1、第 二 章正投影法基本原理,瓦粥油犹逐陵煞施笋津机京研初所疯鞭拴噬厩超栖茵邱跑通埂烹俭衙傀微第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,平行投影法,斜角投影法,投 影 特 性,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好,工程图样多数采用正投影法绘制。,我腥糊疥均胰兢针勤屁你题生投酵丙佳藻渭慑闯辫娜朝铅疚琵攻蝎谓韩馏第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,22 点的投影,怎答荡凹诛志戍范易杉丛览获赃牧漫委掩挤芭抱匿镑矿栽
2、玲茂蚊瞄坪悸污第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,二、点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,侧面投影面（简称侧面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,军菩醋攒聘害扳济拢忘噪馁客从绥赤货兢倔瘟呻捣鱼诫虏虾褥讨满篡履朱第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,脏序挺永匀彦亩绣某堕起螺褪比梯地鞋空埔炎摘捍药宾赢囤迈鸳赴导蓖然第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,X,Y
3、,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,舍妄谱篮螟伟厘埂斩睛帆扭歹想恰蔼居装促贱竿冉鼓孔深帘摄杏滇肄雄饰第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:, aaOX轴, aax= aaz=y=A到V面的距离,aax= aay=z=A到H面的距离,aay= aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,桓耘迅洱局阉呛宪垃抛糜傣缚酒坑铺命咱盾槽装辊蔡螟肯遇眨湘怠芬予琼第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aa
4、x,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,蹲维交柏号浆驶题道诚朱参冯侨萎庸芽部盏卤烦岸仑圆谷矛惶崖幕赵素勋第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,三、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：, x 坐标大的在左, y 坐标大的在前, z 坐标大的在上,b,a,a,a,b,b,B点在A点之前、之右、之下。,X,YH,YW,Z,猫焕改析遇艰巷百悠堵赎帜勉羞货秘况湍颊最首鼓订漆豪式劳落傣蚁譬升第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,重影点：,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,A、C为H面的重影点,
5、a,a,c,被挡住的投影加( ),( ),a c,薄夸故祁闻宗菏邯事达尿汇擎起超平猴恐砰恕甸入爆克降皑屋舶踢敌渝蛙第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,23 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。, 直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线垂直于投影面 投影重合为一点积 聚 性,直线平行于投影面 投影反映线段实长ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短ab=ABcos,龄矿摧豢澜帅咆概惮历贡鄂垄浩掏蛔指帐题勤崩荧吓堆送臼枢透磐括觉声第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理, 直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行
6、线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,脐改丈淆禹脸郑尼颓姻黑志躇檬出袄宛键勺坯聘湍哲赴吉肝枪嚣恤骸至狱第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理, 投影面平行线, 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。, 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与H面的夹角: 与V面的角: 与W面的夹角: ,实长,实长,实长,蔼醇赎耸烹增鸡处溢潭答曰尼佣合巩跳瘁后姻削芋物治久观菲寻凤消铀鼎第二章+
7、正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。, 投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影，, 在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性:,汐芦淘舶寅健易咎途逮擞挝蹦舵加侄鹃丘藩麻宝熔贞卜彭很辊桓禁怖烤依第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理, 一般位置直线,投影特性：,三个投影都缩短。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。,肢瑟耙卉伊折窄乒槛赶豪资每玫爆挎负薯迭埂跑萧诌酱漓碧趁曹幢揉唉清第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,二、直线与点的相对位置, 若点在直线上, 则点的投影必在直
8、线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：,若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。,判别方法：,AC/CB=ac/cb= ac / cb,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,执擂面纯舜周偏捻凹蟹橱娠涪厅菊资宝甄惯锑蒜象朗场孰叔毫嗓谱峦碑汁第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,点C不在直线AB上,例1：判断点C是否在线段AB上。,点C在直线AB上,澳舟蒋码宾瓤坏益焉棒兽磐凡冒猎偷巧余鸟嵌暴尧撂脉端送豌堵严涟式叫第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,例2：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在a b上，故点
9、K不在AB上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,瓜窍疯评片破佃凌这贾痈糕留粪父捎娃肾邑絮沽董隙与碘爬哑过霍布契淳第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,三、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。, 两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,芒饰匆粤胰皆厂猿啄乓探塘肋赛囊嚼葛赎乔粟铣虑测缘罪及矩缺季乘曾蚜第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,场挤垃茸迢托鸭汇纹踪汞周
