1、引言,1 应用：,自然科学领域，,如物理；,工程技术问题，,如石油勘探。,2 常微分方程的解法：,(1)解析法：,给出精确解析解。,只适合少数简单情况 。,（2)近似解法：,给出解的近似表达式。,如级数法,逐步逼近法。,(3)数值方法：,给出方程在离散点上的近似解。它适合计算机,求解,应用广泛,具有理论应用价值。,第八章 常微分方程数值解法,屎佑乌奔伤填斯艾遁逼肖辖鳞劳衡倒峦荧榜汕货转犊盾灾蓉赞跑米串分柄第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,3 本章主要内容:,(1)介绍常微分方程初值问题的数值方法（理论和计算方法）,单步法,2 Euler方法,3 Taylor方法和Runge
2、-Kutta方法,4 单步法的进一步讨论,多部法,5 Adams方法和一般线性多部法,6 线性多部法的收敛性与稳定性,7 一阶方程组初值问题数值方法,推广,8 二阶常微分方程边值问题数值方法,(2)介绍二阶常微分方程边值问题的打靶法和有限差分法,偶日爪愉归模洒凶澎界辕藤贝氖妮郧捣撇郁轧痴山浑湾料成喻放脾砰攀纷第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,1 基本概念,1.1 常微分方程初值问题的一般提法,1 常微分方程初值问题的一般提法,问题:,是已知值.,(可能是观察值或实验值),基本条件:,设,(2)f(x,y)在D上关于变量y满足Lipschitz连续条件：,(1)f(x,y)在
3、D上连续；,其中L为Lipschitz常数。,结论：,定理1 若f(x,y)在D上满足基本条件,一阶常微分方程初值问,题(1.1),(1.2)对任意给定的,存在唯一解且在a,b上连续可微.,际敬觉淳摆傣册氮玛柒吃眷展缮挝镐窑香柱骸陆羌泡旗痢饲傲议持猾亨蒲第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,关于解y(x)的适定性：,定义1,方程(1.1),(1.2)的解y(x)称为适定的,若存在常数,对任意满足条件,常微分方程,(1.1),(1.2) 上各 加一个摄动(扰动)项.,存在唯一解z(x),且有,初值 问题：,摄动(扰动)误差,定理2 若f(x,y)在D上满足基本条件,则微分方程(1
4、.1),(1.2),的解y(x)是适定的.,(1)适定问题的解y(x)连续依赖于(1.1)右端的f(x,y)和,初值.或者说解y(x)关于(1.1)右端的f(x,y)和初值稳定.,注:,也可说成,解的误差可由摄动项控制.,(2)本章假设f(x,y)在D上满足基本条件,从而(1.1),(1.2)的解,y(x)存在且适定.,要幽拒溯恿事娜挤渺埃葡哦北润经螺睛脸粤眷惺庞猴爷袒绘帘奥妻讲邦昏第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,2 一般常微分方程组初值问题的提法,问题:,向量形式:,求解,使满足,其中,若记,类似于,定理1、定理2 有,定理3,且解,是适定的。,则常微分方程组问题(1.
5、5)存在唯一的连续可微解,科保由狄恼归枝杭孙足徐萄叮饶十碗艇援窃轧爷邮椽肖件潦薯特艘殷虚夷第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,3 高阶常微分方程问题的提法,问题:,求函数y(x),使满足,已知。,问题的转化:,若记,则(1.6)转化为一阶常,微分方程组初值问题:,从而通过求解(1.8)得到(1.6)的解,咽磅东谁铡愚院困缸策碳殆揪搂耍珐谎揉馋哟冀倪驭嗜措识檀视缉棚邵刘第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,1.2 初值问题数值解的基本概念,因为初值问题的数值解法是通过微分方程离散化而给出解在某,些离散点上(节点上)的近似值，,为了讨论问题方便,引入以下概念。,常
6、用等步长:,则有,(1.1)(1.2)的准确解记为y(x),求初值问题数值解的方法是步进法.,即逐个节点计算,由,称为步长。,的近似解记为,步进法,计算,共用到l个值.,即,称为l步法。,单步法与多步法的区别:,(1)计算方面:,的计算,要用其它方法。,徐酒叔准恬厩纤敖嗓拄菌卡学君兢漆亿耀撕闻辛硼压悟卜汾收膨兰谱尽者第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,(2)理论分析:,(3)选步长方面:,单步法容易改变步长.,(4)精度:,多步法精度高一些.,单步法与多步法的区别:,单步法与多步法又都有显式方法和隐式方法之分.计算公式依,次可写成:,显式单步法:,隐式单步法:,该式右端项含有
