1、第 1 页（共 11 页）数形结合思想在函数解题中的应用研究数学学院 数学与应用数学（师范）专业 2009 级 陈欢指导老师 胡春燕摘 要：数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，是数学解题中常用的思想方法之一。论文结合初等数学教材的实际情况，阐述了数形结合思想在中学数学中的重要性；并且通过大量的实例对形结合思想在解函数题中的应用进行了研究与分析。关键词：数形结合；函数；应用Abstract: The thought of symbolic-graphic combination is the idea which solves mathematic
2、problems according to the correspondence between symbolic and graphic and the mutual transformation of symbolic and graphic. It is one of the common ways to solve mathematical problems. Combining with the actual situation of elementary mathematics teaching material, the thesis expounded the importan
3、ce of the thought of symbolic-graphic in secondary school mathematics, and it analyzed the application of symbolic-graphic combining idea in solving function problem through a number of examples. Key words: the number form combining; function; application 数形结合思想的基本介绍数和形是数学研究客观问题的两个方面，数侧重研究物体的数量方面，具有
4、精确性；而形侧重研究物体的形状方面，具有直观性。数形结合思想就是把两者充分地结合起来，即把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合起来，换言之即，用数来反映空间形式，用形来说明数量关系，这样可使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。第 2 页（共 11 页）数形结合思想是解析法、三角法、复数法、向量法、图解法等一系列方法的概括，其思维策略是把形与数这两个数学研究的基本对象联系起来作综合考察，充分发挥代数与几何等学科理论各自的优势来解决问题，把这一类方法的基本精神概括上升，就形成了数形结合的思想数形结合思想，通俗的说，就是代数与几何相结合的思想。
5、它是一种通过沟通“数”与“形”的某些因素发挥“数”与“形”的优点，实现“数”与“形”的和谐统一，从而解决数学问题的思想 。2 数形结合思想在初等数学中的地位与作用所谓数形结合是指通过实现数量关系与图形性质的相互转化，使抽象思维和形象思维相互作用，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。数形结合是一种极具数学特点的信息转换，一方面用数量的抽象性质来说明形象的事实；另一方面又用图形的性质来说明数量的抽象性质。因此，数形结合是一类极为重要的转化，其着眼点在代数与几何的沟通上。2.1 数形结合思想在初等数学中的地位数学思维能力是学生分析数学问题和解决数学问题的重要基础，而数与形的结合贯穿于数
6、学发展的进程中，是数学发展中的两大基石。数形结合方法是中学数学中重要基本思想方法之一，是数学的本质特征 2 。数形结合，是求解数学问题的一种常用思维方法，很多问题使用数形结合的方法都能迎刃而解，且解法简洁。数形结合的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。2.2 数形结合思想在初等数学中的实现所谓数形结合是指通过实现数量关系与图形性质的相互转化，使抽象思维和形象思维相互作用，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。数第 3 页（共 11 页）形结合是一种极具数学特点的信息转换，一方面用数量的抽象性质来说明形象的事实；另一方面又用图形的性
7、质来说明数量的抽象性质。因此，数形结合是一类极为重要的转化。而数形结合的实现通常与以下内容有关 3 ： 实数与数轴上的点的对应关系； 曲线与方程的对应关系； 函数与图像的对应关系； 以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如三角函数等； 所给的等式或代数式的结构有明显的几何意义。2.3 数形结合思想在初等数学中的作用数形结合的思想方法应用广泛，常见的比如在解方程和不等式问题中，在求解三角函数问题中，在求函数的定义域、值域等问题中数形结合思想都具有极其重要的作用。运用数形结合思想，不仅直观的发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，大大的简化了解题过程，尤其在解选择题和填空题中更是节约了不少
