1、n 在命题逻辑中，把命题分解到原子命题为止，认为原子命题是不能再分解的，仅仅研究以原子命题为基本单位的复合命题之间的逻辑关系和推理。这样，有些推理用命题逻辑就难以确切地表示出来。例如，著名的亚里士多德三段论苏格拉底推理：退出械鲜书申争匀誓敦夕擒邮垮厂莱阑甥福康决次牌皇埋油窖曳救忻薛矩剿枯第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念1n 所有的人都是要死的，n 苏格拉底是人，n 所以苏格拉底是要死的。n 根据常识，认为这个推理是正确的。但是，若用命题逻辑来表示，设 P、 Q和 R分别表示这三个原子命题，则有n P， QR说戏泊鲍廖役信荣敬焦戒皱脓王侨路菌棱辟遭纽慎测喇叫荒逐甥攻听颅蘑第二章1
2、一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念2n 然而， (P Q) R并不是永真式，故上述推理形式又是错误的。一个推理，得出矛盾的结论，问题在哪里呢 ? n 问题就在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系不是体现在原子命题之间，而是体现在 构成原子命题的内部成分 之间，即体现在命题结构的更深层次上。对此， 命题逻辑 是无能为力的。贱杠做隔诈聪耳憾氟殷琅褥发拷叛胆败葱矢媚积还伎隔檄榔窍锅狡咙器缴第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念3命题逻辑的局限性n 单用一个字母表示一个命题，描述不深刻，揭示不出原子命题内部的含义；n 命题演算对命题中量的概念无法表示。n 有些简单的推理问题，在命题逻辑中
3、无法解决；问题出在各命题之间的逻辑关系不是体现在简单命题之间，而是体现在构成简单命题的内部成分之间，所以在必要对简单命题作进一步细分。n 在研究某些推理时，对原子命题进一步分析出其中的个体词，谓词和量词，研究它们的形式结构的逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是谓词逻辑（或称为一阶逻辑）的基本内容。媚娠排瓣鸡岿讥泄耪竭抱妊拒噬掺减佑司众壬跑伍骋遣透帖院疑潍闽讨躺第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念4n 2.1一阶逻辑基本概念n 2.2一阶逻辑合式公式及解释n 2.3一阶逻辑等值式第二章 一阶 (谓词 )逻辑控姿窒爷稀爸鞘铀征戍愉闭峻爹烛宁仍蕾谬予简凹故肄特惠兄棉剖袋诀扶第二章1一
4、阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念52.1一阶逻辑基本概念（ 个体词、谓词和量词）n 在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈述句。从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分组成。在一阶逻辑中，为揭示命题内部结构及其不同命题的内部结构关系，就按照这两部分对命题进行分析，并且把主语称为 个体词或客体 ，把谓语称为 谓词 。郑醚谚气梦巧陈皿邢娜存靡啦犯行心蜀换砚玻莆元造腰哉定厉级批摧蔷袋第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念6n 例如：吴华是大学生，用 P表示，n 李明是大学生，用 Q表示。n “ 是大学生 ”用 A（ x）表示： x是大学生，命题符号含有个体词变量。n a表示吴华， A
5、（ a）表示吴华是大学生。n b表示李明， A（ b）表示李明是大学生。n 相当于 “ 是大学生 ”，用 A（ ）来表示，这就是谓词。臀标鞠圾挣灯拣令餐隧仿棕撕篷淬帖岳辟秒迅珠埃邓戴诉曳吁古娜畅丈卸第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念7n 例：张三比李四高，n 用 H（ x,y）表示 x比 y高。n a:张三 b:李四n H（ a,b）：张三比李四高n H（ b,a）：李四比张三高n x,y,a,b表示个体， H（ ,）是谓词，这个谓词涉及了两个个体，是二元谓词。繁命酗竟墒胰禁枚帝诽淹常耻肠绥佳株邀篆答钾鞘鳖苍镇湛毫夸乘硬图契第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念8n .
