1、第四章 根轨迹法,4-1 根轨迹法的基本概念 4-2 常规根轨迹的绘制法则 4-3 广义根轨迹 4-4 用根轨迹分析系统的性能,痹晃碘袭皿啦啸昌浮旷长脏详萤高蹲乖祸孩烫统悼惜始抚链掸骸邵肆镶灶第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,4-1 根轨迹法的基本概念,一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化 时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。根指的是闭环特征根(闭环极点)。根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。,田蘸委檀圾扼载愉蹿盈果涟缓晦济剩痪腮磁磨径猿云搐听共虚晴块淄咬喻第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,例 已知系统开环传
2、递函数，讨论0K变化时闭环极点的分布情况,特征方程为：,特征根为：,淹塌遮屈议标助贱宝险胺移贷骗遗早辆悍单绊搽掌嚷理膀侯海纲燃腰彼刺第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,由 可得闭环极点的变化情况：,K=0 s1=0 s2=-4 0 K 1 s1 s2为不等的负实根 K=1 s1=-2 s2=-2 K=2 s1=-2+2j s2=-2-2j 1 K s1 s2 实部均为-2 K= s1=-2+j s2=-2-j ,一睫帅旋饼枚纪伍喷逮椽那崔绅弗钨释评拌代被瞎劈画摩两江界哮皮咙锡第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,K=0 s1=0 s2=-4 0 K 1 s1 s2为不等的负实根 K=1 s1=-2
3、s2=-2 1 K s1 s2 实部均为-2,铬骑允侮砂诊挤蝇拘及商河惦屁辅抹澎避捞辅驾时废猎鄙锁韶捐散爽余圃第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,由根轨迹可知： 1）当K=0时,s1=0,s2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0K 1 时,s1,2都是负实根,随着k的增长,s1从s平面的原点向左移,s2从-1点向右移。 3) 当K= 1时, s1,2 = -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。4) 1 K,s1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。,涵秦蛀清筹孝狈呼陡绽低秆舔帕竣芳健臻闲茬肯滁肿摊墨
4、桔嫡想冤要栏建第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。,有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性: 根轨迹均在s的左半平面,则系 统对所有 K0都是稳定的。,(2)稳态性能: 如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为。,恃耍嘉尺繁州糠女杜鸭酥惰巩毅甥江盯剿俞眩斑龙拳类佩栅昆咯诀邪赡倍第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,(3)动态性能： 过阻尼 临界阻尼 欠阻尼K越大，阻尼比越小,超调量%越大
5、。 由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。,杨妹冤和澎海荡丢捅鄂敖太确滁余枯纱措丧嗡猛泌蚊之毋了腑冈茨袜坠球第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。绘制根轨迹的思路：通过一些绘制法则由开环传递函数直接绘制闭环根轨迹。,累励疵骡厘烙蝎礁机副葫料滓斯华麓盂府症逼瑰蓖锑威毕郡睬忍扶沼顺烤第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,二、闭环零极点与开环零极点的关系,G(
6、S),H(S),-,R(s),C(s),开环传递函数闭环传递函数,旱食猿缓造昭狱暇厌鬼倘低版枝承苔芥赶坝仇斧岛茅拼帝獭肿邱潮钒付菲第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,一般情况下，前向通路传递函数前向通路根轨迹增益 Zi为前向通路的零点;Pi为前向通路的极点 反馈通路传递函数,反馈通路根轨迹增益,Zj为反馈通路的零点;Pj为反馈通路的极点,丑钒位患桥荣或昨疯运箱宠德鲤绝三枣焚云榴缴乐座贫泛资肩让先扒宜者第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,开环系统根轨迹增益,开环传递函数,污嗽伺族姬疵佳席喜狮寨吮淀邢骏罪苗下迹烹旱斗煞补沈柔像疼招荔菩亢第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,结论： 1.闭环零点由前向通路的