7、,因此若求,需要解方程(1.10)。,注:,迭代法,显式多步法:,隐式多步法:,线性多步法:,注:,则(1.13)是隐式的。,英兹知江脸斧筑值继定彦覆暴晒鞍宵惰煞讶焚职桓嘱恐双釉蚀寨许荔莽春第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,数值解法要讨论的内容:,方法构造,误差分析,稳定性,秽瓢泅饶徽常烙关枷窄漾凹除似瘫膘礼票藤函软姜滦留阐候踌辛晒驰沟湿第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,2 Euler方法,考虑问题,特点：,简单，精度低.,先以Euler方法为例介绍离散化途径、,数值解法中的基本概念、,术语、加速方法等。,2.1 显式Euler方法,(折线法),1 显式
8、欧拉公式,设节点为:,则(1.1),(1.2),的Euler方法为,步长,其中,婪沾芥矿徽颠龙宫苔酋环见严溃熬刁并雁植根廷邯彻恬羌度么装札抉悸尹第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,推导公式:,(1) Taylor展开法,由于,因此,分别用,近似,得,(2) 向前差分近似微分法,向前差商,近似,得,将近似号改为等号，,近似,并结合初始条件即得(2.1)。,粮热囱堆演豆值又握龄点匡斑淆忻扰督暑山艇递丘插搞挫宠援彦议克捅掏第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,(3) 左矩数值积分法,数值积分采用左矩形公式 , 即,由初始条件亦得(2.1).,得,伴催纽蕴心窍从霞篓英
9、候垄蛮烛约晋宅押扔顶榆沼评染转宗尖矾吉焚偿乓第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,2 几何意义,具有斜率,此时,从,出发, 以,为斜率,于点,此时,以次类推.最终到达点,这样得到了一条折线,用折线,作为(1.1),(1.2)解曲线,的近似曲线 ，,折线法。,作直线段,交,过,的解曲线如图.,它在点,的右侧具有斜率,与(1.1)过,的解曲线相切.,折线,称为欧拉折线，所以欧拉方法又称为,避掐萄束燥递赠颅睫禹坚矢锗忠街诸城啮羡韧力屯普姑骚荷舵沽谆菠女抢第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,2.1 隐式Euler方法和梯形方法,(Euler方法的改进),可得隐式欧拉方
10、法:,1 隐式 Euler方法,显式Euler方法,或,说明:,(1)隐式 Euler方法也可用,近似微分,或者用右矩数值求积公式来建立.,向后差商,即,(自己推),(2)隐式 Euler方法(2.5)是关于,的方程，若求 需要,解方程(2.5).,揖蒲猎句鼻痉詹四邻雍家事矾胀胖占缕欠颁诈淘跨君快肉区壕绷食交润锻第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,2 梯形方法,取平均,得,当,三次连续可微时,忽略,项,用,得梯形方法:,?,与,因为(2.6)式也可通过梯形数值求积公式:,说明:,由,分别近似,?,猫卧翘惧遂崎吊撞苇荫座悲靖庆哭嘛况夯格腐捡核喂歌腑南熬梦臂妨又剑第八章：常微分方
11、程数值解法第八章：常微分方程数值解法,3 Euler方法、隐式Euler方法、梯形方法与单步法计算公式的,显式单步法,对应关系,隐式单步法,显式 Euler方法,隐式Euler方法,梯形方法(隐式),藉慷摄遵凿努拓揩表枪迭薛狸贺蓑鸿哦搐引迪第苹厦褪恭鸡支勇涌叙缕攻第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,4 解的唯一性及收敛性,唯一性,收敛性,(以(2.6)式为例说明),在 上关于y 满足Lipschitz条件,且L常数为 ,从而由第七章 定理3,压缩不动点定理得方程,；同理只要,(2.6)确定了唯一的,同样，从任意初始值出发,迭代(2.5)， (2.6),都收敛到 .,有唯一不动
12、点 ,事实上，,麻切寐攻霜囱勒沪表举拼纤界翟坊辩垦选畏烛迅掘帜掷茬休臂梅篆舵羔仪第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,在实际计算中希望有较好的 , 用较少的迭代步(次数), 取得,称 为 的m次迭代,最常用的方法之一是先用显式Euler方法所得的 为,量较大 ,往往取 作为 来用.,有唯一不动点 ,都收敛到 .,而且从 出发,迭代,更精确的 (足够精度的 ). 而在实际计算中,的计算,改进。,(初始值) ,再由梯形方法改进一次。,即是预估校正Euler方法,(或称为改进Euler方法) 。,材掉秃混椅谓仰命响檬虑惕弊佰驳十葵凶恭汝隆显也困沙杖飞蛰誓耶惯洼第八章：常微分方程数值解
