1、11/2na2n |x| x2n+1aXx 1/nSinxxx01/xx0x xx xba00 0 0 0f(b)-f(a)b-a1.函数定义域的求法：y=1/x , D: x 0 , (-,0) U (0,+)y=x , D: x0, 0, + y= x , D: x0, (0, +)y=tanx, D: xk+/2 , kZy=cotx, D:xk , kZy=arcsin(或 arccosx) , D: |x|1, -1, 12.常见的偶函数：|x| , cosx , x (n 为正整数), e , e 常见的奇函数：sinx , tanx , 1/x , x , arcsinx , a
2、rctanx ,3.常见的函数周期：sinx , cosx , 其周期 T=2；tanx , cotx , |sinx| , |cosx| , 其周期 T=.4.三个恒等式：a =x ; arcsinx + arccosx = /2 ; arctanx + arccotx = /25.常用的等价形式：当 x0 时， sinx x , arcsinx x , tanx x , arctan x x ,(1+ x) x , e 1 x , 1-cosx (1/2)x, (1+x) -1 (1/n)x6.极限：Lim =1 , Lim( 1+x ) = e当 x+时，以下各函数趋势于+的速度为： x
3、 , x (n0) , a (a1) , x 由慢到快当 n时x , x (n0) , a (a1) , n! , x 由慢到快7.积分中值定理：若 f(x)在 a,b上连续，则在a,b上至少存在一个点 使 f(x)dx=f()(b-a)8.微分中值定理：若函数 f(x)满足条件：函数 f(x)在 x 的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有f(x)f (x )或 f(x)f (x ),f(x)在 x 处可导，则有 f(x )=09.洛尔定理：设函数 f(x)满足条件：在闭区间 a,b上连续；在开区间 (a,b)内可导；f(a)=f(b) ，则在(a,b)内至少存在一个 ，使 f()=010.拉格
4、朗日中值定理：设函数 f(x)满足条件：在闭区间a,b 上连续；在开区间(a,b)内可导；f(a)=f(b) ，则在(a,b)内至少存在一个 ，使 = f ()2高数解题的四种思维第一句话：在题设条件中给出一个函数 f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把 f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 3第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 4第三句话：在题设条件中函数 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且 f(a)=0 或 f(b)=0 或 f(a)=f(b)=0，则不管“三七二十一”先用拉格郎日中值定理处理
5、一下再说。 6第四句话：对定限或变限积分，若被积分函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式 f(u)再说。 7891011线性代数解题的八种思维第一句话：题设条件与代数余子式 Aij 或 A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及 AA*=A*A=|A|E 。 第二句话：若涉及到 A、B 是否可交换，即 AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 第三句话：若题设 n 阶方阵 A 满足 f(A)=0，要证 aA+bE 可逆，则先分解出因子 aA+bE 再说。 第四句话：若要证明一组向量 1,2,s 线性无关，先考虑用定义再说。 第五句话：若已知
6、 AB=0，则将 B 的每列作为 Ax=0 的解来处理再说。 第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 第七句话：若已知 A 的特征向量 0，则先用定义 A 0=00 处理一下再说。 第八句话：若要证明抽象 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，则用定义处理一下再说。线 性 代 数 知 识 点1、 行 列 式1. 行列式共有 个元素，展开后有 项，可分解为 行列式；n2n!n2n2. 代数余子式的性质：、 和 的大小无关；ijAija、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ；A3. 代数余子式和余
7、子式的关系： (1)(1)ij ijiji ijiMAM 4. 设 行列式 ：nD将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 ，则 ；1D(1)21nD将 顺时针或逆时针旋转 ，所得行列式为 ，则 ；90 2()2将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 ，则 ；33将 主副角线翻转后，所得行列式为 ，则 ；D445. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积 ；(1)2n、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积； 、 和 ：副对角元素的乘积 ； (1)2n、拉普拉斯展开式： 、AOCABB(1)mnOABC:、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、
8、特征值；6. 对于 阶行列式 ，恒有： ，其中 为 阶主子式；nA1()nknESkS7. 证明 的方法：0、 ；、反证法；12、构造齐次方程组 ，证明其有非零解；0Ax、利用秩，证明 ；()rn、证明 0 是其特征值；2、 矩 阵1. 是 阶可逆矩阵：An（是非奇异矩阵）；0（是满秩矩阵）()r的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 有非零解；0x， 总有唯一解；nbRAb与 等价；E可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为 0；是正定矩阵；T的行（列）向量组是 的一组基；AnR是 中某两组基的过渡矩阵；nR2. 对于 阶矩阵 ： 无条件恒成立；*AE3. 1*111*()()()TTA
9、A *11TBBB4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 、 可逆：若 ，则：12sA、 ；12、 ；1121sA、 ；（主对角分块）11OB、 ；（副对角分块）1A、 ；（拉普拉斯）11CCBOB、 ；（拉普拉斯）111AOA3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个 矩阵 ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： ；mn rmnEOF13等价类：所有与 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；A对于同型矩阵 、 ，若 ；B()rAB:2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行
10、首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若 ，则 可逆，且 ；(,)(,)rAEX:A1XA、对矩阵 做初等行变化，当 变为 时， 就变成 ，即： ；BEB1A 1(,),)cBEA、求解线形方程组：对于 个未知数 个方程 ，如果 ，则 可逆，且 ；nxb(,)rbx:1xb4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、 ，左乘矩阵 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素； 12nAiiA、对调两行或两列，符号 ，且
