
