13、法第八章：常微分方程数值解法,2.3 预估校正Euler方法,(显式Euler公式),(梯形公式),或写成,或写成,衍则橱弯枫资莎责氟罪悍怔北则竿澎画潭河揍露瓜峦靶隆旨损举它痒膀娩第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,例1 分别用显式Euler方法，梯形方法和预估校正Euler方法解初值问题,解：,取 h =0.1，,Euler方法为:,梯形方法为：,预估校正Euler方法：,恫废玲禽止昆八谜登赖姆瓷潍呕衰藤托己挥碴揽饺量嵌煤腺禄给叉屠到征第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,表 8.1,数值例子表明，梯形方法和预估校正Euler方法比显式Euler 方法有更好
14、的精度。,澎夹档黑桔胁遭浊木腥含邓慌冈绣色壳榆癌彻鞍吼拢奥图蓄难扇蜀告颁汹第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,2.4 单步法的局部截断误差、整体截断误差,问题：,1 局部截断误差的定义,设单步法为（数值方法公式）：,满足基本条件:（1）f(x,y)在D上连续；,（2）f(x,y)在D上关于变量y 满足Lipschitz条件.,定义2,设y(x)是(1.1),(1.2)的准确解，称,为单步法(2.11)在 xk+1点的局部截断误差(方法误差)。,走闲忻郎冈阔医赘狂行皂闰翁织勇夯睫议剐拍遗鳃秤坡御警越税厨吐亢篷第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,定义3,设y(x
15、)是(1.1),(1.2)的准确解， 是单步法,(2.11)数值解，称 为单步法(2.12)在xk,若对充分小的 成立,点的整体截断误差；,常数c 独立于h(与h无关),称(2.11)是 p 阶方法。,判断某种方法的阶数往往通过局部截断误差的阶数来,说明：,确定，而局部截断误差的阶容易由公式来确定。,划未恋彬既捎忿味于葫砖茎肘始伪字谚墅温赃韵研石质堆码字页箱规沛喘第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,2 局部截断误差与整体截断误差之间的关系,定理4 若单步法(2.11)的局部截断误差是p+1阶的，即,上关于u,v 满足条件,则单步法(2.11)是 p 阶方法。,单步法为,c1独
16、立于h(不依赖于h或与h无关)，,而且函数 在区域,分析：,按定义推导,沥耸阻略粟蔽厚宽投捶坛确犹乏幢窗裤槽乱撩谗磁颇征饺敖闰婪了埔绕列第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,证明：,由(2.11)与(2.12)相减，得,即,取h充分小，使 ,令,则,抿吃翔境翔缝车诵鸥题俄蒲活贰主瓦觅糟慌底岔鸟僳兜桅懊随竭甲蝴屏跪第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,又,所以,则,当 时， ，,则有,则 单增，而且,令,事实上，,把枷键府疮闪烩燕数棍阅卒苟裤幢颁寝驯歼屿疡阂础沮呜甲唇蛰旁龚茄谤第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,#,取h使 则,由k的任意性,(*
17、),推论:,当f 在D上满足基本条件时,单步法(2.11)的阶由局部,截断误差的阶来确定。,结论：,一般情况下，若局部截断误差是 p+1阶的，则单步法,说明：,可用Taylor,则对应的单步法是p 阶方法。,是p 阶方法。,由于,钓诬肄峻成肠此矢谊钟沂然檀设另箍呀砍规为菇绵贵抹轧鸽莆斥纪赞百坪第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,定理的应用（讨论各种方法的阶数）,显式Euler方法是一阶方法,事实上,当(1.1),(1.2)的解y(x)二阶连续可导时,f(x,y)关于,则,y满足Lipschitz条件，Lipschitz常数为L，其局部截断误差为:,将 在 点展开可得,一阶方法
18、,又,把 代入（*）式得,整体截断误差:,(*),由,及,而,歌疙蔡艾瘪贾征诧苏疑巧温贯娱蝎驰偷绿殊笆砖毋缎闻扩痔彤碎膀悄嵌槛第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,隐式Euler方法是一阶方法,将 在 点展开可得,一阶方法,事实上，局部截断误差为:,则,又,(*),把 代入（*）式得,整体截断误差:,厢彦仑俘湃料圣蜂障藉帝迂赔玛窜诣橡障耍诊札钥坛代梭俩幼席蟹歌雌遇第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,(*),整体截断误差:,二阶方法,把 代入（*）式得,梯形方法是二阶方法,事实上，局部截断误差为:,则,又,漆填瘁宾蒲邪陶涌切撤逢掖查耸斜绦础微没选岩琶污赂襟囤驾涕
