1、第 四 節 線性規劃解的各種情形,在第二章第三節圖解法時介紹線性規劃的解有多種情況，本節要探討如何由單形表中辨認之。 例 5：(多重最佳解，第二章例 2)Max z =x1+2x2s.t. x1+2x2 10x1+ x2 1 x2 4x10，x20,对辣笆燥忘僧枝滤害肿霞距诽此捧冤唬座埃绰遁汲卑蔚洲溉玻买锋籽教伙线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,將問題寫成標準形並加入人工變數Max z =x1+2x2+0s1+0s2MA2+0s3s.t. x1+2x2+s1 =10x1+x2 -s2+A2=1x2 +s3=4xj 0，j =1,2.si 0，i =1,2,3.A20,灿淫餐练遮拉桩桑挑
2、孽宋昂骗谢敝般疚笛柬锻更绿壤婴袋咽峙地淖盔石纺线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,cj 1 2 0 0 -M 0 cB xB x1 x2 s1 s2 A2 s3 bi bi/aij,0 s1 -1 0 1 2 -2 0 8 42 x2 1 1 0 -1 1 0 1 負數不考慮 0 s3 -1 0 0 1 -1 1 3 3zj 2 2 0 -2 2 0 2cj-zj -1 0 0 2 -2- M 0,0 s1 1 2 1 0 0 0 10 5 -M A2 1 1 0 -1 1 0 1 10 s3 0 1 0 0 0 1 4 4zj -M -M 0 M -M 0 -M cj-zj 1+M 2
3、+M 0 -M 0 0,倾蜗爆挑停虽罢识归锭椭忘皆揍恋效惟姻破褒葫跳倘弃瞻缩赚散朱段待乱线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,cj 1 2 0 0 -M 0 cB xB x1 x2 s1 s2 A2 s3 bi bi/aij,1 x1 1 0 1 0 0 -2 2 負數不考慮 2 x2 0 1 0 0 0 1 4 40 s2 0 0 1 1 -1 -1 5 負數不考慮 zj 1 2 1 0 0 0 10cj-zj 0 0 -1 0 - M 0 0(已最佳解),0 s1 1 0 1 0 0 -2 2 2 2 x2 0 1 0 0 0 1 4 0 s2 -1 0 0 1 -1 1 3 負數不考
4、慮 zj 0 2 0 0 0 2 8 cj-zj 1 0 0 0 -M -2,岗征随署尾须翼忽芝瞎啮齿琉砧寡夜貌酞棉翰灭店拣懂欧魔烦准慕灭霄雀线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,cj 1 2 0 0 -M 0 cB xB x1 x2 s1 s2 A2 s3 bi bi/aij 1 x1 1 0 1 0 0 -2 2 負數不考慮 x2 0 1 0 0 0 1 4 4 0 s2 0 0 1 1 -1 -1 5 負數不考慮 zj 1 2 1 0 0 0 10cj-zj 0 0 -1 0 - M 0 0 (最佳解),第四表,第五表,1 x1 1 2 1 0 0 0 10 2 0 s3 0 1 0
5、 0 0 1 4 0 s2 0 1 1 1 -1 0 9 負數不考慮 zj 1 2 1 0 0 0 10cj-zj 0 0 -1 0 -M 0 0 (最佳解),皆坚窗量馅吾辖劫遂羹半埠菲前镀控刽妈磐蹦谐蛔辆诺最二粟褂氓你呛灯线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,由第四表可以發現所有的 cj - zj 0 最佳解已得到，其解為 ( x1，x2，s1，s2，A2，s3 )= ( 2， 4， 0， 5， 0， 0 ) Max z =10。 第五表亦是最佳解，其解為( x1，x2，s1，s2，A2，s3 )= (10，0， 0， 9 ， 0 ， 4 ) Max z =10。 雖然xj值並完全不相同
6、，但目標函數值 z = 10 是一樣的，由第五表中亦可引進 s1，其 z值也為10，因此本例題有多重解。那麼如何辨認是否為多重最佳,贡迈阎驳物讽南羊颐方蛊在慎晃掷嫌搀焦臆厩轩桂辽包杠训仇讹猴瑚回荷线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,解呢？我們是由 cj zj 所在的列來判斷，先前曾 提及基礎變數所對應的 cj-zj 為0，在第四表中， x1 ,x2和s3是基礎變數，其對應的 c1-z1=c2-z2=c4-z4=0 ，我們也發現到 s3 的 c6-z6 = 0 引進為基礎變數的話，對目標函數值的邊際貢獻為 0，也就是對目標函數沒有影響，所以將 s3 引進成基礎變數 ，其目 標函數值亦為 z