8、时间。3 数形结合思想在中学函数题中的应用分析函数的图像及性质常常是解决问题的突破口, 函数的图像是函数解析式的“形”的表象，它以图形的方式来刻画函数中变量之间的变化关系。通过函数的图像研究函数的性质，是初等阶段学习函数理论的重要方法，既有助于理解和记忆函数的性质，也有助于应用函数的性质分析问题和解决问题。3.1 数形结合法求函数定义域定义域是函数三大要素之一，求函数的定义域是函数中最基本的问题，面对求函数的定义域问题，在看到题目后，首先我们应该把所有使函数有意义的条件列出，待求出所有满足条件的解后用相应的图形表示出来，再逐一判断，这样才能尽量避免失误，得出正确的答案 4 。第 4 页（共 1
9、1 页）例 3.1 5 已知函数 f(x)的定义域是a ,b其中 ab,求函数 g(x)=f(-x)+f(x)的定义域。图 3-1分析：由题可知 g(x)的定义域为 f(-x)和 f(x)的交集。我们假设 g(x)的定义域为 N ,f(-x)和 f(x)的定义域分别为 A、B，那么 N=AB，利用数轴分析得知，阴影部分即为所求。解 函数 f(x)的定义域为a ,baxb若使 f(x)恒有意义，必须有 axb，即有bxaa0b b0a又|a|b0 .ab函数 g(x)的定义域x|axbx|bxa=x|bxb解题策略：这样的题目若是选择题或者填空，那么图形一画那就简单明了，不用解题步骤，若是答题求
10、解，则图形有助于理解。例 3.2 求函数 的定义域。2561xy分析：若要解决该函数的定义域，则有 ，要解决此类不等式的解集，需要借助图像：25601xa -b b -a0A B8642y5xy =f(x)32O第 5 页（共 11 页）图 3-2由图像可以看出，若要 ，只需得 或 。2560x2x3而由 得：10x1则该函数的定义域即为： 。,1,3,3.2 数形结合法求函数值域数形结合法求函数的值域就是将函数与图形有机地结合起来，利用图形的直观性求出函数的值域。例 3.3 求函数 的值域。23,1,3yx分析：看到所求函数为二次函数，由于函数是非单调的，所以并不能代入端点值去求出值域，因此
11、需要借助图像来观察，如图：图 3-3借助图像可知道，该函数的值域为 。17,24解题策略：对于此类问题是学生的常见出错点，学生们习惯于直接带入端点64224y5xO31-1-13第 6 页（共 11 页）值得出其值域，因此对于给定区间上的二次函数值域问题，培养学生数形结合的思想是非常重要的。例 3.4 求函数 y=|x-3|x+5|的值域。分析：就自变量 x 的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图象，由图象即可得 y 的范围:8()2fx53x图 3-4函数的图象如图，那么可得 y-8，8.解题策略：数形结合能将抽象的问题直观化.形象化，能使问题灵活直观地获解，在数学学习
12、中要注意把握善于运用这种数学思想。3.3 数形结合法求函数最值所谓数形结合求解最值，一般是将一些抽象的解析式赋予几何意义，然后通过图形的属性及数量关系进行“数”与“形”的信息转换，把代数的问题等价性的用几何的方法来求解，使之求解更简单、快捷。例 3.5 求函数 的最小值。22()1()1fxx分析： 通过观察已知函数的形式与结构，不难发现这是两个点间的距离之和，即可把原函数化为 ，原题即转化2222()0)()()(01)f xxy-8O8-53第 7 页（共 11 页）成“已知点 P（x，0） ，求它到两定点 A(0，1)，B（2，1）的距离之和的最小值” ，从而结合图形，即可解决。解 原函
13、数化为 ，2222()0)()()(01)fxx如图:yxP0A(0，-1)B(2，1)A(0，1)P图 3-5函数 f(x)的最小值即为|AP|+|PB|的最小值。作 A 点关于 x 轴的对称即 点，即AAPBP易知，当 共线时，有最小值, 2B即 min()2fx解题策略：对于此题，原函数是二次根式，要求他的最值若直接用代数方法做比较麻烦，但在这儿我们根据解析式把代数问题几何化，由图形来解决此类问题，既方便学生理解，步骤又简单。例 3.6 对于每个实数 x 设 f(x)是 中的最小值，则 f(x)41,24xx最大值为 。分析： 中谁最小呢？这与 x 的取值有关，在同一坐标系里41,24x