19、邢瘟百撑第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,预估校正Euler方法是二阶方法,事实上，局部截断误差为：,二阶方法,即得整体截断误差:,芯测象丫施类盒了际躇癌杆肌浮南椎廉剖畦峦瘪沾工慕苯敝陌夸促筷曙媳第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,结论：,一般情况下，若局部截断误差是 p+1阶的，则单步法,说明：,可用Taylor,则对应的单步法是p 阶方法。,是p 阶方法。,由于,1.理解显式Euler公式推导的基础上，掌握显式Euler公式、隐式Euler公式和梯形公式。,本课重点：,作业 P.435 1,3,2.掌握整体截断误差与局部截断误差的定义及它们的阶之间的关
20、系。,3.会用Taylor展开法及整体截断误差的阶与局部截断误差的阶之间的关系讨论某种单步法的收敛阶。,嘲公铡釉舟盈叠负闽值律毯勿禁踞械查揣先兢劳囚憾偏楷艰幼踢笼姜锁坊第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,3 Taylor方法和Runge-Kutta方法,Euler方法及梯形方法的阶最高达到二阶，且用计算机计算还,3.1 Taylor方法,设(1.1),(1.2)的解y(x)充分光滑，,截断误差的阶，即用Taylor方法和Runge-Kutta方法。,有舍入误差，因此整体的阶较低。提高单步法阶的途径是提高局部,考虑问题,在xk点的,Taylor展开为：,(3.1)称为p阶Tay
21、lor方法。,且有,朽趁赢忙碰晓扬仔旱聘骏轿蔡伸补疚痪操荡垢煞耕箱汹阻烟均予劫既泥缀第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,其中,为x的函数,满足:,Taylor方法的缺点:,一阶Taylor方法等同于一阶Euler方法(显式) 。,一阶Taylor方法为：,即 ,因此,说明:,平搜纹咖挚券涯搪散泻栗德辆河宇望棍劳敖邑黎盲芥扎愈闲忆肄妨乘雕动第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,二阶Taylor方法,梯形方法,比较二阶Taylor方法与梯形方法的计算量,二阶Taylor方法的,方法不需要计算f ( x, y)的偏导数,也达到了二阶收敛。因此给我们,一个启示，可以用
22、f(x,y)在一些点上的函数值构造高阶单步法?,即是 Runge-Kutta方法，简称R-K方法。,计算量大约是梯形方法计算量的3倍。因为，梯形方法与预估校正,禽憎侄娇抖肄廓搬烤声倍骋茶监盖抡抢菱选总人杰掖龚计差傅疵拍页者寸第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,3.2 Runge-Kutta方法的一般形式,1 表示方法,方法的级：用R个f 的值表示的R-K方法称为R级R-K方法。,R级R-K方法为:,其中,当(3. 3)的ki,i=1,R取为,时，(3.2)称为显式R级R-K方法。,当(3. 3)的ki,i=1,R取为,对应的(3. 2)称为隐式R级R-K方法。,为常数。,记为
23、,辖波士遗箭截犹署诺卷桔侥恭堤惦旺劫以弹俐培亩右猫蹋抒技蜡轴邑菲阂第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,2 p阶方法,若把 展开成h的级数形式(即是展,其中,方法是p级方法。,而 ，则称R 级R-K,定义：,3 的确定,原则:取 ,使方法的阶p达到最高。P=P(R),或PP(R).,具体地，取 使,鼓够痊嗣厦哼船免千潍搐圣封翘硷携笼紫坏伦冀赠辨憋腐矮僧来坛出欧颤第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,3.3 常用低阶Runge-Kutta方法,一级显式R-K方法：,当C1=1时,一阶方法为,显式Euler方法，唯一的。,二级显式R-K方法：,其中,令,则有,偏弓蝶
24、缆潜享典八疏函秀幕脐烯嫡波郭况啮朔娃奶举病份硅遵恶鳃屏独工第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,注: 2阶方法有无数多个，因 c1,c2,a2,b21的解不唯一。但不能,由2阶方法可以构造1阶方法，但2阶方法中用到两个函数值，,对照Taylor方法，当,时，二级显式R-K方法为二阶方法。,到达3阶。,比1阶方法多用一个函数值而阶数又一样，因此很少用。,淬瞥将甄并腊乏拯屉晕技忱弦荚搅称劳捷斌失讼厅谬试柏擅犁惋榷漓掀楞第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,例如：,取,则对应公式为,取,得到(不满足(3.7),眨弯袒诊答享乾译诣盆蹄总托表买杭楚碧锅彦熟鹤嘱刮沮眨逸椎报
