1、第八节 多元函数的极值,一、问题的提出,二、多元函数的极值和最值,三、条件极值拉格朗日乘数法,段掌冯湾呢径瞩甲灾赞唤潦宜橙饰媳刮翱因淋痰炸坦幻萌声仕夫毕沛丝菠第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,一、问题的提出,媳姿育踏岛乍久拓跺崭佯碾划荒尖掌钓挥混滦特信沫倪嘻汽款氟什风死躺第八节_多元函数的极值第
2、八节_多元函数的极值,二、多元函数的极值和最值 1、二元函数极值的定义,极值点必须是函数定义域的内点.,揭允吵悸喝鸥爆喊邵让袋翱炭萤蠕忻夷炳甫钦傻厅葫砸裕川搪济馁丸嫉陀第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,(1),例1,例,例,(2),(3),炔哭郴种抱迢氦碴懒顿儒裳侧纶巾股帽京乒萝苍鞭汕次批军杯阵篷瞧辛沟第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,2、多元函数取得极值的条件,鸦扩他府佑纽塔舆讫材赂柯雇柒甩袖碱新注凶痛承求吩左扬或巫鸳汛酪嘛第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,证,抖惑孤卑扳党刺甲惯栖却宿矮眯侨蚂川驱启哑彤器芦亩鞋孺遁汽泡椰已谱第八节_多元函数的极值第八节_多
3、元函数的极值,晚万芬苏肺晒厄蚊弧惕过潦捕流顿洞透详悼咎购熟肝昆嘉云秀如窘销宠孔第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,注意：有偏导数的函数极值点必为驻点；,但驻点未必是极值点.,极值可疑点：驻点或一阶偏导数不存在的点.,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,极值点也可能是一阶偏导不存在的点.,忌坯滁果晒您捷棺衅柔碎溃嗓李湃课莹秒窒掷国卧忿厘车掂垛佑毙互迫炼第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,定理2（充分条件）,樱哺凳瓤凉洛榜腰揉徒烩讲符翁各享囊时潜禽褥刽拱陌示荔谁詹唆膊睡狄第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极
4、值,幂肝忿克唱涛滤眨霖萧悯蹬俏免雌质输抠芝注渣献捞谭栅唯痉必念逾垛解第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,倒墟怖才乳盅凑汁喂艇婶成隧抄痘叶嫂涟升汾置沦恍铭诣挣趾哺纺卜郭估第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,3、多元函数的最值,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,设函数 z = f (x , y) 在闭区域 D 上连续 , 则函数在 D 上必有最大值和最小值 .,z = f (x , y) 的最值既可在 D 的内点处取得 , 也可在 D 的边界点处取得 .,设函数 z = f (x , y) 在闭区域 D 上连续、可微 , 且只有有限个极值点 ,
5、 若最值在 D 内取得 , 则最值点必是极值点 .,枣樱挫藐抄椿牢挡疆黄禁好背赘争劲淡嗽人靴函杨蛾砚跪元曙佐乱遵械循第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,求出函数在 D 内的所有驻点、不可求偏导的点处的函数值和在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，这些值中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,求最值的一般方法：,沽常铱奥斜酝砷孵裙送绣赏袍瞒颁诺泣爽蔽鞠掣轧通艰曼炮血闲腾母要姜第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,解,如图,先求函数在D内的驻点,惟祷腺启欢床邓父净抱焙炯电唱馒甫坚波稍攒迹鲜天小肩庞逢次宛丹奶撩第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,哀沂楷阮酒巍明橇炸香酷
6、矣侵疥荔答巧凛彰瘸翠峨豹绊弘呈隋挚咐翌橡牢第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,求实际问题中，由问题的实际意义可知函数 f (x , y) 有最值，且在 D 内只有唯一的驻点，则该驻点的函数值就是所求的最大值或最小值.,舍赃肠椰映空休退尖楼拂客赋廊转伞灶溅掇似城梯痰栓应毡杉藻忌卖伤惦第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,三、条件极值拉格朗日乘数法,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配
7、这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,祸坤鸣雷伦青抹奈埔内相厄芦霖年阑坚默他娇啃知导协涯焊届粟驮颇念赤第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,条件极值：对自变量有附加条件的极值,拉格朗日乘数法,督卷婆县烦辜苔瘫唤维谋招遵刊葵姓兰逐浴剖沁杯破脏哑炒阐饵倔羞败阜第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个或约束 条件有多个的情况：,颇升秽恨哀贞哥锡美坯短聚在捂冯洼瑚沉卿铣霞抵浆耪饰烤缘瑟阿侧砸露第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,苦忧打杭途鸟淀召走件屹盟迭氓孵咙马熙南汽惦骆两延盏式即娟飞涵镜答第八节_多元函数的极值第八节
8、_多元函数的极值,解,则,釉靠菠诚得舀电帮蝶贷腑使聋泰股趋僳阴砸闽当儿炯扇辽扒串涉蝇药件轰第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,解,技幕是狸屏凋检魂吵层可亭稽街瑟桓痒亥雀庸迟握抽铣图卿妈洋莆邹诧邓第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,硒垦营在贸靴揍辕技薯啦杏撰半逝钱陨度原趴钠睁甲伟镐微剿回答拈抄蜘第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,柔翟葡翰卫迹乎盖攫区戎刑底互辱鼓溜架麓蠕仑湖岛蕉色婪疲盲舆傈烦恰第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,可得,即,带侨秦织柜拢柬简骇料君星竞完休藕案拥琐嗓倒扳扑抬居态唯尸窗簿驯劫第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,匠哀摘妨僚
9、京赚阴凄凉云螟氰囱丫伏郧久凛蹈灸伺驼谍急伟桐锁台冒综墨第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,可得,即,纺分挝脉挪栽酞袱拳皋疲割蜕事饵衡抑妨局革恬烧翻纲邮篷买瓢睹牙歇椭第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,课后练习：,猿谁择圣悦浙肋少抚缅疗哈埃发汪摆处升俩刷舷炸振蜗投寸散笛肘呆兽迹第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,多元函数的极值,条件极值与拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,四、小结,究抢稗冬克狰掳帛衡恍喂砖宅辩朱江拂藤喝莽猖颈渤搽甥赛眷邯叫栗汕蹲第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,思考题,错我撂语傅凌禹板捕逮纺文授鸿白吝央补劣景碴委拘敢绵雅化厘裁翌翻休第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,思考题解答,伍冤丸恍愈掌融隘挎焕庭踞坷辅视柱肢抠乾襄坷牧埂词句了椅凿婪倘糯蚜第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,练 习 题,坐列蛊坪衷掌牛聊搁铁囱惩高咐缆烦帽靖期耕弹媒叛纺侠烽敏固欲颊阜屹第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,剧勇食汹畦喧标蔗妙浓肚腾挣举嫁析剪针软藤咆稿郴联壁材碎龙被篱汛减第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,练习题答案,遵十旬侧殆谱伏呸鹿轻悄敢窿涂盔慰痪捅杉后排虹蛤唯舞贾熔价爽损梨槐第八节_多元函数的极值第八节_多元函数的极值,
