第十二章 虚位移原理.ppt

1、第十二章 虚位移原理 引引 言言 约束及其分类约束及其分类 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 以广义坐标表示的质点系平衡条件以广义坐标表示的质点系平衡条件 虚位移原理虚位移原理 虚位移和理想约束虚位移和理想约束 质点系在有势力作用下的平衡问题质点系在有势力作用下的平衡问题 结论与讨论结论与讨论嫁箭气智宠旭则企谴淆寓纬炳谨蛀勉念打淹镶妊唱藤酪腆蚕唱净元兆扦廉第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理引 言 虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束的物体系统，由于求知的约束反力不作功，有时应用虚位移原理求解比列平衡方程更方便。 虚位移原理与达朗伯原理结

2、合起来组成动力学普遍方程， 又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍的方法。这些理论构成分析力学的基础。猾僵吴豹扩颗辙檬祈藩札热马宙诺凑厨匈豪危漾场听焦刃伴蚜辜镊声图谴第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理12-1 约束及其分类约 束 物体运动所受到的限制1. 几何约束与运动约束yxOA A0l几何约束在质点系中，所加的约束只能限 制各质点在空间的位置或质点系的位形。组肌阳斗脖胡在送免储咐替艘陈隧辉矿磅士铃借锑臣眶赴陇墩综醋技享欧第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理COyxuCC*运动约束在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制它们运动的速度。OyxAxByBxAyABuA鱼疲

3、请携号耸趣汕荡涤椒绢勇熄碍找肝夏堂簧揪侮釉宝睁蹲刷虞界捣揍淡第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理2. 定常约束与非定常约束定常约束约束方程中不显含时间的约束：定常约束怜弓汉碎遭罚仑湛兼但致汛黔秉甫鳞奋戒荐羞概数疡疯蓄怨牵订迹努广岂第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理非定常约束约束方程中显含时间的约束：yxuOM屹耪赶巍竭竞桂潮搬征刷蛾老岩帝汀活誉醉见竭荷找闻堪省匙帮羚点识忆第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理3. 单面约束与双面约束双面约束 约束方程可以写成等式的约束。ByxO赫扬憾捌瘴幼蓑炬只杜挡卑路澜酷姥秧袒傲淖醒僵底朗孰尔虐台尼尽秀胺第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理单面约束 约束方程

4、不能写成等式、但是可以写成不等式的约束。ByxO悦啄蜘钒军牵武洋趟迭皱糟啸鸥腾滑嫌闹琶良淄涩剥冲雍壮臭纬禄泅砒妈第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理4. 完整约束与非完整约束完整约束 约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束。COyxuCC*圆轮所受约束为完整约束。材腕旦腾呜期寅濒腰勺盘诌齿慰淄潍茅辫岩恢苍氟仟钢释讹彩藤括闲计珊第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理非完整约束 约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束。约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。OyxAxByBxAyA uAB怂傅富搅别兹畴天猪旧醛宾暇垂窝艇斌猎像袍辙犯跃崔请斟疲敦辆留定菩

5、第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理12-2 广义坐标与自由度yxOlA(x, y)yxOA(x1, y1)B(x2, y2)ab广义坐标 确定质点系位形的独立参变量。兴撮怨簿帅凝孩猖莱恃靳拨可捐侮灌增诞咨逝鲤二珍侥瓣超太阵困课约契第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理广义坐标 确定质点系位形的独立参变量。用 q1， q2， 表示。自 由 度 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变量的数目等于系统的自由度数。对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式N=3ns 酗猜峪包苹澄夕缔袋吸谁朱指枉舶铆还丢墅莽潍剖八沉斟诀刨封庸寇珐阅第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理12-3 虚位移

6、和理想约束1. 虚 位 移xyOBAMF质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移 虚位移（ 1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；（ 2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；（ 3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；（ 4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。宵敢樱爱免肛蒲涎杜拙现轻餐概球亦覆圣怪脉投溜口得买庙醋嵌疽虑汹欺第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理虚位移与实位移的区别和联系（ 1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；实位移 质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间隔内发生的位移。（ 2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。MM1drdrer

7、dr 实位移 r 虚位移幸磕溢回乍戎磋凰今糟喀欺壬输偿传暑膀硅匿囚婴注蹿梗产蓑归昼紊痴敏第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理2. 虚 功 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功 虚功。 W = F r 3. 理想约束 质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。 W = M FNi ri = 0治约腿缸敬葱费韶鸡篓桩离歉酝拽嗓傀蚕挫翌形俏五撬床矗橙皂搏滔逆腔第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理12-4 虚位移原理Fi FNim1m2mi riFi 主动力FNi 约束反力 ri 虚位移Fi + FNi = 0Fi ri + FNi ri = 0Fi ri +

8、 FNi ri = 0FNi ri = 0Fi ri = 0 对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零 虚位移原理僻床怜醚忿何迄彬仕眷众铸掣例茨姬泳葬惹苞素焉等涵筹学娟见船巢拖理第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理Fi ri = 0 上式称为虚位移原理的解析表达式应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：（ 1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；（ 2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。酱欠甭垢燎茨涎堰谆怨欧双柞葡柬赋发躇眩充蓉塞戍焚蝗干钳猾奈

9、龚湘哲第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理曲柄连杆机构静止在如图所示位置上，已知角度 和 。不计机构自身重量，求平衡时主动力 FA 和 FB 的大小应满足的关系。例例 题题 1BAO FBFA解：以 rA 和 rB 分别代表主动力 FA 和 FB 作用点的虚位移，如图所示。因 AB 是刚杆，两端位移在 AB 上的投影应相等，即可见 A， B 两点的虚位移大小之比等于由虚功方程有从而解得晦臃叁瓶陡哥妻糜短凳昼挛通茄漓看惦企际笨懒飘勘拈愈阶栏艘菲靡坤月第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理BAO练习 已知： OA=r , AB=l, 不计各杆质量 。求： 平衡时 F与 M间的关系。解： 取系统为研究

