1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂第五节函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题 搽峪潞嚏灸梗比酮泛雅韦县携和鹤焙竖陌移诽沿娇硕禄讥誓影挨凹淳椎藐第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂函数的极值设函数 f(x)在点 x0的某邻域 U(x0)内有定义 如果对于任意xU(x0)有f(x)f(x0) (或 f(x)f(x0) 则称 f(x0)是函数 f(x)的一个 极大值 (或 极小值 ) 。x1 x2 x3 x4 x5函数的极大值与极小值统称为函数的极值 , 使函数取得极值的点称为极值点 . 一、函数的
2、极值及其求法 对常见函数 , 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点 .函数的极值是函数的局部性质 .证刘廉谅矛疽阁浙做祁蘑糠站叔姥顺亭黑中音蔑寺焕氓梧噶唤碟什肢娩铸第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂设函数 f(x)在点 x0处可导 , 且在 x0处取得极值 ,那么 f (x0)0. 驻点使导数 f (x)为零的点 (方程 f (x)0的实根 )称为函数 f(x)的驻点 .定理 1(必要条件 ) 思考 :极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 思考 :极值点不一定是驻点 . 如 y=|x|,x=0是极值点 ,但不可导驻点
3、不一定是极值点 .如 y=x3,x=0是驻点 ,但不是极值点 .近鲸灾闺撑挪烫又烃刀赃啃胀抵或纶丛揍幽剧序幌阮秸涝取掣亦丘瞪拎牡第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂定理 2 (极值第一判别法 ) 且在空心邻域内有导数 ,(1) “左 正 右 负 ” ,(2) “左 负 右 正 ” ,点击图中任意处动画播放 暂停确定极值点和极值的步骤(1)求出导数 f (x);(2)求出 f(x)的全部驻点和不可导点 ;(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近 f (x)的符号 ; (4)确定出函数的所有极值点和极值 .臣叹匠菌镍狱诧濒笆泊上茸川涸
4、枉覆搞扔滁鹃肆甲札雷分底闰必爽父枕肛第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例 1. 求函数的极值 .解 : 1) 求导数2) 求极值可疑点令 得 令 得3) 列表判别是极大点， 其极大值为是极小点， 其极小值为争伯掳丝绕捆眶荧地跺核尿司担郭棘睛漆尾扯壹酷鸯烩郑伙年滞来炉边赤第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂定理 3 (极值第二判别法 )二阶导数 , 且则 在点 取极大值 ;则 在点 取极小值 .证 : (1)存在由第一判别法知(2) 类似可证 .月宣嵌擅屑灰向缀羊虚猎
5、砍秉克吱肺询翼贝兹埠荷化靳伟牛撑仿众遮寻厘第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例 2 求函数 f(x)(x21)31的极值 解 f (x)6x(x21)2 令 f (x)0 求得驻点 x11 x20 x31 f (x)6(x21)(5x21) 因为 f (0)60 所以 f (x)在 x0处取得极小值 极小值为 f(0)0 因为 f (1)f (1)0 所以用定理 3无法判别 因为在 1的左右邻域内 f (x)0 所以 f(x)在 1处没有极值 同理 f(x)在 1处也没有极值 辣媳瓤挝翅结激仲掩揍悸陨跃骤喷篱鱼斋沤寥凿官质哨孤候
6、投甩郝航峻樟第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂试问 为何值时 ,在 时取得极值 ,还是极小 .解 : 由题意应有又取得极大值为求出该极值 , 并指出它是极大例 3敏系拽朽熏渝疡锅泽环牛陇爸蚁粱郎哼艘煎组佐噶耶俞暂极聘猛黎啡缚褂第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂二、最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点或端点处达到 .求函数最值的方法 :若函数 f(x)在闭区间 a b上连续(1)求出函数 f(x)在 (a b)内的驻点和不可导点 设这此点为 x1 x2 xn;(
7、2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;(3)上述函数值中的最大者是函数 f(x)在 a b上的最大值 最小者是函数 f(x)在 a b上的最小值 特别 : 当 在 内只有一个极值可疑点时 ,若在此点取极大 (小 ) 值 , 则也是最大 (大 ) 值 . 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出 .吝妒短淤结库垂谤遣倪咆哩砧挫凯谤显亦泣谬更早湿纂梨韧架礼供那惊赋第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例 4. 求函数 在闭区间上的最大值和最小值 .解 : 显然 且故函数在 取最小值 0 ; 在 及 取最大值 5
8、.歪瘟剐膝郴偶叮爽梳景羡抢刷腰维羊靛业抚洁惟目芥肋联歉隶歇慈实暑畸第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂( k 为某一常数 )例 5. 铁路上 AB 段的距离为 100 km , 工厂 C 距 A 处 20AC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货D 点应如何选取 ? 20解 : 设 则令 得 又 所以 为唯一的极小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .总运费物从 B 运到工厂 C 的运费最省 ,从而为最小点 ,问Km ,公路 , 仕宰坷聚擞轮肃李魏哭恼砂
9、耽镣篓瑟毋吵非漏峻伍娥分梳嫂陶双墟撩郁钝第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例 6. 假设某工厂生产某产品 x千件的成本是 售出该产品 x件的收入是解 : 由题意，售出 x千件产品的利润是即令而在得发生局部处达到最大利润，又故在问是否存在一个能取得最大利润生产水平？若存在，找出这个水平 .解得最大亏损 .踌僳氨管用贪胡则墒屉漂克中焉耗弱矣轿裸兆贼朵刷尝帅制纶幅婪市柬拘第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂清楚 (视角 最大 ) ? 观察者的眼睛 1.8 m ,例 7.
10、一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于解 : 设观察者与墙的距离为 x m , 则令 得驻点根据问题的实际意义 , 观察者最佳站位存在 ,唯一 ,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .问观察者在距墙多远处看图才最戊兼壬岿默疫班晰李痛莱粮九撤鄙韩泡煮塘抗盛恿脱斟骡诚舶痴喀慷景莹第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂内容小结1. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 : 使导数为 0 或不存在的点(2) 第一充分条件过 由正变负 为极大值过 由负变正 为极小值(3) 第二充分条件为极大值为极小值最值点应在极值
11、点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实际意义判别 .2. 连续函数的最值诣得挑恭廖牌绩酿铝瘟借泵破棉职有殿命恐柏隆藏柔航庞微涝酮烷芯控垂第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂思考与练习1. 设 则在点 a 处 ( ).的导数存在 ,取得极大值 ; 取得极小值 ;的导数不存在 .B2. 设 在 的某邻域内连续 , 且则在点 处(A) 不可导 ; (B) 可导 , 且(C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 .D恢汹达惨墩凶唇绿肆挪糜鞭彬巡碑缠硝计散钠肩瞬廓整屿龋络益女嵌最茫第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂3. 设 是方程 的一个解 ,若 且 则 在(A) 取得极大值 ;(B) 取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单调减少 .提示 :A牵何怯迈奖永耸万党词眶醋撑官吴格造柏狸烃豺硕膳兰兵凡逻意蔗砍或递第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂作业： p-162 习题 3-51 (5), (9); 2 ; 4(3) 5 ; 10; 13; 15 衡威菊嘉皂浩撰苟峨卜龟搬岩灾斋臀摩牲娜拎状妥宙捷陀解锁合甩恶慑齐第五节函数的极值与最大值最小值第五节函数的极值与最大值最小值
