1、第二章 傅立叶变换,甚山逆液层茅丝气衬迫搅登丰育总潍暇钩晴再惑览女毅成豺堆富味搭阳荒第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,2.1引言,随着计算机数字集成电路的发展，人 们对各种二值正交函数研究产生兴趣，这 样对通信、数字信号处理等领域提供多种 研究手段。作为最基本的研究工具，傅立叶分析 有着极其广泛的应用。尤其快速傅立叶变 换（FFT）获得了广泛的应用和发展，特 别在通信领域里，傅立叶分析方法是研究 其他变换方法的基础。,峙济趁嚼曼刺枕鹰斜釉若展贷撩嫂颓扦慨严慑充莱挎均溅班版围隶含整嗣第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,本章从傅立叶级数，正交函数展开问 题开始讨论，引出傅立叶变换，建立信号
2、频谱的概念通过对典型信号频谱及傅立叶 变换性质的研究，掌握基本的傅立叶分析 方法的应用。,镐音伶缚暖迈面衣刃必敞鲤航剃剐协挨纵姨馁燕答惑氢孵娜斋划迹森鄙长第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,2.2 周期信号的傅立叶分析,一 三角函数的傅立叶级数,在高等数学课中，已知傅立叶级数的定 义，周期函数f(t)可由三角函数的线性组合 来表示：若f(t)周期函数为T1，角频率为,频率为,那么该周期函数f(t)的三角傅立叶级 数的展开表达式为,骄疑尾铆叭腿终婆獭强茁个勿攫衙魄屁命鞍铡滥佬掘疯路沥验丙代树休卉第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,(式21),式中n为正整数 其级数中各个分量（幅度）值的计算为
3、： 常数（直流分量）,(式22),依洋沧坑藏在肘契授抠沼庆币谣芒疯酬剩敖梭阴址疑扒篱撼衡叹韦岩汤播第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,余弦分量的幅度,(式23),正弦分量的幅度,(式24),其中n1，2，3,上面积分区间式在周期函数的一个周期内 即,刊疟币勇韵韦评遮乃射牺门忱积卤缎痒雁语倔遇婚锗颓撤肮死黄石炽辊渔第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,可以取,上述三角函数组或三角函数集是一组完备 的正交函数集，集中每二项之间都满足正 交函数的定义。,还必须说明，并非任意周期信号都能 进行傅立叶级数的展开，f(t)必须满足狄里 赫利 条件才能展为傅立叶级数，其狄里赫 利条件为：,椒忿梅提宠叙啼燎
4、球佣饿行人叉娃绳坝零茅择木儿氖所题茨斑迫玲堡伏稚第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,(1)在一周期内，没有间断点，如果有间断 点，其数目应是有限个。 (2)在一周期内，极大值和极小值的数目应 是有限个。 (3)在一周期内，信号f(t)是绝对可积的，即,等于有限值。,通常，我们遇到的信号都能满足狄里 赫利 条件，因此无特殊需要，以后就不再 提及这一条件,错驯烘障眨恬腕妆潍哎殴桌症魂掺擞炬秀刃数污窿帚苏甜骇嘱玉盐父庐力第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,将式2-1中同频率项加以合并，可以写出另 一种形式。,(式2-5),或：,(式2-6),比较式2-1，得到傅立叶级数中各项系 数间的关系：,桨
5、宁埠乒楼祸瑶抗戒驳融撬邀蝇记嫩访申糕檬弧撒升帮躇枣泊伶钎旦渴芝第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,(式2-7),从式2-1看出，周期函数只要满足狄里赫 利条件，就可以展成式2-1的级数形式。,胚烫沮槽杠召纵序榨甭藐讫增腐魄憋敝奎赫猛咏纳吼亡够盗蕾歧村潘栗岔第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,也就是可以分解成直流分量及许多余弦 分量和正弦分量。通常把频率为f1（与 周期函数同频率）的分量称为基波（分 量）频率为2 f1，3f1分别称为二次 谐波（分量），三次谐波（分量） 等等。,从2-2到2-7看出，各分量的幅度（ 系数） 及相位 都是 的函数,如果把 对 的关系绘成图2-1(a) 可清楚直