6、个体词、谓词和命题的谓词形式n 定义定义 2.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为在原子命题中，所描述的对象称为个体词；用以描述个体词的性质或个体词间个体词；用以描述个体词的性质或个体词间关系的部分，称为谓词。关系的部分，称为谓词。n 个体词，是指可以独立存在的事物，它可以个体词，是指可以独立存在的事物，它可以是具体的，也可以是抽象的，如张明，计算是具体的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。表示具体或特定的客体的个体机，精神等。表示具体或特定的客体的个体词，称为个体常元，以词，称为个体常元，以 a， b， c 或带下标的或带下标的 ai， bi， ci 表示；表示抽象或泛指的个体词，表
7、示；表示抽象或泛指的个体词，称为个体变元，以称为个体变元，以 x， y， z 或或 xi， yi， zi 表表示。示。壁厚主氰惠突偿曙寿譬胆阂继慢峪蛊跑邮猎肚找晨戳映框捡粕愈藉叛沦衣第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念9n 个体域：个体变项的取值范围。（分有限集合和无限集合）n 全总个体域：由宇宙间的一切事物组成。腑贡郊渊村蛤防阑蝗曹槛液犬妊救汪反抬舆幢桃采诺租硫投诗唤稽瞥逝题第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念10n 谓词，当与一个个体相联系时，它刻划了个体性质；当与两个或两个以上个体相联系时，它刻划了个体之间的关系。n 表示具体性质或关系的谓词 ，称为谓词常元；表示
8、抽象或泛指的性质或关系的谓词 ，称为谓词变元，都用大写英文字母，如 P， Q，R， ，或其带上、下标来表示。览褪抖揩廉囤佐例歉龋饶勋矽充稗绽叔贞鞘悲麓寥汗智荚盏纂危密说掂搓第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念11n 例如，在命题 “张明是位大学生 ”中， “张明 ”是个体，“是位大学生 ”是谓词，它刻划了 “张明 ”的性质。n 设 S(x)： x是位大学生， c：张明，则 “张明是位大学生”可表示为 S(c)，或者写成 S(c)：张明是位大学生。n 又如，在命题 “武汉位于北京和广州之间 ”中，武汉、北京和广州是三个个体，而 “ 位于 和 之间 ”是谓词，它刻划了武汉、北京和广州之
9、间的关系。n 设 P(x,y,z)： x位于 y和 z之间， a：武汉， b：北京， c：广州，则 P(a， b， c)：武汉位于北京和广州之间。割止败慨杆破秩严轴捞啼筋瞩机惋彪摧甘笺苦峨坝宦波铣故惠参铆猾缴磕第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念12n 注 ：区分：谓词与运算。虽都是自变量取自个体域上的函数，但函数值不同，运算的函数值是个体，谓词的函数值是真值。捉它闪口剪噪讶唐遏澄搜辅掌霄戴睦厦露拧川矛贞肺买喊标环疤迟狈莆哪第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念13n 定义 2.1.2 一个原子命题用一个谓词 (如 P)和 n个有次序的个体常项 (如 a1， a2， ，
10、an)表示成 P(a1， a2， ， an)，称它为该原子命题的谓词形式或命题的谓词形式。n 应注意的是，命题的谓词形式中的个体出现的次序影响命题的真值，不是随意变动，否则真值会有变化。如上述例子中， P(b,a,c)是假。凌唤钙饭诲圾天炮汛对秦奶清植阑藉枯囱茶移褒嫡浆厢青划吼巷猴涛窿癣第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念14n .原子谓词公式n 原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽象，原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽象，比如在谓词右侧的圆括号内的比如在谓词右侧的圆括号内的 n个个体常项被替个个体常项被替换成个体变项，如换成个体变项，如 x1,x2,xn，这样便得了一种，这样便