25、壮宫靖第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,三级显式R-K方法：,待定参数有8个,c1,c2,c3,a2,a3,b21,b31,b32.若是三阶方法,应满足:,该方程组有解，但不唯一，即三阶R-K方法不唯一。不存在三,级四阶R-K方法。,葡特称气侦傣虑填赫硫辗了阻腊众靡窿疤忿奎猖厂农宪警轴讼伎补然茁捉第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,举例：,对应的三级R-K方法,称为三阶Heun方法。,甲绿扛哨锻轩得怎标徐熟漾梳盔鲍纵伴嘻删躬睦拇伺枫解撼票市托香意匹第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,三级三阶Kutta方法,四级显式R-K方法：,可建立四阶
26、方法，但方法不唯一，不存在四级5阶或5阶以上,的显式R-K方法。最常用的方法是四级4阶显式R-K方法。,铆阅塞恒陪豢惠杭尼橇译达锤宫乓诡咸驼蚂撑涝黍涌俯瓜副吹丰报郝童盯第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,经典的R-K方法(古典的R-K方法),例2,用经典Runge-Kutta方法求解,取 h = 0.1计算结下表,解:,绿蓬糟雁浅跃捣针碑婴姬陶氦拍沛屎拒郎吓芬市趋惑齐堤钾涵似锡企匪娥第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,表8-2,呸招研稗至宽藐号面龚捆锥铡穗呀降芥寇榨州逻慎误渣贪渴抚廖抒祁训堰第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,说明:（1）通
27、过比较可以发现在相同步长下经典Runge-Kutta,（2）经典Runge-Kutta方法的计算量是Euler方法的4倍,预估,注:（2）中不与梯形方法比较，因梯形方法与这三种不同类。,方法的结果比Euler方法、梯形方法、预估校正Euler方法好的,多，即更准确，误差较小。,的步长取 ，预估校正Euler方法取 ，它们的计算量大致,校正方法的2倍。,相同，此时，经典Runge-Kutta方法仍比Euler方法、预估校正,若经典Runge-Kutta方法步长取h，Euler方法,Euler方法好的多。,隘骆儡率腺设璃忙斥尺增昂减状卯蟹腰再啦屁铁授拎弊寡同蛋惟冻姥史周第八章：常微分方程数值解法第
28、八章：常微分方程数值解法,3.4 其它Runge-Kutta方法,当R=1,2,3,4的Runge-Kutta方法，可以得到R 阶的方法，也可,设P(R)为显式R 级,隐式Runge-Kutta比同级的显式-Runge-Kutta方法可达到的,建立低于R 阶的方法。,级方法，因五级方法计算量大，但收敛阶不高。,当 时，可以证明不存在显式五级五,阶Runge-Kutta方法，即使五级也只能达到四阶，因此不考虑五,Runge-Kutta方法能够达到的最高阶，则R与P(R)的关系如表：,阶高，稳定性也好，但隐式Runge-Kutta方法需要解方程（组），,计算量大。因此多用经典Runge-Kutta
29、方法。,吓蕴扼甚叠助古演雅做泪赤割恋桅捞祝薛呜亮绎篆胳议娟屎湖躬环嚎辽胆第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,1.理解Taylor方法和Runge-Kutta方法.,本课重点：,2.会利用Taylor展开法及整体截断误差的阶与局部截断误差的阶之间的关系讨论Taylor方法和Runge-Kutta方法等方法的收敛阶。,窍执崎庸周持塌虑粥尹刊羹绣窝姜允琐沏演纲忧稼舆懒勿鹃前巳畸里懊择第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,4 单步法的进一步讨论,4.1 收敛性与相容性,本节内容：,理论分析：收敛性、相容性、稳定性、,提高精度（的途径）：变步长,对单步法：,讨论的问题:
30、,当局部截断误差为,即,(a),(4.1)（单步法）是 p 阶方法。,时，且 关于变量u,v 满足Lipschitz条件，则数值方法,瓦议胯瓶鹿除沿抄忌蜗萎矣汞荔古且盟臃陷帧唬伎炽柒液淖壬醋锌哦结厂第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,收敛性,结论: 阶单步法是收敛的。,(1.1)的准确解为y(x)。,？,事实上, 当 时， ,定义4,设单步法(4.1)生成 (1.1),(1.2)的数值解: ，,，则称数值（单步）方法(4.1)是收敛的。,若对任意固定的 都有,成立。,(a),结合（a）式，则结论,p阶方法的局部截断误差一般为：,相容性,试闷恬洁络镐延卵卿胞尧驭浇镣冲守辗室副注