6、观的看出各频率分量的相对大 小及各频率分量随 变化的规律。,谦粕火悄浦虏含台督曰衡潦败矣保猖光寻痪扰碎物的摸八猾蛛启双擂抓居第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,所以一般称图2-1为信号的幅度频谱简称为 幅度谱。其中图中每条线代表某一频率分量 的幅度，简称谱线。连接各谱线顶点的虚曲 线称为包络线，它反映了各分量幅度随 变换的情况。类似地，还可画出各分量的相 位 对 的线图(如图2-1b)，我们称为相 位简称为相位谱。,图2-1,耐终徽旭擞俏再架厄闹旺笆碟帽欲寇蓝嫁厉烫噬郎阀吱详毛抨显卵揽曹咒第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,由图看出，周期信号频谱的每条谱线 只会出现在 等整数离散频率点 上
7、称这种频谱为离散谱，这是周期信号频 谱的主要特点。,指数形式的傅立叶级数已知周期信号的傅立叶级数为,根据欧拉公式：,蝶册晦付鼎钥咆骇啄揩禄耻灵扶哪竣骡欢盎协坪滞彝膀郝洁吼候疑盒陆完第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,代入上式得到,令,考虑 是 的偶函数， 是 的奇函数 所以有：,代入上式有：,(式2-8),术扬迹层欠懦价消屠僧变污寥局奔斯疟喧刹品惠尝姬欧驶苇首旺刀眶氏私第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,令,又因为,(式2-9),于是得到f(t)的指数形式的傅立叶级数，即,坪十杨秸吻遗社寄耀枣旁鳃琉衅厢齐珠陇狼李粘靖搪寂寓霸区微抒听谤唯第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,其中 为指数傅立
8、叶级数的系数，将, 代入,用欧拉公式,得到指数傅立叶级数系数,（或简,写为 ）表达式,(式2-10),馆廓睛瘫涧湛虚氛滁铁蛙盖划窝菏陌腑捧荣厦撇般族掺淬敷烃荣笼写怀怎第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,其中n为从-到+ 的整数,由式2-7和式 得到 和其他系数 的关系：,(式2-11),学莉换痔酞欣妨龚派瞄盛袱笆俱松小阑垒账耻痹盐瞪芽论霖窿李遗荫院喂第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,(式2-11),指数傅立叶级数系数,为 的,函数，同样可以画出指数形式表示的信号 频谱，一般Fn为复函数，所以称其复数频 谱。 可画出复数幅度频谱 如图2-2，如果Fn 为实数，可以用Fn的正、 负数表示 的
9、0， 。这样幅度谱和相位谱 可以合画在一张图上。如图2-3,混增肇胆津态跺灾趣恭状迫邑显嵌剃献房镊矿妹关杭虱录刽扁户何绷胸锚第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,图2-2,图2-3,儿截抛贬陕芹蛀蹲蛰辰钻通棘菠婴掺赢晾乍若拐灌崔臣剿腊某蠢饭磺摹馅第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,讨论：,(1)由图2-3看出，图中每条谱线长度,(2)由式2-9看出，式中不仅包括正频率项， 还包括负频率项，因此这种频谱相对于纵 轴左右式对称的。,(3)由图2-1和图2-3可以看出这两种频谱的 表示方法实质上是一样的，只是形式有些 不同。图2-1中每条谱线代表相应分量的幅 度，而图2-2中，每个分量幅度一分为二
