1、1第四节 数列求和一、选择题(65 分30 分)1(2011菏泽调研)等差数列 an的通项公式 an2n1，数列 bn ，其前 n 项1anan 1和为 Sn，则 Sn等于( )A. B.2n2n 1 n2n 1C. D以上都不对n2n 1解析：a n2n1，bn ( )，12n 12n 1 12 12n 1 12n 1Sn (1 ) (1 ) .12 13 13 15 15 17 12n 1 12n 1 12 12n 1 n2n 1答案：B2(2011宣城模拟)已知数列 an的前 n 项和 Snn 24n2，则|a 1| a2|a 10|等于( )A66 B65C61 D56解析：当 n1
2、时，a 1S 1 1；当 n2 时，anS nS n1 n 24n2(n1) 24(n1)22n5，a21，a 3 1，a43， ，a1015，|a1| a2|a 10|1181 15226466.答案：A3(2011惠州调研)数列 1,1 2,12,124，122 22 n1 ，的前 n 项和 Sn1 020，那么 n 的最小值是( )A7 B8C9 D10解析：122 22 n1 2 n1，1 2n1 22Sn (22 22 n)n n2 n1 2n.2 2n 11 2若 Sn1 020，则 2n1 2n1 020， n10.答案：D4(2011济宁第一次月考)若数列 an的通项为an4n
3、1，b n ，nN *，则数列 bn的前 n 项和是( )a1 a2 annAn 2 Bn(n1)Cn(n2) Dn(2 n1)解析：a 1a 2a n(411) (4 21)(4n1)4(12n)n2n( n1) n2n 2n，bn 2n1，b 1b 2b n(211) (2 21)(2n1)n 22nn(n2)答案：C5化简 Snn(n1)2(n2) 2222 n2 2 n1 的结果是( )A2 n1 n2 B2 n1 n2C2 nn2 D2 n1 n2解析：法一：特殊值法，取 n1， S11 即可排除前三个选项 法二：利用错位相减法可求得答案：D6(2011南昌模拟)已知函数 f(x)x
4、 2bx 的图象在点 A(1，f (1)处的切线的斜率为 3，数列 的前 n 项和为 Sn，则 S2 010 的值为( )1fnA. B.2 0072 008 2 0082 009C. D.2 0092 010 2 0102 011解析：f( x)2xb，f(1)2b3，b1， f(x)x 2x， ，1fn 1nn 1 1n 1n 13S2 010 1 12 12 13 12 010 12 0111 .12 011 2 0102 011答案：D二、填空题(35 分15 分)7(2011丽水模拟)等比数列 an的前 n 项和 Sn2 n1，则a12a 22a n2_.解析：当 n1 时，a 1S
5、 11 ，当 n2 时，a nS nS n1 2 n1(2 n1 1)2 n1 ，又 a1 1 适合上式an 2n1 ，an24 n1 .数列 an2是以 a121 为首项，以 4 为公比的等比数列a12a 22a n2 (4n1) 11 4n1 4 13答案： (4n1)138(2010济宁模拟)已知数列 2 008,2 009,1，2 008，2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2 009 项之和 S2 009_.解析：由题意 an1 a n1 a n，ana n2 a n1 ，两式相加得 an2 a n1 ，an 5 an1 ，即 an是
6、以 6 为 周期的数列2 00933465.a1 a2a 2 009a 1a 2a 3a 4a 52 0082 00912 0082 0091，即 S2 0091.答案：19(2011开封联考)有限数列 an中，S n为a n的前 n 项和，若把 称为S1 S2 Snn数列 an的“优化和” ，现有一个共 2 009 项的数列：a 1， a2，a 3，a 2 009，若其“优化和”为 2 010，则有 2 010 项的数列：1，a 1，a 2，a 3，a 2 009 的优化和为_解析：依题意， 2 010，S1 S2 S2 0092 009S1 S2S 2 0092 0092 010.4又数列
7、 1，a1，a2，a2 009 相当于在数列 a1，a2，a2 009 前加一项 1，其 优化和 为1 S1 1 S2 1 S2 009 12 010 2 010.2 0092 010 2 0102 010答案：2 010三、解答题(共 37 分)10(12 分)(2010山东高考)已知等差数列 an满足：a 37，a 5a 726.a n的前 n 项和为 Sn.(1)求 an及 Sn；(2)令 bn (nN *)，求数列b n的前 n 项和 Tn.1an2 1解析：(1)设等差数列a n的首项为 a1，公差 为 d，由于 a37，a 5a 726，所以 a12d7,2a 110d26，解得
8、a13，d2.由于 ana 1(n1)d，S n ，na1 an2所以 an2n1，S nn(n2)(2)因为 an2n1，所以 an214n(n1) ，因此 bn ( )14nn 1 141n 1n 1故 Tnb 1b 2b n (1 )14 12 12 13 1n 1n 1 (1 ) ，14 1n 1 n4n 1所以数列b n的前 n 项和 Tn .n4n 111(12 分)(2011西安模拟)设数列 an满足 a13a 23 2a33 n1 an ，nN *.n3(1)求数列a n的通项；(2)设 bn ，求数列b n的前 n 项和 Sn.nan解析：(1)a 13a 23 2a33 n
9、1 an n3当 n 2 时，5a13a 23 2a33 n2 an1 n 13由 得 3n1 an ，an .13 13n在中，令 n1，得 a1 .13an ，nN*.13n(2)bn ，bnn3 n.nanSn 3 23233 3n3 n3Sn3 223 333 4n3 n1 由 得 2Snn3 n1 (33 23 33 n)即 2Snn3 n1 .31 3n1 3Sn 3n1 .2n 14 3412(13 分)(2011大庆模拟)已知函数 yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为 f(x)6x2.数列 an的前 n 项和为 Sn，点(n，S n)(nN *)均在函数 yf(x) 的图象
10、上(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn ，T n是数列 bn的前 n 项和，求使得 Tn 对所有 nN *都成立的最3anan 1 m20小正整数 m.解析：(1)依题意可设 f(x)ax 2bx(a0) ，则 f(x )2axb.由 f(x )6x2 得 a3，b 2，f(x)3x 22x.又由点(n，S n)(nN*)均在函数 yf(x)的图象上，得 Sn3n 22n.当 n2 时，a nS nS n1 (3n 22n)3( n1) 22(n1)6n5；当 n1 时，a 1S 131 22 11615.所以 an6n5(nN *)(2)由(1)得 bn 3anan 1 36n 56n 1 5 ( )，12 16n 5 16n 16故 Tn ini 1b (1 )( )( )12 17 17 113 16n 5 16n 1 (1 )12 16n 1因此，使得 (1 ) (nN*)成立的 m 必须且仅需满足 ，即 m10，故满足要12 16n 1 m20 12 m20求的最小正整数 m 为 10.