11、，例如： ；(,)Eij1(,)(,)ijEij1、倍乘某行或某列，符号 ，且 ，例如： ；()ik1()()iki 1(0)kk、倍加某行或某列，符号 ,且 ，如： ；()Eijk1()()ijEijk1(0)k5. 矩阵秩的基本性质：、 ；0()min(,)rA、 ；T、若 ，则 ；B:()r、若 、 可逆，则 ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）PQ()()rPAQrPA、 ；（）ax(),(,AB、 ；（）)rr、 ；（）()min(,B、如果 是 矩阵， 是 矩阵，且 ，则：（）ns0A、 的列向量全部是齐次方程组 解（转置运算后的结论）；X、 ()rA、若 、 均为 阶方阵，则 ；B()(
12、)rBrn6. 三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；14、型如 的矩阵：利用二项展开式；10acb二项展开式： ；01 10() nnnmnnmnaCabCababCab 注：、 展开后有 项；b、 0(1)()!123() :m nnmCn、组合的性质： ；11 0 2 nnmmrnrrn nCCCC、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：、伴随矩阵的秩： ；*()()110nrArAn、伴随矩阵的特征值： ；*1*(, )AXX 、 、*1A1*n8. 关于 矩阵秩的描述：、 ， 中有 阶子式不为 0， 阶子式全部为
13、0；（两句话）()rn1n、 ， 中有 阶子式全部为 0；、 ， 中有 阶子式不为 0；()A9. 线性方程组： ，其中 为 矩阵，则：xbAmn、 与方程的个数相同，即方程组 有 个方程；mxb、 与方程组得未知数个数相同，方程组 为 元方程；nAn10. 线性方程组 的求解：、对增广矩阵 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；B、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程：nmn、 ；121212nmnmaxaxb 、 （向量方程， 为 矩阵， 个方程， 个未知数）11221mmnmaaxbAx Amnn、 （全部按列分块
14、，其中 ）；1212nxa 12nb、 （线性表出）12nxax、有解的充要条件： （ 为未知数的个数或维数）(),)rAn154、 向 量 组 的 线 性 相 关 性1. 个 维列向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；mnA12,m n12(,)mA个 维行向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；B12,TTm 12TTmB含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）0Ax、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）b、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）XB3. 矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 和 同解；
15、( 例 14)mnAlB 0AxB10P4. ；( 例 15)()Trr10P5. 维向量线性相关的几何意义：、 线性相关 ；、 线性相关 坐标成比例或共线（平行）；,、 线性相关 共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若 线性相关，则 必线性相关；12,s 121,s若 线性无关，则 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若 维向量组 的每个向量上添上 个分量，构成 维向量组 ：rAnrnB若 线性无关，则 也线性无关；反之若 线性相关，则 也线性相关；（向量组的维数加加减减）BBA简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组 （个数为 ）能由向量组 （个数为 ）线性表示
16、，且 线性无关，则 ；rs rs向量组 能由向量组 线性表示，则 ； A()rA向量组 能由向量组 线性表示B有解；X(),)r向量组 能由向量组 等价A()(,)rABr8. 方阵 可逆 存在有限个初等矩阵 ，使 ；12,lP 12lAP、矩阵行等价： （左乘， 可逆） 与 同解rB0xB、矩阵列等价： （右乘， 可逆）；cAQ、矩阵等价： （ 、 可逆）；P9. 对于矩阵 与 ：mnlB、若 与 行等价，则 与 的行秩相等；AA、若 与 行等价，则 与 同解，且 与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；0xBAB16、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵 的行秩等于列秩；A10. 若
17、 ，则：msnBC、 的列向量组能由 的列向量组线性表示， 为系数矩阵；B、 的行向量组能由 的行向量组线性表示， 为系数矩阵；（转置）BTA11. 齐次方程组 的解一定是 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；0x0Ax、 只有零解 只有零解；A、 有非零解 一定存在非零解；B12. 设向量组 可由向量组 线性表示为： 12:,nrrb 12:,nssa（ ）1212(,)(,)rsbaK BA其中 为 ，且 线性无关，则 组线性无关 ；（ 与 的列向量组具有相同线性相关性）KsrABr（必要性： ；充分性：反证法）()(,),()BrKrr注：当 时， 为方阵，可当作定理使用；rs
18、13. 、对矩阵 ，存在 ， 、 的列向量线性无关； mnnmQmE()rAQ、对矩阵 ，存在 ， 、 的行向量线性无关；APnnP14. 线性相关12,s存在一组不全为 0 的数 ，使得 成立；（定义）12,sk 120skk有非零解，即 有非零解；1212(,)sx 0Ax，系数矩阵的秩小于未知数的个数；12,sr15. 设 的矩阵 的秩为 ，则 元齐次线性方程组 的解集 的秩为： ；mnArn0xS()rSnr16. 若 为 的一个解， 为 的一个基础解系，则 线性无关； *xb12,r A*12,r5、 相 似 矩 阵 和 二 次 型1. 正交矩阵 或 （定义），性质：TAE1T、 的
19、列向量都是单位向量，且两两正交，即 ；1(,12,)0Tij ijan、若 为正交矩阵，则 也为正交阵，且 ；1TA A、若 、 正交阵，则 也是正交阵；AB注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化： 12(,)ra；1ba;122,b: 1211,rrrr rbabab: :3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；14. 、 与 等价 经过初等变换得到 ；ABAB， 、 可逆；PQ， 、 同型；()r、 与 合同 ，其中可逆；TC与 有相同的正、负惯性指数；xx、 与 相似 ；AB1AB5. 相似一定合同、合同未必相似；若 为正交矩阵，则 ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；CT:6. 为对称阵，则 为二次型矩阵；7. 元二次型 为正定：nTx的正惯性指数为 ；An与 合同，即存在可逆矩阵 ，使 ；ECTAE的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于 0；(必要条件 )0,ia