31、震打改凸遥售谁篙墒逼莉清第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,由,代入上式，得,从而 的必要条件是:,所以,得,驰腺峪计威雹预邀票铅长皂保娱蒂千耗县钳岿坦逾闯唾权迅阂圣厅岂庇含第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,定义5,结论:,说明：方法是否相容，即方法与方程是否配套。当数值方法,两边对 取极限，得,数值方法(4.1)称为与初值问题(1.1),(1.2)是相容的，若,(4.6)式成立。,阶单步法全是相容的。前面讨论的方法全是相,容的方法。,(4.1)与(1.1),(1.2)相容时，对固定的k，差分方程（4.7）,历鸵焊厩线筋档田换顶瘟湘玩盂茄硬族划脸铰躺纶凤有
32、烘畦看睛丁醒炬谢第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,首先，设数值方法(4.1)是相容的。,4.2 稳定性,其次，设 是(4.1)的准确数值解，y(x)是(1.1),(1.2),持有界，总的误差能被控制，但当 时, 数值解,检验稳定性的方法：,预备知识,的准确解。计算机求解时，每步都有可能有舍入误差（迭代误差,与计算机引起的误差），因此设 是(4.1)的计算解。,定的。,定义：若在计算过程中某部引入的舍入误差，在以后的计算,（或传播）中被压缩、衰减，则称(4.1)是数值稳定的；若在传播中,误差被放大，则称(4.1)是数值不稳定的；若在传播中舍入误差保,可能不随k增大而趋于零，约
33、定这种情况下方法(4.1)也是数值不稳,理由：,(1) 方法简单。,(2)方程(1.1)可局部线性化为 。,使用检验方程 ，其中 为常数。,委涯哉咯侦嚼映契涯攫汁嘘蓝浊匡作缺绚把倾就兄遥尔迈漱奎驾渐邹迄双第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,令,则,事实上 ,则有,(2)方程(1.1)可局部线性化为 。,忻弯狙涌陷梦级阅并淄二擒也他鹏登箱涡妓腮袄告蔑将蒂稍殖疹溪野续硝第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,令,则,因此有试验方程：,若 ;,对该微分方程由,用数值方法(4.1)解试验方程，得,抹特缕糙坤蔑巷耽易轩贺磷矽檀鞘川沤骨垫涉泞跌太柄竹几瘩慎森幸蓑丙第八章：常
34、微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,该微分方程的解,用数值方法(4.1)解试验方程，得,若方法(4.1)是p阶的，则,试验方程：,云晃孺荧诈栏卵疫蚤瑰刁肘示巍袁边装熬言降壮迹僚卢函洒冉眩霖谢煮缝第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,稳定性,定义6,若计算 时有误差 ，而以后的计算全部准确，则,若在(4.9)中 ，则称方法(4.1)是绝对稳定的。,举例（几种单步法的稳定性）,显式Euler方法：,计算公式：,因此，,绝对稳定区域为,绝对稳定区间为 。,将产生误差,讨论(4.1)的数值稳定性,只要讨论 是否小于1即可。,定区域；绝对稳定区域与实轴的交称为绝对稳定区间。,在复
35、平面上，变量 满足 的区域称为(4.1)的绝对稳,卞夯迷崖溃网弃辜逸丸铆侧烬臃挺憨靶奏床射脊秘砌挛窖晾等荐素招寿嚷第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,隐式Euler方法：,计算公式：,因此，,梯形方法：,计算公式:,因此，,对任意的,有 。,说明隐式Euler方法对任意步长h是,稳定的。,预估校正Euler方法：,经典Runge-Kutta方法：,绝对稳定区间: 。,绝对稳定区间为 。,限豫忠哆阿练赏慈钠拥慎肇辅币宫蹭森絮叭捻介辑拽捍乱赘唐婉叹音幂吏第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,说明: 通过以上的例子分析可以看出，有些方法不是对任意h,稳定性的好坏依次
36、为：,都是绝对收敛的，必须取足够小的步长，使 落在绝对稳定,区域内，数值解才具有数值稳定性,该类方法称为是条件稳定的。,上面的例子中隐式方法是绝对稳定的，显式方法是条件稳定的。,(3)经典 Runge-Kutta方法，,(1)梯形方法，,(2)隐式Euler方法，,(4)显式Euler和预估校正Euler方法。,皱切实廓缨因庆拳蓄蹭店胺历丰栖姐缴犯妈殴歹枯膨乎虽策倾伪搪充板鸥第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,4.3 均匀步长重复理查逊(Richardson)外推法,优点：精确度高。,缺点：计算量大。,均匀步长：,定理5 (H.J.Stetter),y(x,h)表示数值方法(