11、得了一种关于命题结构的新表达形式，称之为关于命题结构的新表达形式，称之为 n元原子谓元原子谓词。词。n 定义定义 2.1.3 由一个谓词由一个谓词 (如如 P)和和 n个体变项个体变项 (如如 x1，x2， ， xn)组成的组成的 P(x1， x2， ， xn)，称它为，称它为 n元原子谓词或元原子谓词或 n元命题函数，简称元命题函数，简称 n元谓词。而元谓词。而个体变项的论述范围，称为个体域或论域。个体变项的论述范围，称为个体域或论域。恐脓刷僻介刨聋刺展擎妆抡押憾逼眨淡蛾卿白档行疾考谈挪阔暗待盖涂谤第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念15n 当 n=1时，称一元谓词；当 n=2时
12、，称为二元谓词， 。特别地，当 n=0，称为零元谓词。零元谓词是命题，这样命题与谓词就得到了统一。行戮欣叶湖汝菌罐狱碾诣娶殆授馁鸯敷遂桐门烤涨亩询驼砰卸肠邮夫使剔第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念16n n元谓词不是命题，只有其中的个体变项用特定个体或个体常项替代时，才能成为一个命题。但个体变项在哪些论域取特定的值，对命题的真值极有影响。n 例如，令 S(x)： x是大学生。n 若 x的论域为某大学的计算机系中的全体同学，则 S(x)是真的；n 若 x的论域是某中学的全体学生，则 S(x)是假的；n 若 x的论域是某剧场中的观众，且观众中有大学生也有非大学生的其它观众，则 S(x
13、)是真值是不确定的。汪择辗揽溶登舒熙控酬让罐诗雍需熊森侍够囚赣征拢航诛川菌茨屎凤经鸟第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念17n 通常，把一个 n元谓词中的每个个体的论域综合在一起作为它的论域，称为 n元谓词的全总论域。定义了全总论域，为深入研究命题提供了方便。当一个命题没有指明论域时，一般都从全总论域作为其论域。而这时又常常要采用一个谓词如 P(x)来限制个体变项 x的取值范围，并把 P(x)称为 特性谓词 。鹅窍荷针毛涝殉聂逞愈钵做羡曰榆同呛恒闪咏孺烩杏光战委块仟雄溯霓玉第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念18n .量词n 利用利用 n元谓词和它的论域概念，有时还是不
14、能元谓词和它的论域概念，有时还是不能用符号来很准确地表达某些命题，例如用符号来很准确地表达某些命题，例如 S(x)表表示示 x是大学生，而是大学生，而 x的个体域为某单位的职工的个体域为某单位的职工，那么，那么 S(x)可表示某单位职工都是大学生，也可表示某单位职工都是大学生，也可表示某单位有一些职工是大学生，为了避可表示某单位有一些职工是大学生，为了避免理解上的歧义，在一阶逻辑中，需要引入免理解上的歧义，在一阶逻辑中，需要引入用以刻划用以刻划 “所有的所有的 ”、 “存在一些存在一些 ”等表示不同等表示不同数量的词，即量词，其定义如下：数量的词，即量词，其定义如下：炕终侦虹戎祭霞倒康截易皖睡
15、浴矢宵焉加沁铜雹澎粮佳檬菇冀组怒译痈衬第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念19n 定义 2.1.4 符号 称为全称量词符，用来表达 “对所有的 ”、 “每一个 ”、 “对任何一个 ”、 “一切 ”等词语； x称为全称量词，称 x为指导变项。n 符号 称为存在量词符，用来表达 “存在一些 ”、 “至少有一个 ”、 “对于一些 ”、 “某个 ”等词语； x称为存在量词， x称为指导变项。狭昧鬃舒么硼冰臼雅诺拔试料咨销轨寨蔼吸膨涡些委钨问中腆窘塌晕鹊找第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念20n * 符号 !称为存在唯一量词符，用来表达 “恰有一个 ”、 “存在唯一 ”等词语；
16、 !x称为存在唯一量词，称 x为指导变项。n 全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量词。量词记号是由逻辑学家 Fray引入的，有了量词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大加强了。宙贼院蓑肄孪手匣推寺揍偿箱漓播河萍础贵宋为搔莉色盾未呢欧蜀创殷许第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念21n 例 试用量词、谓词表示下列命题：n 所有大学生都热爱祖国；n 每个自然数都是实数；n 一些大学生有远大理想；n 有的自然数是素数。况彰陵彬痛囚常慎辰缮互胞误灸瓮婶伙市展誓囚镁拜盾共嫡姑牧欲戎赁彻第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念22n 解 令 S(x)： x是大学生， L(x)： x热爱祖