7、 = 10，將第四表、第五表與第二章 圖 2-5 對照，完全一樣。第四表(x1 ,x2) = (2,4) 第二章圖2-5, D(2,4)第五表(x1 ,x2) = (10,0) 第二章圖2-5, E(10,0),鞭诬蹲胺族媒顶返咏焕弥麓脱祝舅档遂虚逝眼韶菇攫实胜包槛胀氛攒驱矣线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,多重最佳解如何辨認呢？簡言之，從 cj-zj 所在列來判斷，如果基礎變數有 K 個，cj-zj 所在列的 0 超過 K 個，則表示此題就有多重最佳解。 如本例題有 3 個基礎變數，而在第四表中，cj-zj 所在列有 4 個 0；而在第五表中，cj-zj 所在列有 4個 0，故本題為
8、多重解。,珊让骨判眠迢蒋音议纠腊蚤依谦贸鞭提狮讣址醚密福单挞享扔次抉闽焉凹线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,例 6：(無限值解，第二章例 3),Max z = 3x1+4x2s.t. x1+ x2 4x1-2x2 5x10，x20將問題寫成標準型並引進人工變數,Max z = 3x1+4x2+0s1-MA1+0s2s.t. x1+x2-s1+A1 = 4x1-2x2 +s2 = 5x1，x2，s1，s2，A10,丧忿瞄收犀仰驶起赣劳来辈撇兔笑捆某鞍淹气镜拔舜效嫁碳霸由啊辰奔捂线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,cj 3 4 0 -M 0 cB xB x1 x2 s1 A2 s2
9、bi bi/aij -M A1 1 1 -1 1 0 4 40 s2 1 -2 0 0 1 5 負數不考慮 zj -M -M M -M 0 -4M cj-zj 3+M 4+M -M 0 0,4 x2 1 1 -1 1 0 4 0 s2 3 0 -2 2 1 13 zj 4 4 -4 4 0 16 cj-zj -1 0 4 -4-M 0 0,代入變數,剃劳慌板姿床吩寐巨帛粳柄贾讹扛应禄霄欣霄升荚玲固腻张冠控退点贡芥线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,在第二表中，現行解並非最佳解，因為所有的 cjzj 0，又 s1 的 c3-z3 = 4 0，必須進入基礎 變數，然而s1所在的行為( )皆為
10、負數，找不到代 出變數，因而也找不到樞元素，無法做轉換，此時 為無限值解。因為 -1 和 -2 表示生產產品不僅沒有 把資源用掉，反而資源愈用愈多，資源愈用愈多， 獲取的利潤呈現無限大，亦既先前曾提及為何 bi/aij 負數不允考慮的原因。簡言之，若代入變數所在行之係數皆為負數，則產生無限值解。,-1,-2,千亡献皮爷哪邢泡解监枷旭硬堵法侍芍致掷锁鄂浓场喂孕驹疫扩跪柏莱殃线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,例 7：(無可行解，第二章例 4),Min z = 3x1+5x2s.t. x1 - x2 2x1 + x2 5-x1+2x2 4x10，x20將問題改寫成標準型並引進人工變數,Min
11、 z = 3x1+5x2+0s1+MA1+0s2+0s3+MA3s.t. x1-x2-s1+A1 = 2x1+x2 +s2 = 5-x1+2x2 -s3+A3 = 4x1,x2,s1,s2,s3,A1,A30,氓谭虐恕芭萌昼昔丽玲态叁恶穿缉狞茬铅灰嚏忻盘丁迪船堆委猜伶赤必琐线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,cj 3 5 0 M 0 0 M cB xB x1 x2 s1 A1 s2 s3 A3 bi bi/aij M A1 1 -1 -1 1 0 0 0 2 負數不考慮 0 s2 1 1 0 0 1 0 0 5 5 M A3 -1 2 0 0 0 -1 1 4 2zj 0 M -M M
12、0 -M M 6Mcj-zj 3 5-M M 0 0 M 0 M A1 1/2 0 -1 1 0 -1/2 1/2 4 8 0 s2 3/2 0 0 0 1 1/2 -1/2 3 2 5 x2 -1/2 1 0 0 0 -1/2 1/2 2 負數不考慮 zj -2.5+0.5M 5 -M M 0 -2.5-0.5M 2.5+0.5M 10+4Mcj-zj 5.5-0.5M 0 M 0 0 2.5+0.5M -2.5+0.5M,友敬躲若粪伊钳询哇壮政铬朔仍隶潭僳禽慎角幕建讳位赠丈任罪继坯偿镰线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,cj 3 5 0 M 0 0 M cB xB x1 x2 s1