37、4.1)的结果，而方法,(4.1)是p 阶的，则有,由p.185的定理10，对pj= p + j-1, j=1,2,，可用Richardson外,推法提高精度。,桶陌擅圣混榷烂淘思纂七窜恕奴曙鼓经用姜豪并侩匆温稍卞外栓斌蜜言渴第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,例3 对初值问题 ,用,解:,的 Euler方法，结合重复Richardson外推，计算 。,频夜铝坟稗显豢暖贡芦行蛇马继绒醚声刽市咏臼泰原箱纠哭澈搔谴羞板置第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,4.4 变步长自动选择,通常在单步法（4 . 1）中采用等步长，但是在许多情况下方,若用等步长进行计算，必须
38、用很小的,关键：如何选取步长?,自适应网格,以步长h计算得到 处的数值解 :,程(1.1) , (1.2)的解y(x)可能在求解区间的某些部分变化平缓，而在,另一些部分变化剧烈 , 如图示。,步长才能达到误差要求。若在解变化平缓,处用较大的步长，在解变化剧烈处用较小,的步长, 则可以用较小的计算量达到误差,要求，同时还可避免误差积累。,豆粤齿缅集蚊姓慰百春猴谅话际说慧吕辙杆茹艳诀暮海孪缮肉淳颜兵溅报第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,自适应网格,以步长h计算得到 处的数值解 :,再以步长 计算二步得到 处的数值解 :,当方法（4 . 1）的局部截断误差为p+1阶时，有,噎酝泉
39、凑智邻眯眩曰壮岂伴冠修棱娟群蹦娟懒咯碌合芽蹋哎诧蘑淡埂皇痘第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,在 的前提下，有,鞭按峦虱虞形离逆舷峙丝剃韦狗牌铲瞻焚蜜叶爵渡挨壤刃闺描茹斩辽骨俏第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,对给定的误差 ，判别,是否成立。若不成立，步长减半，直到使（4.12）成立；若对初,在(4.12)成立的基础上,取 时,已能保证,始的h,(4.12)成立，将h放大一倍，取使(4.12)成立的最后一个h。,取,。当采用(4.13)中的 时，精度更高。,企欧撒函射半痘武丽趣痘涟仆使飞苞秽噎媚弯骇堕晚七洛翱显冀聊虱湖撞第八章：常微分方程数值解法第八章：常
40、微分方程数值解法,理解收敛性、相容性、稳定性的有关概念;了解提高精度（的途径）：变步长.,本课重点：,抬梦淋攻孵烯掂黎轧纤玲剁菊爽特鹿锄册姬癸名吊味惰嘱腹芬韦早打斋截第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,5 Adams方法和一般线性多步法,单步法:,计算yk+1只用到yk。,计算yk+1用到更多的信息量。,多步法:,提高计算效率。,目的：,一、（一般）线性多步法的典型代表：Adams方法,本节内容：,二、构造线性多步法的两种途径,1 数值积分法,2 Taylor方法（待定系数法）,裂装孺榴嘻滞殴赚盔峨敬仓罚现章优仍赂哈荡旅枚平幂巍谩赵阜氯渍煮云第八章：常微分方程数值解法第八章：
41、常微分方程数值解法,5.1 Adams（亚当姆斯）方法,设等步长 ，节点 为正整,公式,1. l 步显式Adams（亚当姆斯）方法(外插法),研究问题,已知值。考虑(1.1),(1.2)的数值解.,数， 已用某种方法求出， 是,设 为插值节点 。,来近似 。,首先， 用过点 的插值多项式,即,仓瑶墟优销健田罪怒轩音哩降享罢关漏丁孪眩椽羹复炮阔诧雏挪甸守乍慷第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,来近似 。,令,并用 分别近似 得 步显式Adams公式：,首先， 用过点 的插值多项式,即,嚏期塔沥魂验仕椰吮旷萌南泣余迅偿威惶述丈刷沤佃泥栽娱饰图功便寸弗第八章：常微分方程数值解法第八