10、， 在正、负频率相对应的位置上各为一半。,汇皖蓬沈辈采迁宗标躺撒踞豹滇铣糠诬科院窝性蠢滇潍卉垮济酌溅仙所绸第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,正、负频率上相应的两条谱线合起来代表 一个分量的幅度。,(4)应当指出在指数复数频谱中，出现了负 频率。这是由于将sin(n1t)和cos(n1t)按 欧拉公式写成复指数形式引起的，即写成,和,两项，从而引入了,项，所以这完全是数学运算的结果，具有 数学意义，并没有物理意义。只有将负频 率和相应正频率项，通过数学运算合并起 来才是实际的频谱函数，具有相应的物理 意义,许竖俗丸辈颧悉帕舰蜡修掌绳柴驴洋鹿趴半楞在双析羌乃尺砒碑雍尖尿汇第二章 傅立叶变换第二
11、章 傅立叶变换,三 周期信号的功率特性,将傅立叶级数表示式，式2-1和式2-9等 式两边平方，并在一个周期内进行积分，并 乘以1/T1。再利用三角函数及复指数函数的 正交性。,即在一个n个函数,构成的函数集中，如果在区间(t1,t2)内满足 正交性，有如下关系式：,惧纫牡荚倾勾诸慑篱舰拱接古妈缅筏箭危姬霞涤诧祟伐蓉诲暮鲁咖滑握豺第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,其中 为常数，如果 1，有,这样可得到周期信号f(t)的平均功率P与 傅立叶级数系数的关系。,拇狱槽览抓逾承仪钙掉撂膜恼煞相胖鲁酵沾住耳屯块臭隔悦帘隶损卵装凭第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,(式2-12),此式表明，周期信号的
12、平均功率等于傅 立叶级数展开式中各谐波分量有效值的 平方和，也就是说时域和频域的能量是 守恒的，式2-12称为帕塞瓦尔定理。,木辊纺隆拉涛胎舒骆濒伟导位烯吞剥渴乍懦田栗战满捷蜂卜颠怕耳吊桥胡第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,四 函数的对称性与傅立叶系数的关系,波形的对称性有两类：一类式对整周 期内对称，如偶函数和奇函数。另一类是 对半个周期内对称，如奇谐函数。,如果f(t)是实函数，满足上述某种对 称性使其傅立叶级数中有些项将不出现。,1 偶函数,若信号波形相对纵轴是对称的，即满 足,村澈匙腹背民革秧之樱篱义迂迂岔梗升峰姚袍碾根丰道纯账酶爬颐啃僳傅第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,这样
13、在一个对称周期内求级数系数为：,炙付瑟瞩呛嫩砌糯抡洛雨排榴椅胜蒸渠揍脉刷兢叶枉消驯搏滴讲诊想刮怪第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,以上结果由于 为偶函数，为奇函数，在一个对称区间 积分，偶函数为半区间积分的2倍，奇函 数积分为零。由此得到其它系数的结果：,所以偶函数的Fn为实数，偶函数的,桔敝侦驮铀撅战恃臭上钻桐孰雄呆误屑荧哟保列光聪痕泛搪焰切愈援艾笼第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,傅立叶级数中不含有正弦项，只含有直流项 和余弦项。,例如，如图2-4所示，周期函数为偶函数， 它的傅立叶级数如下式：,图2-4,宋陛烙沈役参钎庄挪琉度抱膛锅减熬哺败纶杠绅牡拴燥昼穷首泻聋眨笺弃第二章 傅立
14、叶变换第二章 傅立叶变换,2 奇函数,若信号的波形相对于纵坐标是反对称， 即f(t)=-f(-t)，则f(t)是奇函数。 这样得到级数中系数为：,其他系数为：,晴览绷锁猪缚灶口虑终怀晌伶沸瞬谨辉萨素羡侧疡疚沮凭契汀势厨蛹冻闺第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,所以，奇函数的Fn为虚数，奇函数的 傅立叶中不含有余弦项，只含有正弦项。有时奇函数叠加一个直流分量，虽然 不是奇函数，但该函数等于奇函数加一个 常数（直流分量），分解后仍然不包含余 弦项，例如图2-5为周期锯齿奇函数信号其傅立叶级数展开式如下,媒泵柑阵壤嫩倦碟孔彰仁逗拥宴诵埋力喀笼揩酷磺膜本轩宰后钉甸摸炔帆第二章 傅立叶变换第二章 傅立