13、A1 s2 s3 A3 bi bi/aij M A1 0 0 -1 1 -1/3 -2/3 2/3 3 3 x1 1 0 0 0 2/3 1/3 1/3 2 5 x2 0 1 0 0 1/3 -1/3 1/3 3 zj 3 5 -M M (11-M)/3 -2(1+M)/3 2(1+M)/3 21+3Mcj-zj 0 0 M 0 (-11+M)/3 2(1+M)/3 (-2+M)/3 0,第三表,周墅撇捻恢溯虱塞铝尚椿瘸赦奖可教汛崔察啼拉单狭副阎铃砾扳巴襟牙礼线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,由第三表中可看出 cj - zj 所在列皆大於等於 0，目標函數是求極小化，cj-zj 0 表
14、示目標函數不能在減少，可見以達成最佳化，其解為 A1= 3，x1 = 2 ，x2 = 3，先前亦曾提及，人工變數最後要為 0 ，如果不為 0 會破壞未引進人工變數時等式關係。本題因 A1 為人工變數而 A1= 30，所以本題為無可行解。故在最佳解的情況下，若人工變數在基礎變數中且不為零，則為無可行解。,苟刑胞脏慎滁抵阑冒筋字掺啡勺骂药碳兄盆刁书澄谣铺播类字逸饿嘿娇疙线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,例 8：(退化解),Max z = 6x1+10x2s.t. x1 5x2 63x1+2x2 12x10，x20將問題寫成標準型模式,Max z = 6x1+10x2s.t. x1+s1 =
15、 5x2+s2 = 63x1+2x2+s3 = 12xj0，j =1,2.si0，i =1,2,3.,炳猴勿弯疤洞淖杯野那脸超腊扣迷趴坪硫箱痰坚室吝地迎捅须狂原蕾连雇线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,cj 6 10 0 0 0 cB xB x1 x2 s1 s2 s3 bi bi/aij0 s1 1 0 1 0 0 5 0 s2 0 1 0 1 0 6 60 s3 3 2 0 0 1 12 6zj 0 0 0 0 0 0 cj-zj 6 10 0 0 0,0 s1 1 0 1 0 0 5 5 10 x2 0 1 0 -1 0 6 0 s3 3 0 0 -2 1 0 0zj 0 10 0
16、 10 0 60 cj-zj 6 0 0 -10 0,诊煞蛋疆陆存胖髓膘土新拈幼洲吉喜鲁秦棒龄腺绦溯祭赁栖倔首简菊糕衙线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,cj 6 10 0 0 0 cB xB x1 x2 s1 s2 s3 bi bi/aij0 s1 1 0 1 0 0 5 5 10 x2 0 1 0 -1 0 6 0 s3 3 0 0 -2 1 0 0zj 0 10 0 10 0 60 cj-zj 6 0 0 -10 0 0,第二表,第三表,0 s1 0 0 1 2/3 -1/3 5 10 x2 0 1 0 1 0 66 x1 1 0 0 -2/3 1/3 0zj 6 10 0 6 2
17、 60 cj-zj 0 0 0 -6 -2 0,镊焕知铜荆瞥伞扯痕皋女凶拧寒鹏莫瘟卒君玖陨涣继站犀钾貌涯淬宣奄韧线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,由第二表中得到的可行解基礎變數為 s1 = 5 ，x2= 6 ， s3 = 0，因為 s3 是基礎變數且等於 0， 此解即稱為退化解。又第二表中x1 的 c1-z1 = 60 ，未得到最佳解，將x1引進基礎變數中，得到第三 表獲得最佳解s1= 5，x2= 6，x1= 0也是退化解。第 二表的退化解目標函數值 z = 60，第三表的退化解 目標函數值 z = 60 ，沒有增加； 依照前面解釋， 代入變數 x1之c1-z1 = 6 0，對目標函數的邊際貢,奶良翱夜候为姨害产厩趋茸内赊非慕鸯旭陛惶亥节龄妮羚郁钩淤疡吻蚀仇线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,獻為正值，理應 z 值會增加，為何沒有增加 ？ 我們可以這樣解釋，在第二表中因為第三種資源已經全部用完且其 bi/aij 又是最小，既然第三種資源用盡且生產單位 x1 需第三種資源 3 單位，當然無法生產出 x1 的產品數量，故 x1= 0，自然對目標函數沒有任何貢獻。,舅沪善比属兑渠鹅场干嫩曹缘氨郁膝治糊了抓掏孤泵梆它歼综芥枯渡狂砰线性规划解的各种情形线性规划解的各种情形,