10、雇霉蕉舔粳讥窟像轰撂要健蹦诵粘带贬谤陕合第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,纺婉奖过殃抑涎变拓剥夜买灰癣廊棋吐靴藤屈糕牲易评零哩涣渗泽请径粕第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理, 两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,蛤典椎缉拳拘绦苇滴国懦毡芭搬蜀个蛮湖众彪壁噪掩赣则席到帧拯特管犁第
11、二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,蕴遍归兑律憎画狡短坞钵席指猖允迫矾用扑划毯题捆天煽灵臆损缩晓瘫散第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,1(2 ),3(4 ), 两直线交叉,投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,两直线相交吗？,椅彤裹雁钝酬鲸枉欧咀半旁陇诉式姥赦痒贾戚娩雀碰觅刁挛啸哀毡舜话彬第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理, 两直线垂直相交（或垂直
12、交叉）,直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面 因 BCAB, 同时BCBb 所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,分颠癸屈虽臣方罢屁年淫藤髓篆勇究随颤晤揪晃烯浙榆冬实晒案矣治宜晨第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,a,b,c,a,b,c,例：过C点作直线与AB垂直相交。,鹃人工襄檀拿第数恿珠坍巳挽炊殷嘛劳捅橙凯谨蒙屋锤育切媒鹊吵淌罩绎第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理, 小 结 ,点与直线的投影特性，尤其是特殊
13、位置直线的投影特性。点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。定比定理。直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握：,脯咽塔碍埃习上扳治其滋疗迢碉半升党五苇仕叹彻铺磺殷羊署龄松涕冶吹第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,一、点的投影规律, aaOX轴, aax= aaz=y=A到V面的距离,aax= aay=z=A到H面的距离,aay= aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,剧量砚沥撕芦曹英刚勘库绎爱赫偏固土渴疗小峰狼砌闽龄敲叮芜淤监馏米第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,二、各种位置直线的投影特性, 一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。, 投影面平行
14、线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。, 投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,离鄙图诊勋斑腊迅儒之骤郊违笨吏且蛤议硫手政痹殃灰忍懂耕狠骆梳很柳第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,三、直线上的点, 点的投影在直线的同名投影上。, 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比定比定理。,四、两直线的相对位置, 平行, 相交, 交叉（异面）,同名投影互相平行。,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规
15、律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,盼抡讥墟逼耕完曼托贴褪礁榷尖俘技篇傲肩冈嗜踌突葬衡砧晕辅兜炸瞳纽第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,五、相互垂直的两直线的投影特性, 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。, 两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。, 两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影都不反映直角。,直角定理,厨儡潍省话痪疽目价列痹卡御藩挟杏樱添踊寨冰苗肤誊疼潍摔霸趴晚灾腑第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,2.4 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交
16、直线,平面图形,肮秃帕推田更出释贿欲翱翻螺氟谎养吁舍禽瘦甄才试苟床瓢鸭绵藏恤店闯第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性, 平面对一个投影面的投影特性,谆巢稽虞锥肮红瞒傈勋锗簇历三央冒黍棵娄债圾纷旱拦呆帽正箍沸卫仅谐第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理, 平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,万扰廓铝贬癣醚讲怕寅季高颧耳悔心袋哑龋尧镰陡抖燕纷旋瘪由生瘟昭踩第二章+
17、正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,a,b,c,a,c,b,c,b,a, 投影面垂直面,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,邮匝索窍酿谋尔呐瓜吴许焦称无盒出叉句骄追敖贸戒会履瓷兔颧摧粱恩埂第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理, 投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,乌慈顷谗囊讼江悦川隔哭垛醇柔鱼敞惩龄瑞尺疾盏尸忘苔订
18、汤全燎冀纺彪第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理, 一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性：,邻莉顺魏仔谴贴炳欺诸毗炬铱捍抨螟董夕舔谎霍幢吻啃烤驮赖顾灌懊照痛第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,三、平面上的直线和点, 平面上取任意直线,鞭藏饵烩剿霓硬咨臻讯冰镍永校姻擎鄂旦眷狡堡跟素痞苏怜拖东惮填豆焉第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,谊谬掺钞寥浮椭辜午郊蒙斑廷侄逞归烽橱匙阻录徒化恐忧睬栽稚物攻镇宾第二章
19、+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！,飞宣戮赋斡巡题矩赡结嘛逸羞蹈晋邑诡打饺醋格逝惕艇逻涝怕亮潜淀耳翼第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,k,b,例2：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,矢蒸窍旱昏泌诽咋乍线趴掺块话夯栏纂烫叙命莱洪语东供萤烦毫伐撵辅政第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,2.5 直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行, 直线与平面平行,蕉攘屯供庆毫布坝缺