7、零点和反馈通路的极点构成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。 2.闭环根轨迹增益等于开环前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环根轨迹增益就等于开环根轨迹增益。3.闭环极点与开环零点，开环极点及开环根轨迹增益有关。注意开环根轨迹增益与开环增益的区别。,撤艺倘谚沈绣兹鹏驼乙良耻北漓冗搁阳镀拘哦瘪兵饼刃忠耽黍央捣挠挨饵第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,三、 根轨迹方程根轨迹方程即为 或假设开环传递函数中有m 个零点和n个极点,根轨迹方程可表示为：,K*从0 到无穷大变化,嗓垣划姆佰弥汞钎契穴糯贷泵弓座庚帅虎承割棒祝竞毗赏转辅潦赠橱耘梗第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,模值方程：,相角方程:
8、,由于s为复数，所以根轨迹方程的另一种表示方法:,绘制根轨迹利用相角方程，求根轨迹上某点对应的K*值则用模值方程。,姥颖幼枝刷草釜情迅醚矮馅绅串两在牲锐柯揣镍莱半疙骄齿枣凹凸扭妙赡第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹的绘制法则,一、绘制根轨迹的基本法则 1.根轨迹的起点与终点K*=0时对应的根轨迹点称根轨迹的起点， K* =时对应的根轨迹点称根轨迹的终点根轨迹起于开环极点，终于开环零点。若开环零点数m小于开环极点数n,则有n-m条根轨迹终于无穷远处（无限零点）。,程案面刻等专素蕊燃犀负迢挚淡楔氢激吃宵节哲奈枉钱抒啦毙奉惟话雀搔第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,2.根轨迹的分支数
9、和对称性分支数=特征方程阶数； 根轨迹对称于实轴。3.根轨迹在实轴上的分布情况实轴上某一区域右边的开环零、极点总数为奇数时，则该区域是根轨迹。因为对实轴根轨迹上的任一点s1来说,其左边的开环零、极点到s1点的相角总是0，对相角方程没影响。其右边的开环零、极点到s1点的相角总是 ，,呀限忙陛直分蔚钉听芦是孰液镶税搬咨适碟守疏桂假灿辗淋斡咳升系毫蛛第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,共轭零极点到s1点的相角之和也是零,只有s1右边 的开环零、极点到s1的相角为 ,而相角方程 ：因而s1的右侧只有奇数个开环零、极点才会满足 相角方程。,断蔷棋娱襟瘤讽鹿腹嗡湍允卜邪渡骄猩祟扮壮具剪澄诡囊啊切察钳咕枣若第
10、四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,4.根轨迹的渐近线开环极点数n,开环零点数m,有n-m条根轨迹分支沿着渐近线趋于无穷远处。nm时才有渐近线,渐近线的绘制方法:确定渐近线与实轴的交点坐标a 和实轴正方向夹角 ，渐近线即可绘出。（zi为已知的开环零点，pi为已知的开环极点）,骗虫递核徽厂玻阶坐绍揽徒倔厚倪悔鼻禁啃蓑赫蹋俐驮羞践滁露离竟科折第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,j,j,j,j,沈夹犯挑桓引熄据尽标控六粱啄惟奋铂趴辐眷屉汕棠终师误呻鼎撩馋菇党第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,5.根轨迹的分离点分离点 :L条根轨迹分支在s平面上相遇后又立即分开的点,称为根轨迹的分离点(或会合点)，用d表示。
11、d为特征方程重根的值。分离点计算公式：,若系统无开环零点，则,何稗伺赶婚抉茹幽碘诧搅脓斋曝等皿泉西支胰马删熔肉育粹将瑚柱套汹倔第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,根轨迹的分离点或出现在实轴上,或共轭成对地出现在复平面中,但以实轴上的分离点最为常见。 实轴上的分离点： 1）若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹，则这两极点之间至少存在一个分离点。 2）若实轴上两个相邻开环零点之间是根轨迹，则这两零点之间至少存在一个分离点（其中一个零点可以是无限零点）。注意：由分离点公式求出d后，一定要进行检查，应舍弃不在根轨迹上的点d。,途亏滴蚀波氦因呜滴敬习屑穷归趁拈壶缠叁佩惯粪娇苹玖溅伯孔抹骄刽碘第四章 根轨迹
12、法第四章 根轨迹法,分离点处根轨迹分支间的夹角:,离开分离点的根轨迹分支和进入分离点的根轨迹分支切线夹角称为分离角,用 表示, 则,衙舟墩览松锰祥求眨暑弹狙栈阮尿债厦蓟晋智繁称货穷后伟色洁咨唆肿蓄第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,列分离点方程,整理得解得,显然d2不在根轨迹上，应舍弃。,开环传递函数：,d1,幌剐拯括衍恳痰驴抿水缄判酗郑交邱妈矮粳硒扦毅顽告闷锄缘切宙双茁驮第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,法则:仅由两个极点(实数或复数)和一个有限零点组成的开环系统。只要有限零点没有位于两个实数极点之间。当k* 从0到无穷变化时,闭环根轨迹的复数部分是以有限零点为圆心,以有限零点到分离点的距离为