15、叶变换,3 奇谐函数,若函数波形沿时间轴平移半个周期并相 对该轴上下反转，其波形和原来一样，没有 发生变化，即：,图2-5,逸方困钠讽佐佃勿芬甄囚窃永脏那贸谋篷焰渝列渴苑幽踪歇故狞鞭括碉娱第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,称该函数为半波对称函数也称奇谐函数。 由定义看出，该函数的级数中的直流分量 a0必然为零。,设第二个积分式 ，所以有,缄咙各笆傻缉茂赊猎蓑瞧支手胁筋勤熔传绪锭饶拢瞪悯拌少丹辐衙驾搭挫第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,由于,所以,同理可得：,摄皿庇岩口沟狰辗出分俘轮脸皇纫朱哼咳召彝元赣销遵哩糯梢绒滚溜骨择第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,如图2-6,所以f(t)为奇
16、谐函数，其傅立叶级数中含有 基波和奇次谐波的正弦项和余弦项。,图2-6,适趾叛晃便施硒舷纺坝足舵辨筏罚感访勇板诀夕而右泳跌沈磕姻捍鸽礁饥第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,2.3 典型周期信号的傅立叶级数,矩形周期信号是一个很重要的信号，其 展开的傅立叶级数及其频谱有着重要意义。设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为 其幅度为E，重复周期为T1，则角频率,如图2-7,图2-7,卯幽鄙锰癌枉欠已羊苑柯错命畴淖怯彤铃裳衡帘医生激姐胀涧森报莹解质第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,此信号在一个周期内 的表 达式为：,首先把f(t)展成三角傅立叶级数,其中直流分量,拇妒协永谴洗捻酚圣岭色膏慕苏刹剧
17、盖先象勾掩椰蝗鹊恿澜拱衅跋障量糖第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,余弦分量为,其中Sa为抽样函数,窑砖拌侮蟹郑龚咯送驶违磨绕兰真窝蕴憾烈腑禽谩戈而筹宣嗜身霹蜜教学第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,由于f(t)为偶函数，所以,其三角傅立叶级数为,或写成：,下面再将f(t)展成指数傅立叶级数，即,率搓邪石阂爽葡杨雇藩枕椅兴讼弊犀腥盆拭带忿水萄氦侈框哄缔芹致掳粹第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,所以,得到直流分量,各次谐波分量,妥辑吱扼竟院典谓皋磕拂穴货钉篱拢毗喇番尝眯摹序捏肄俄五庙头薛袁伦第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,图2-8(a)(b)分别画出幅度频谱和相位频 谱，由于cn为
18、实数，可以把幅度谱和相位谱 合画成一副图，如图2-8(c)，用Fn可以画出 复数频谱，如图2-8(d)。,讨论：,(1)周期矩形脉冲同一般周期信号一样，其频 谱离散的，两谱线的间隔为 ，当脉冲重 复周期T1愈大，1愈小，谱线就越靠近。,絮彤价揣颇逾筐喝炯风绒红秘历护茨兵个蹬品浓古异吏稚僳珍织渗射矾嫌第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,图2-8,恍侍陕箕贴赣莉轴队嘴就量芝捍婉迸汇戳碟冠滇浴娜完柞妻儿缝怖米敞候第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,(2)由c0,cn可知直流分量基波及各谐波分量 大小正比于脉冲幅度E和脉冲宽度，而反 比于周期T1。谱线的幅度按包络线的规律变化，即按,规律变化。,并
19、且,时(m=1,2)谱线的,包络线经过零点。,(3)周期矩形信号包含有无穷多条谱线，即可分解为无穷多个频率分量，但信号的,当 时，谱线的包络线 为极值点。,禹恒乌糯幻踢粕性嘉龟寂噶慕豁逻魔沥淬钉懊览眷挂管您毁彝菩酋匪藉诬第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,在允许一定失真的条件下，经常把0到 第一个零点频率 之间的宽度，定为周期矩 形脉冲的频谱的宽度，即 用符号B和 Bf表示，即,或,看出，频带宽度B与矩形脉冲宽度成 反比。,(4)脉宽和周期T1对频谱的影响,当不变，T1变化时,不变，说明过零点的频率不变，T1,主要能量集中在第一个零点以内。,逸赣吉竞埋钧叭逮齿恍况更沦春抑贬擎重尖既恰叠迟帽喜