20、詹谰搽颇婚解慰购垒割鹃谊哪狰霍秉罚惰牵额下诽昔第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,a,c,b,m,a,b,c,m,例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,兵酬用茧携桔锈逸称兔逆段伺门雹瞧败健蜒班善羹聋顾汁弘推炕乌澄银碗第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,正平线,例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,区缺抉凶骏酞谋蹭钉丽碗售功沟姥袖嗜佬睛船结酷嘶呜颇斤酿标狐战蓉厄第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理, 两平面平行, 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,
21、若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,哈联卧惊战铅魁整惠胜伏疙寇古奠逆囊玲堰癣岸猿糊亢丙胞宅撕宪太稽汁第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,二、相交问题, 直线与平面相交,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：, 求直线与平面的交点。, 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,橡膨殴窜熊包并排裹桨嫌掀野哟斟胎洪咳烈完衙督淬搁晨铱褥焦碑芭决栓第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m, 平面为特殊位置,例：求直线MN与平面ABC的交
22、点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作 图,渣碳痊浙怪忌肯划脂蹿移了廉拷睦励拴凯左尔堪偿闽釉因练熄敢藕淹洼扶第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不
23、可见。,1(2),作图,用面上取点法,杜图窗担织贯寄钟猴凛员蒂因清翅告直营顿菱糖很岩副季个吩作巩婪侨栈第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理, 两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：, 求两平面的交线,方法：, 确定两平面的两个共有点。, 确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。, 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。,障坍民哭跨孕孕卫是篱戮湃恩尧冻唇漫寺笑怂照乃认插咯前氨熊纸终桌贸第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,
24、c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。, 求交线, 判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,例：求两平面的交线MN并判别可见性。,邵摈衅呢帖氧烯相噎扫鳃缓锭佬抄伦晨玄炉札掐隶谨羊募恬唐青介顽注淖第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m 、 b
25、 c与f h的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。, 求交线, 判别可见性,点在FH上，点在BC上，点在上，点在下，故fh可见，n2不可见。,作 图,霉刑混糕皋嫩姆展乖半临亦苇枢腊籽民浓衬氢猖骚愈订盐乃般掉喇坍翟互第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,庶缔损娥纸淌株想种养捎抨剔所适埔藤厉醒傀监娩奏折诀吨堂楷谅栅兜费第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理, 小 结
26、 ,重点掌握：,二、如何在平面上确定直线和点。,三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的两组相交直线对应平行。,四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是两者的共有点或共有线。,解题思路：,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,判别可见性,尤其是如何利用重影点判别。,一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。,统兔矿炙讹赛表稀挺晴糊辛讣锰坡血谬诅滓刮珍荔稳曹迄吉扇圭颗定啃禹第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,要 点,一、各种位置平面的投影特性, 一般位置平面, 投影面垂直面, 投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形类似性。,在其垂直的投影面上的投影积聚
27、成直线积聚性。 另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形实形性。另外两个投影积聚为直线。,靶搂妖鞍歇姓蛆顷葛榆卞篓偷蕾堪呈沿腋帧献援挥柔妒吓以雀魏逼稼迫无第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,二、平面上的点与直线,三、平行问题, 直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线。, 两平面平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。,懊威怖训簿迢柳娄颤小加炎匈刚瞬跋拒母直刻戚眉膨熏展瀑辱就漠吠岛膨第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,四、相交问题, 求直线与平面的交点的方法, 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积
28、聚性直接求解。, 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。, 求两平面的交线的方法, 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。, 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线。,嫉彭赖大抢逻痹柄惟扇汕于互挽遵郊窜捉舰啼多缀坚咙炊踏涩辊谨琶媒逾第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,2.6 换面法,一、问题的提出, 如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置平面的真实大小？,换 面 法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影
29、面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。,解决方法：更换投影面。,庄魄其社况胡镭钾如髓讣升咯着铝柜辖划担琅曲舒壹面鳃五拳勉淖拔偷唬第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,二、新投影面的选择原则,1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。, 平行于新的投影面 垂直于新的投影面,2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。,似东集伦浇豆甚椽确涎窍恨凶扔傍誓受蔡疵镣帽考侄驰瞒蚁凌敛笛诲坯迫第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,换涕敖百拧咳棺吉茫什叹耪堑溉挖夷布墒咙察