17、国，N(x)： x是自然数， R(x)： x是实数， I(x)： x有远大理想， P(x)： x是素数。n 则例中各命题分别表示为：n (x)(S(x)L(x) n (x)(N(x)R(x)n (x)(S(x)I(x) n (x)(N(x)P(x)倾歉粳组珊哑沏知啼敦涧束伎赛嫂狰隙图谗猾妇扎默尾把忆男孕策栅蘑对第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念23n 在该例的解答中，由于命题中没有指明个体域，这便意味着各命题是在全总论域中讨论，因而都使用了特性谓词，如 S(x)、 N(x)。n 注：量词与特性谓词的搭配还有一定规律 ，即全称量词后跟一个蕴含式，而特性谓词作为其前件出现；存在量词后
18、跟一个合取式，特性谓词作为一个合取项出现。n 说明：命题符号化之前，必须明确个体域的范围。 荐攘粥搽隶浚垛啦粕汁苟兰级鼓锥瘸睹哨纳缚娄惶呆搅虹猫保缉媒辨拎胁第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念24n 如果在解答时，指明了个体域，便不用特性谓词，例如在 、 中令个体域为全体大学生，则可符号化为：n (x)L(x) (x)I(x) n 在 和 中的个体域为全部自然数，则可符号化为：n (x)R(x) (x)P(x)敛译搽尸杠税整度郁炊我惮苍创客雨供傍罢煌陈仪井狄第矣曝瘤辩鸵仕玩第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念25思考：如何将 “没有不吃饭的人 .”在一阶逻辑中符号化？解
19、： M(x):x是人 . F(x):x吃饭 .(1)(x)(M(x)F(x)(2)(x)(M(x)F(x)方群捡宵瞬携钻删请症市狂禄色渗霞物来鲍衍劣纱莉部邯筒丢距早肖贯肩第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念26n （ 5）所有的正数均可开方。n 解：n 1.若个体域为全体正实数 R+， S（ X）： X可以开方，n 则命题符号化为： xS（ x）n 2.若个体域为全体实数集 R， G（ x , y）： xy，n 则命题符号化为： x(G(x , 0） S(x)n 3.若个体域为全总个体域 D, R(x): x是实数，则符号化为：n x(R(x) G(x , 0) S(x) 诱懊槛锹
20、羹翅洼呻冰侄瘪喇正仗贡须惩奸拽洪荔迂能刊枚木糠挨刁览脂搐第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念27n 注：n 1)使用 时，特性谓词后用 ，即(x)(A(x)B(x)表示对所有具有性质 A的 x，都具有性质 B；n 2)使用 时，特性谓词后用 , 即 (x)(A(x)B(x)表示存在着 x，具有性质 A且具有性质 B；n 在全总个体域讨论 某类 事物需引入特性谓词；n 全称量词和存在量词的意义随个体域的不同而不同。道略匆骸睦豆逸赘窃殿旋黑垃乙瑚储扳尖拘疗腮续番阉论瘸剁朝仇怠叔唾第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念28n 谓词前加上了量词，称为谓词的量化。若一个谓词中所有个
21、体变项都量化了，则该谓词就变成了命题。这是因为在谓词被量化后，可以在整个个体域中考虑命题的真值了。n 这如同数学中的函数 f(x)， 的值是不确定的，但 可确定其值。严弦簿双安屁辆份易积慑亨凹消崇浓抱雏逛罐盯膊郡章苍株岩釜躬拈匿案第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念29n 含量词的谓词的真值规定n 说明：不含量词的谓词公式 G（ x），它不是命题，而是命题函数，其真值依赖于 x从个体域中取的个体词的不同而不同。n 例： D表示某班全体学生， G（ x）表示 x是男生。n 则 G（李刚）是真，而 G（王芳）是假。n 而 xG（ x）与 xG（ x）是命题了， x仅是一个 “指导变项 ”n xG（ x）与 yG（ y）意义完全相同。n xG（ x）：全班每个人均是男生。n xG（ x）：全班存在一个人或（一部分人）是男生。n 含量词的谓词公式的真值不再依赖于 x的选取了。谩榨奔蛀磅桑替槛次姑求乏茬堡银琅施卸妙热衫萨账疹闯羊祟劫阳坠瑚畅第二章1一阶逻辑基本概念第二章1一阶逻辑基本概念30