14、作出函数 ， ， 的图象。yyx24y86422y5xOy=x+2y=-2x+4y=4x+1第 8 页（共 11 页）图 3-6如图所示，可以很明显的看出；x 为何值时 4x+1 最小；x 为何值时 x+2 最小；以及 x 为何值时 最小，并由此得出 f(x)的图象。易见 f(x)的最大值是24x与 交点的纵坐标，那么yy解方程组 得24x83y所以 f(x)的最大值是 。38解题策略：借助函数的图象，不仅很好的理解了题意，而且轻而易举的得出了 f(x)的最大值。否则需要解不等式组的方程求得 f(x)的分段表达式，并求出每段上的最大值，从中选出最大值，那将是很烦琐的，环节很多，出错的可能性也大
15、大增加。3.4 数形结合法求函数解析式例 3.7 已知: 二次函数 的图象与 x 轴交于 , 2(1)yxmx10Ax, , 与 y 轴交于点 C, 且满足 ，求这个二次函20Bx12x 12AOBC数的解析式。分析：根据题意, 结合“数” 及 画出“ 2(1)yxxm120x图形” , 找到 A，B，C 三点的大致位置 , 得出 AO,BO,CO, 然后利用一元二次方程的根与系数的关系求解 6。解 120x。,O。a又 Cm。1 2AB=()OAOB 64224 5CBAOxy第 9 页（共 11 页）即 1212()mxx 图 3-7 12,()m()()解得 ,2舍 二次函数的解析式为
16、。23yx解题策略：函数解析式中含有参数，因此我们只能画出大致的函数图象，那么参数之间的关系就一目了然，便于解题。3.5 数形结合法求函数零点个数求函数零点的个数是函数零点知识的常见题型，例如：给出函数，根据其定义域求函数零点的个数。这种题型之中的函数一般为一个复杂函数，解方程比较繁琐甚至不能达到目的，所以我们常用数形结合来解这类问题，把复合方程转化成基本初等函数相等的形式，求函数的公共解、函数图像的交点，正确地作出图像，从而判断出结果。例 3.8 求函数 在0，10上的零点的个数。lgsinyx分析：这是一道典型的求函数零点、方程的根的问题。它是由两个初等函数组成的复杂函数，利用求解方程 的
17、根或画函数 图象，lsi0xlgsinyx观察它与x轴的交点的方法都不易实现。但若转化成求解方程 的根、即求函数 与 的图象的交点，则由复杂函数的问题转化成了简单的初lgyxsinx等函数的问题，求解起来简单易行 7。解 求函数 在0，10上的零点可以转化成方程 在 lsi lgsinxx0，10的解。即函数 与 在x0，10交点,作出函数图象，lgyxsinx观察图象的交点。图3-822 5 10O xy第 10 页（共 11 页）由图象可知，函数 与 在x0，10交点的个数为3个。所以函数lgyxsinx在0，10上的零点的个数为3。lgsinyx解题策略：函数的零点和方程的根的问题都可以
18、采用如上做法：用“数形结合”的方法，先画出函数的图象，由图象可直观得解。例 3.9 函数 的零点的个数是（ ）1()lnfxA3个 B2个 C1个 D0个分析：函数 的零点的个数就是方程 的解的个()lfx 1ln0x数，要通过数形结合，画出函数的图象的交点的个数。图3-9解： 的零点，即使 ，作函数 的图象1()lnfx1ln0xlnyx和函数 的图象如图所示，有两个交点，所以函数有两个零点，故选B。y4 小结数形结合俨然已经成为思考数学问题的一种模式，是数学教学内容的主线之一。在数学问题中数与形，互为工具互为研究对象，运用好数形结合思想去解54221O xy第 11 页（共 11 页）题，
19、由数思形，由形思数，可以将一些看似复杂的问题变得简单，使一些无从下手的问题迎刃而解。数形结合把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来可以更好地提示数学事物的本质和规律。当然， “数形结合”的思想并非通过几个例题就能快速的掌握，由于它具有很大的灵活性、创造性。因此在实际运用中应多方位、多角度的去思考、探索，选用合理、恰当的途径，以求取事半功倍的效果。要掌握其精髓，必须具有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧。 数形结合思想是中学数学中的重要数学思想之一，渗透在中学数学的各个环节中。对培养学生的思维品质，提高思维的深刻性和创新能力具有非常重要的意义。参考文献：1 赵发源.九年义务教育
20、初中数学教材中的数学思想和方法J.甘肃教育,1995.2 孟灵芬.数形结合思想在初中数学中的地位和作用J.教育艺术,2008.3 岑惠燕.数形结合思想的教学意义G.新课程（综合版）,2011.4 吴方淼. 运用数形结合思想解题的常用策略G.中学教学参考,2009.5 王林全,吴友昌.初等数学解题研究(第2版)M.北京:科学出版社,20096 汤服成.中学数学解题思想方法M.广西师范大学出版社,2005.7 周友良,邓开平.数形结合思想在解题中的应用J.中学数学月刊,2005,4(3).8 傅记团.数形结合在解题中的应用举例J.科教新报(教育科研),2011. 9 王振峰，罗玉华，张耀辉.5 年高考 3 年模拟M.首都师范大学出版社,2012.10 刘莉.用“数形结合”的思想方法解二次函数综合题G.数学学习,2005,6(2).