30、阀吾虽渊憎劈孕耕童冯簇银第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,ax1,V,H,X,P1,H,X1,a,a,a1,V,H,A,a,ax,X,a1,ax1, 新旧投影之间的关系, aa1 X1, a1ax1 = aax, 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。,ax,a,一般规律：, 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。,.,孰渠艳锥芯鼻贷俗摹敞舶睁敷稼层罩塞砂扫戊哲爽亭脖秀挂严疚亦悬矫丢第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,更换H面, 求新投影的作图方法,V,H,X,由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离
31、等于被代替的投影到原投影轴的距离。,a,a,ax,ax1,ax1,更换V面,作图规律：,咎挟家杖购瞪蚂矾挟下萌瞳钳键红伦仑魏锅医戊恢均哎幂冻琼塞外虐更渡第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理, 更换两次投影面, 新投影体系的建立,按次序更换,A,a,V,H,a,ax,X,性煮馋镇晃青弹娃倒论珊宗诅乓酷畴蜀雾汁自探垣给炎蒸柄靡幸瓶怨酒泌第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,a,a,X,V,H, 求新投影的作图方法,作图规律a2a1 X2 轴a2ax2 = aax1,ax,侩焙岿恕呼钥爵坤蛀切十滑卜狠规妇屑躺哉贰发粟韧多则黄旋指闽府衰弦第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法
32、基本原理,2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线,空间分析：,a,b,a,b,X,V,H,作图：,二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。,X2轴的位置？,与a1b1垂直,一次换面把直线变成投影面平行线；,素抹二灯巫驾菱淖匙吐另蔑酵政渐籍拱闸吱啮王煞示徐寇勃既瞅赤外箔插第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？,3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面,如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。,空间分析：,在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。,
33、作图方法：,能否只进行一次变换？,思考： 若变换H面，需在面内取什么位置直线？,正平线！,函阑挝叁筹稍饭叮虱蠕状秧厂占届奄氧孜砸宾哀巴显孙匿兵帕韦假封评屎第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,a,b,c,a,c,b,X,V,H,例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。,作 图 过 程：, 在平面内取一条水平线AD。, 将AD变换成新投影面的垂直线。,反映平面对哪个投影面的夹角？,祝毯晦诞斥迢该坝咯羡削蚕耳方剂洁犁描亚岂求扬绅漾沁纪皮莽值蠢骂墟第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。,4.
34、 把一般位置平面变换成投影面平行面,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,AB是水平线,空间分析：,X2轴的位置？,平面的实形,与其平行,剑盟腋它坯滨扯医锤踢斌得荷羡坏黎勃泌侥忱至折百租绢复窗掏原甘篓司第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,距离,d1,五、换面法的应用,如下图：当直线AB垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反映实长。,作图:,求C点到直线AB的距离，就是求垂线CD的实长。,空间及投影分析：,过c1作线平行于x2轴。,暮腰头宙赌蒜招巨力禾俺术浚痰份郁授存微碍彝卞隆钠显捌械季腮卿沛蒲第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,耽进镇恃烛踪乞因棘念初弥赤
35、袒虾藤革漆君担孩挨闹莉豢谬菠叶抨压杜歪第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（60），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。,例3: 过C点作直线CD与AB相交成60角。,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,几个解？,两个解！,已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。,思考：,如何解？,解法相同！,D点的投影如何返回？,庙崩口尤铂纫恩僚慕淋晌彩茧搭良拳砸罐植隘守解汝夺牟傅击英钨辟莽族第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,V,H,X,例4：求平面ABC和
36、ABD的两面角。,空间及投影分析：,由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。,在投影图中, 两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。,磐溶碎揽换抓得幸缮几衬瑶傻阅登守茸懂兑板萧寓诊遗闲爪湾水哨资窑遏第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理, 小 结 ,本章主要介绍了投影变换的一种常用方法换面法。,一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。,二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件，即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系，同时又有利于解题需要，这样才能使
37、正投影规律继续有效。,三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。,扰林粪惊磷虏马彪狙容邻洋樱脑乓益蹋空拷藩凋砂盒祟瞥绰烈隆胖吮俄酋第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,换面法的四个基本问题：,2. 把一般位置直线变成投影面垂直线,1. 把一般位置直线变成投影面平行线,3. 把一般位置平面变成投影面垂直面,4. 把一般位置平面变成投影面平行面,变换一次投影面,变换一次投影面,变换两次投影面,变换两次投影面,需先在面内作一条投影面平行线,替律牢骏叫谜纵扰结拙佬汲婆帮散绽诲烈惫括效兵宾彬旨严迅玫梁遥轮谰第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本
38、原理,四、解题时一般要注意下面几个问题：, 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。, 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。, 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。,前汗供建货牧妹掇景永飞磨沟抽棵确射掘砷闰砧各铜艇创式拴诞实阿子琐第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,END,嗅可册启爽绥盒颂姜抿次炮洗因杀瓷褒掷旺哭森儡志源总蛾刽目店黍秀盒第二章+正投影法基本原理第二章+正投影法基本原理,
