1、孟生旺金融数学孟生旺金融数学孟生旺金融数学孟生旺金融数学（第二版）（第二版）（第二版）（第二版）公式汇总公式汇总公式汇总公式汇总复利的累积函数：0() () d()(1)1 (1)1 eetsmt mtm mt t ti dat i dm m =+=+= = = 单利的累积函数：()1at it=+各种利息度量工具之间的关系：（1）)1(iid+= vi= ()11nndn = （2）)1(ddi = =()1 1mmim+ e1=（3）dv=1（4）idid=（5）() 1(1)1m mi i =+ （6）() 1 11(1) (1)n n ndndnv = （7）() ()1 1m nm
2、ni dmn+= （8）)1ln(i+=期末付复递增年金的现值：11njPVar=+末期初付复递增年金的现值：njPVa=初，其中r表示年金增长率，1irj r=+。若ir=，则有：1nPVr=+末，PVn=初。币值加权收益率的近似公式：)1(0 tCAIi tt +时间加权收益率的一般公式：1/1 2 1(1)( )(1) 1Tni j j j+ =+ - ；如果投资期为1年，即T1，则该年的时间加权收益率可以表示为1 2 1(1)( )(1)1ni j j j+=+ -，其中kj是第k个时间区间的时间加权收益率。在等额分期偿还方法中，借款人每次偿还的总金额为R，其中支付的利息为Ik，偿还的
3、本金为Pk，未偿还本金余额为Lk。它们的计算公式为：（1）inaLR|0=（2）Ik=R(1vnk+1)=ikniRa|1+（3）Pk=Rvnk+1=inaL|0 1+knv（4）Lk=L0(1+i)kRiks|（过去法）=Rikna|（将来法）在等额偿债基金方法中，借款人每期支付的利息金额为I=iL0，向偿债基金的储蓄额为D=jnsL|0，总的付款金额为I+D，偿债基金在第k期末的余额为jksD|，贷款净额为L0jksD|。当偿债基金的利率与贷款利率相等时，等额偿债基金方法与等额分期偿还方法等价，即有下述关系式：（1）I+D=R（2）iL0（3）L0jksD|（贷款净额）=Rikna|（未偿
4、还本金余额）债券在息票支付日期的价格和账面值可按下述四种方法求得：（1）基本公式：P=rFna+Cvn（2）溢价公式：P=C+(rFiC)na=C1+(gi)na（3）基价公式：P=G+(CG)vn（4）Makeham公式：( )gPCKKi=+债券在相邻两个息票支付日期之间的价格：0 =(1)ttPiP+债券在相邻两个息票支付日期之间的账面值可按下述三种方法计算：（1）理论方法：tP=(1+i)tP0 1)1( +tiirF（2）半理论方法：tP=(1+i)tP0trF（3）实践方法：tP=(1+ti)P0trF优先股的价格：iDP=普通股的价格：=1t ttDvP如果股息的增长率是一个常数
5、r，则普通股的价格：1DPir=股票远期合约的价格如下：无股利：()erTtFS-=离散股利：()( )erTtD连续股利：()()erTtFS=互换利率：*11eeiin rtiinrtikk =看涨期权与看跌期权之间存在如下的平价关系：()erTtCKPS+ =+马考勒久期：( )0 0e 1/()() mttt tt ttRtRyPMacD P P += =修正久期：()()1/PyMacDModDyym=+有效久期：()02PPEfDy+=凸度：20()1 1( )1()() mtttPy yC t RyPy mm = + 马考勒凸度：22 00 1() mtt tt tt ytRtR
6、ePMacC P P + = =有效凸度：( )()020PPPEfCy+=债券组合的久期：1nkkkPDD=债券组合的凸度：1nkkkPCC=债券价格与收益率的近似关系：2% ()0.5()PP y y久期凸度=+ 实施免疫策略的三个条件是：（1）资产的现值等于负债的现值。（2）资产的久期等于负债的久期。（3）资产的凸度大于负债的凸度。实施完全免疫策略的三个条件是：（1）资产的现值等于负债的现值。（2）资产的久期等于负债的久期。（3）资产到期时间处于负债到期时间之前和之后。若令资产的价格为P，t时刻的现金流为tC，实际的年到期收益率为y，即期利率为rt，远期利率为ft，则有：0 0 0 0 1 1(1) (1) (1)(1).(1)t t tt tt t tt tCC CPy r f f f = = =+ + +0 1 1(1)(1).(1)1tt tr f f f=+1 11(1)(1)ttt ttrf r +=