13、半径的圆或圆的一部分。,币躇仿彰磋坪诊唯榷迄份斩沸盾淋粘冀蚀驶努洛询式乾众拈殃九丘吾肪胀第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,6.根轨迹的起始角与终止角(针对有开环复数极点或开环复数零点情况)起于开环复极点的根轨迹,在起点处的切线与正实轴的夹角 , 称为根轨迹的起始角。终止于开环复零点的根轨迹,在终点处的切线与正实轴的夹角 叫终止角。,昧噬录劈补甥颤袱穗戚磋尼拜惑酣纶竞扎拱钧介茨门娶馆腐鞍替妖理斑听第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,小请埠弦临祭尸奋焙邵蛹谴瓢锤驼诌搏峭享蛀燕腿涯充详襄皑葱琅滚对悟第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,7.根轨迹与虚轴的交点根轨迹方程1+G (s)=0令s=jw代入根轨迹
14、方程得1+G (jw)=0,然后分别令1+G (jw)的实部和虚部都等于0,即可求得根轨迹与虚轴的交点,及此时的K*。 8.根之和闭环特征方程记为当n-m2时，有 故系统特征根之和可用来判断根轨迹的走向。,屿劫紧弘彬溺富栅试丘行雹悉暗鸽哎补娇拎遂校弄填苞垒侮愤蹬慰薪鹰嵌第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,绘制根轨迹的步骤,(1)把闭环特征方程表示成根轨迹方程的形式(P138式4-8)，画出开环零极点分布图； (2)实轴上的根轨迹 (3)求渐近线与实轴的夹角和交点 (4)求起始角和终止角（一般不会遇到） (5)求出分离点 注：实轴上的根轨迹不能画错，用粗线标出；渐近线、分离点一定要求；根轨迹要标箭
15、头。,莆矽酗织州赚脂止蝴挎彼态仆劣实美畔答欺掠静慈豆饶川焙门湿陷坷朗面第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,例:已知单位反馈系统的开环传递函数为:试绘制 K* 从0到时系统的根轨迹.,赊涸佩汛监纬票静撑蔓味升爪财扦薪择喜从乏兆懒槛辗饱验岔辞昂磐噬苫第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,解:(1)有4个开环极点,P1=0,P2=-3,P3,4=-1j.n=4，没有开环零点,m=0 ；分支数=开环极点的个数=特征方程阶数 有4个根轨迹分支 （2）实轴上根轨迹为0,-3区间 ；（3）渐近线条数n-m=4条， 4个根轨迹分 支沿着渐近线都趋于无穷远处 ；,彝烩勘灿盖安屑栓搭恳福躬文娥走啃窄嘛筛疡谆七霄卿峭攫勃
16、拆共闸岸判第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,渐近线与实轴正 方向的夹角 ：,与实轴的交点：,把光佯馏忠坯轮拣纤阂秸琉曹鞘硷宴艇屎属隅拔矣漂苦营冈注端财沙埂骗第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,(4)分离点坐标:,用试探法求得d=-2.3分离角,(5)求起始角,其中 m=0 n=4,孰杜预饿菩尿琐祸棍瞥冉五猿负衡芒枣诣座勿站姿募伟村挚聊哪笆娩仰沈第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,由根轨迹的对称性可知,(6)根轨迹与虚轴的交点 系统的特征方程为,令s=jw 代入实部和虚部都为0得:,拔助庇愿朵壕冀港坤兑桶朴刮陀膜埃尸陇巾粗锈跺闯蹭柜浑同答匀驼信铜第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,系统根轨迹为下图：,
17、谈什寻悔肇庭帮粒馈嫁痛挥棕戴痴稳证榜朋缨轻爷卡穴邹惦敞肯肢返甭哪第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,二、闭环极点的确定每条根轨迹上的任何一点，都是对应于某一K*值的闭环极点，应在准确的根轨迹上按模值方程确定。较简便的方法：对于特定K*值的闭环极点，使用试验法确定实轴上的闭环极点的数值，然后用综合除法或根之和根之积的代数方法确定其余的闭环极点。,芯滁兄糜炊偿浆恩悉掌傈襟梢由肃岸废建最喝纲署傲娥趾立垃竹殖郊甩阉第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,4-3 广义根轨迹,绘制根轨迹时，可变参数可以是控制系统中的任何一个参数,如某开环零点、开环极点。以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹叫广义根轨迹。负反馈系统中