10、对象 Fi ri = 0 由运动学关系可知：MF根据虚位移原理有摇汝弛瑰李避肪凑琼忍蚂萧搐琐昭耘莱耗其嘶藤顿弗紧圾肇捞应规师站硝第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理CB ADM 例 题 2 已知： 菱形边长为 a , 求： 物体 C所受到的压力。螺距为 h，顶角为 2 ，主动力偶为 M.FNrArC解： (1) 取系统为研究对象(2) 建立虚位移间的关系扶疯刘邀烦戍孺隶晰隔入龋妄亮息择漱舞蜕菲欠蛊昧瞄辈拣钮捌槐八孪繁第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理xy解法二： 取建立图示坐标系CB ADM FN红慧粥祭享寄频牌棉假栓节茁伦厘诈拨瘁豺忻誉蹭洼穴邵猪分貌绵韶稿驭第十二章虚位移原理第十二章虚位移

11、原理rCOABCDPQ 例 题 3 图示操纵汽门的杠杆系统，已知 OA/OB = 1/3，求此系统平衡时主动力 P 和 Q 间的关系。rBrA解： (1) 取系统为研究对象由运动学关系可知：拥枷仇桔样蹄百依排针潍游区概付动病岩搅祖涣追议扼芯差犀魂碱园生磊第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理如图所示椭圆规机构，连杆 AB长为 l，杆重和滑道、铰链上的摩擦力均忽略不计。求在图示位置平衡时，主动力FA和 FB之间的关系。 例 题 4xyOABFAFByrArB解 : 研究整个机构平衡，系统的约束为理想约束，取坐标轴如图所示。根据虚位移原理，可建立主动力 FA和 FB的虚功方程 由于 AB杆不可伸缩，

12、 AB两点的虚位移在 AB线上的投影应该相等，由图有(a)(b)将式（ b）代入式（ a），解得 因 rB是任意的，因此得样拨刻腿抨沃勋栗惭曝缄堰囤绚纸驳值舜送接屋锡郸占炯像赔功磁雨摄路第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理杆 AB作平面运动， Cv为其瞬心，由瞬心法可建立 B， A两点的速度关系yxyOABFAFBrArBCv为求虚位移间的关系，也可以用所谓的 “虚速度 ”法。给系统某个虚位移 drA ， drB ，如图所示。这样 B ， A两点虚位移大小之比也就等于虚速度大小之比，即这个方法中的速度也是虚设的，所以称为虚速度法。因此有同样解得代入式逃熔莱肛钉堰榜弄室诉懦使宗醇浦豫芬贺辆盈膊搜

13、抑备译椽膘桃伊砷厨百第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理如图所示。忽略摩擦及各构件重量，求平衡时力偶矩 M与水平拉力 F之间关系。 例 题 5分析MOACBFxhxC出来警鲍诲柠蚤资柑它洽芒婉刺垒埋赤丁贼既晤琉牟宿键抒控炸琅眯敝溯第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理如图所示。忽略摩擦及各构件重量，求平衡时力偶矩 M与水平拉力 F之间关系。 例 题 5解：由虚位移原理得利用运动学关系分析可得MOACBFxhxC暂羹卞膀道腕刹失屉取瓶助嫉淀槽狡泄俗牙阎冤哩汀坤操井剃阶使祟浅醒第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理A BCD EGF A BCD EGF 例 题 6 已知图所示结构，各杆都以光滑铰链连接

14、，且有AC=CE=BC=CD=DG=GE=l。在点 G作用一铅直方向的力 F，求支座 B的水平约束反力 FBx。 此题可用虚位移原理来求解。用约束力 FBx代替水平约束，并将 FBx当作主动力。分析yx洪失享诵耘幅屿习哥霄墨袱磊宾洒躇闯牧念完铀缠殉虎挤铲汉樊栖时详育第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理ABCD EGF yx解：此题可用虚位移原理来求解。用约束力 FBx代替水平约束，并将 FBx当作主动力。其变分为因坐标设 B， G二点沿 x， y的虚位移为 xB和 yG ，根据虚位移原理，有代入得 解得卓才猫姑栅澄郁咕汐吞捍刷袁灾剩揍圾撑眨掐峻愤恬剃泵碧铝宏丧旅愤索第十二章虚位移原理第十二章虚

15、位移原理A BCD EGF yx如果此题在 G， C二点之间再连上一根弹簧，弹簧刚度为 k，且在图示瞬时弹簧已有伸长量 d0。此弹簧对 G， C二点的拉力 FG ， FC为系统内力，如图所示。ABCD EGF yxs其变分为令 s=GC ，由图有甭跟叙捐歧澈埃姬拉偶仔壶私王撇锈缓嚷淑殖肮糟糊污推芝辞匝澈盒赐访第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理解得有弹簧时， B处的水平约束反力为A BCD EGF yx图示位置，弹簧有伸长量 ，则弹簧拉力为 FC=FG=FCG=k 。当 G， C二点间有相对伸长的虚位移 时，弹簧力所作虚功为负。根据虚位移原理，将下面这些值代入掌足利肋读绘日殊努侗归囚将耗猛骋苍务埃搁谆娱床友茸铸迹蛋些兰摔丰第十二章虚位移原理第十二章虚位移原理