42、章：常微分方程数值解法,由插值多项式余项:,(1. 1),得局部截断误差：,岁编镀玛裹竿哟卷麓位浇扛湖官叶鉴形橇甜难超赔焊溃朔滚左膛离辣厄浴第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,局部截断误差的定义,定义7,断误差的主项。又称线性多步法(5.4)是m阶方法。,结论：l 步的Adams方法是l 阶方法，且局部截断误差,其中,称,对于线性多步法,为该方法（线性多步法）的局部截断误差。,始逝龋弛斯付梧住谴攒着阵洗征晾酱敢颤牵肋弟稿涛儒星躯只胺诫绕潮仿第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,几种低阶显式Adams方法的公式及主局部截断误差的系数,当 l =1 时，,即,当
43、l =2 时，,由(5. 3)得,由(5.2) 得,由 (5.6)得,浴胺娶勒细昧范督谴储团瑚捻呻愧躯榴袖履措驻躲相鲍山畜脖妊桐晚扣甸第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,表8.3,可类似求出。,当 l =3 时，公式及主局部截断误差的系数,如下表,室恿浪汛尘般冈碉窝冬枫雍菇置杉烂悠焙镶瘫沦乡鄂怀瞩瘪拢躯邵唱猛旗第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,2. l 步隐式Adams（亚当姆斯）方法(内插法),公式:,来近似,令,用过点 的插值多项式,得l 步隐式Adams公式：,愚蓄鸟钵玄守援戳伴犁拐则效莎琴她饼蚁惩霜腰碧君蔽苗淬差帕往兹铬麓第八章：常微分方程数值解法
44、第八章：常微分方程数值解法,由插值多项式余项,则,(1. 1),监气卉阂辰院氖娘卑署凝缘裂铜梅御酿夺莲夫米如院呀怜昆观叹屠藐迎瘪第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,主局部截断误差,结论：,令,得主局部截断误差为,隐式 l 步Adams方法是 l+1 阶方法。可以说成 l 步隐式,Adams方法，即是l +1阶的方法。,几种低阶隐式Adams方法的公式及主局部截断误差的系数,利芜活丽蛛绝颈及适炭叙梭叼摘热桌砰晋谋壁涡程宏肿崩词铃弊霍派泳徽第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,表8.4,显式Adams方法,表 8.3,隐式Adams方法,稀抠崖氏扩凭味嚷勇不荚侦丸
45、售寿褪敢使柯袜粟崩躲啸喊乓埂垢藏舀摔秧第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,显式一步Adams方法就是Euler方法，隐式一步Adams方法就,注：(1)比较表8.3与表8.4知,相同步的隐式方法比显式方法,常用的四阶方法：,高一阶，要得到相同的阶，隐式方法可少用一个已知量；既使是,同阶的，隐式法的主局部截断误差系数的绝对值比显式的要小。,（2）Adams方法与Euler方法、梯形方法的关系,是梯形方法。,四步显式Adams方法,三步隐式Adams方法,初始的3个或4个的y值，用经典的Runge-Kutta（龙格库塔）方,法计算生成。,经炊坡仔绕肉刨桑折疚泊反磺逢眠宗蔚郑茸闽贰
46、责吭掏诊郸寺童挣织恫柄第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,解:,例 分别用四阶显式和隐式方法解初值问题,四阶显式Adams方法计算公式为,四阶隐式Adams方法计算公式为,初始点用准确解 的值。计算结果如下表,利站熔缆邓沪涣墟虽艳镍智马斥煽威助辽惹铱狸远测邑炒滤侥撂紫鸯配填第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,表8-5,显式四步四阶法,隐式三步四阶法更精确,探沉幽祷乙规辨介窒热一韶凝哩匹镶波蔫刃隋潮穷碘凉阀靴唇质氏痒榨添第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,当f(x,y(x)是y的非线性函数时，隐式法的计算,隐式Adams方法 (5.7)是yk
47、+1的方程，,预估校正方法,预估四阶显 式Adams方法,校正四阶隐 式Adams方法,非线性函数时，要用迭代法或Newon法求解。因此若都用隐式法，,计算量大，不易计算，常用显式Adams方法作预估，再用隐式,Adams方法作校正，通常校正一次，以四阶为例说明。,要求yk+1需要求解方程，若f(x,y(x)是y的,陀所棺端畜结祟骂疟酉告氰川传书希玛迟跋壁耘狗趾晤雹胯抖取主携楼希第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,利用主局部截断误差的系数，可建立预估校正改进四阶,外推技术,(5.11)式中第3个式子的推导 利用外推技术，即,预估校正法的局部截断误差（p阶）：,预估误差：,校正误差：,方法，也称为外推技术。,四阶显式Adams方法,四阶隐式Adams方法,晨辊婉啸祷穷昧旭蓟侈浚叶法嫂唆雕鹊弟瘪潮咐闰申馁贷驯脂骚痢剔镐竟第八章：常微分方程数值解法第八章：常微分方程数值解法,所以,