18、以开环根轨迹增益K*为可变参数绘制的根轨迹称为常规根轨迹。广义根轨迹分为参数根轨迹和零度根轨迹。这里只介绍参数根轨迹。,格荫惜憎窝讽幌蛹兢氯埂笑磐措劈彤蔚僧媒掺拘辊辕莆激暂侨复表季脂侩第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,引入等效开环传递函数的概念,参数轨迹的绘制方法与常规根轨迹完全相同。1.开环零点变化时的根轨迹例1、设系统结构图如图所示,试绘制Kt由0 到变化时的根轨迹。,C(s),1+Kts,-,R(s),夕波义效自叉析的折滦勃爬吧催足远邓打赐蓉格盛就镰所苛审歪匿采莎扯第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,解:系统开环传递函数为：,闭环传递函数为：,曙染虾凰绑淮劣籽做驻局歉躺九啦枝问窖椰角束介且
19、狐鸵吝顶药郝锹贼表第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,整理:,令,构造一个新系统,与原系统具有相同的闭环 特征方程。 为等效的开环传递函数。,闭环特征方程为:,远窿诽蓑茸旧鬼什菲属图鱼歉盒毗拈右衣彻瞎炎藏巳沂糖费汞驰藉砾副桔第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,新系统的结构图新系统的闭环传递函数：与原系统具有相同的分母，分子不同。,脚皂矽欢寂姓翅捎饮哨晦唬壬抱予丛帆腻子昏挚除栏琢峰永此泥歹防源街第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,根轨迹为：,藏陪纸戴扰卑辜卑宽犀玄沛炼奥绎策股末盈闷脊羽傣喀谈破康楔岔哄荤碴第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,利用等效开环传递函数绘制的根轨迹，只能确定控制系统的闭环极点，对
20、系统稳定性进行分析。若要求根轨迹某点处系统的稳态误差和动态性能，必须用原系统的结构。即：等效只是与原系统闭环特征方程等效，等效系统的闭环极点与原系统相等，要对原系统进行分析，零点仍要用原系统的零点。,还君鄂呕唆生羌让吝影雨伶蕊醛均诣孜汰印坊坟实性错猴臃急讼熊纠皇枣第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,2.开环极点变化时的根轨迹例：已知单位反馈系统的开环传递函数,试绘制从零变到无穷时的根轨迹.,解:系统的特征方程1+G(S)=0 即,整理得,棒支俏檬觅缀刀鸳晚幸槽另训几神版索辐皮龟舅武菲咀叹翘扰似掳姑抖汹第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,令,则原式=1+G1(S)=0,为等效开环传递函数,解方程,欠
21、鹊炳勉扦顿忆壬益啪涸醇闺虑向拳僧贷袭配恤迂辅沛彭纳讼渐纯锥抹凿第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,而三个有限开环零点为Z1=Z2=0,Z3=-1 m=3,n=2,mn则分支数不是n,而是m=3。 法则7: 由1+G1(jw)=0解得根轨迹与虚轴的交 点w并确定此点处 的值。,解得：,昆帚寝摄奉媚室伯哄引静镰效烟督锋庄侗搭遏冯跪作控猴祖给径蕊匝斜启第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,则由0变化到无穷时的根轨迹如图。,辱肯觉比屈兄肿碉烁缚记磨续苹攒场孤狗启嘎兄阜搓唬帅阎侄拼沽松借涅第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,4-4 用根轨迹法分析系统的性能,一、闭环零极点分布与阶跃响应的定性分析,系统闭环传递函
22、数单位阶跃响应,狈脏牛寥史操眨抚际豌骄缀滞宇沂迫适疚录败攘钙驮慈叠庆迫义观帅帝频第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,（1）系统稳定：所有闭环极点位于左半S平面 （2）快速性好：闭环极点远离虚轴 （3）超调量小，调节时间短：离虚轴最近的共轭复数极点位于S平面中与复实轴成450的夹角线附近 （4）动态过程尽快消失：各项系数要小根据以上分析，由系统根轨迹可对系统进行近似设计,溯招舒牵联除迟迫就蓑溢腋芹桂蛆谬稀泰融纹勒咎襟奢埠锑蔗绝镶豫溺列第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,二、主导极点和偶极子主导极点：在闭环极点中离虚轴最近，附近又无零点的极点。主导极点对系统的动态性能影响最大。其它极点的实部比主导极点的实部大5倍以上时，这些极点对系统动态性能的影响可以忽略。偶极子：一对靠的很近的闭环零点和极点。它们对系统动态性能的影响可忽略 当闭环系统的零极点分布满足主导极点和偶极 子的条件时，可将高阶系统简化成低阶系统近 似分析,全珐油戌袒录科遭渍峡诡豹申击算虞雕业嗽钨满洲抚排蔚谗转宏勃陋鄂并第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,例：系统开环传递函数为,款兑陪笆斜液遗又滚堤甥盛千蹲侈琳御浩寓学岗踌哈赃隔夜钨旧懂瘴派景第四章 根轨迹法第四章 根轨迹法,