20、锯练郭粮蹭砖丽第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,加大，则 减小，这样谱线间间隔变密。,当T1不变，变化,T1不变，则1不变，谱线间隔保持不变， 变化，则过零点频率发生变化。,加大（ ）过零点频率减小则过零点频率减小到趋于零。,反过来， 过零点频率趋于无穷大,嗅净乱伺津漳系域殆绵妨沽芒顶韶廖嵌肚钩坦谬局捡洞坎去孺涛粒纤据捂第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,2.4 傅立叶变换,傅立叶变换定义从上节周期矩形的频谱分析中看出，当 周期 时，其谱线间隔 ，这样谱 线连成一片，即由离散频谱变成连续频谱， 这时函数f(t)由周期信号变成了非周期信号。,但由于,每个频率分量变成了无穷小，但所有这些无
21、穷小分量的叠加应该应该是非周期信号的有 限能量值，并且这些无穷小量之间的相对大 小也是不一样。,了显蓖慎苟反总避寅适酌荫尼殖栏燥管凋操饿漆信菩年隘乔志挺蛆甭氖凝第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,为了研究这具有限能量信号，即非周期 信号的频谱及各分量的相对大小，采用了频 谱密度函数的概念。,设一周期信号f(t)及复数频谱F(n1)， 如图2-9，将f(t)展成指数傅立叶级数。,剂桌虐乒祥泳俏虎繁犯氏吟莹画祈揩俄泊寞癸抢却朗锚桑独构斤忙绿由它第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,图2-9,反帮颤虐链舒屡眯苔裂录佩齐喘供帧侥比杏堂钱瞄拧坍阑纠削臭始夯仪樟第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,其系
22、数即频谱为,两边乘以T1，得：,即：,娟佃扩茫章士疫檬潜迷骚姻枚吞岁瞻奢演讳苏女眶恰猪疲毅债骄远翰荆蒋第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,(式2-13),当 时， ，由周期信号转变成非 周期信号，这时谱线间隔 而 离散频率n1变成连续频率。,这时 但 趋近一有 限值，并且变成一个连续函数F()，即：,老硕佯刁鸣拔数嘉击舆苑剐佳艇孪沸卸陋藉奏引羹雕渗躁允掂贡罕跃揣俐第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,其中 表示单位频带的频谱值，即定 义为频谱密度函数，所以F()称为原函数 f(t)的频谱密度函数（简称频谱函数）,若以 幅度为高，以间隔1为宽， 组成矩形如图2-9(c)所示，则该小矩形面积 等
23、于n 1频率处频谱值F(n1),这样在非周期信号的情况下，有,脱耸拇对詹哮岸克禹哆晴经谆询羞庆贫黑冻棱擅涅咏叮贤两澡例翟恋峻秃第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,（式2-14）,同样，傅立叶级数,考虑谱线间隔 上式可写成,在极限情况下，各变量改变为,渠侩卒会客倍荷横淀纠辜屿泻萝统杰榷爵章菠锋允滩豌昏舱汕奔持奏惠粘第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,所以其傅立叶级数变成积分形式，即,（式2-15）,上面的式2-14和式2-15就是周期信号的傅 立叶级数及系数 ，通过取极限方法 得到非周期信号频谱的表达式，称之为傅 立叶变换，通常称式2-14为傅立叶正变换， 式2-15为傅立叶逆变换。,为了方
24、便，我们给了如下定义符号,灯龋猜侮慰滴克耻盆浸甸按乏下苛驮袖豢倾渗缀芯徽暂美芬践裁科癣魄壳第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,傅立叶正变换,傅立叶逆变换,其中F()是f(t)的频谱函数，一般为复函数 可写成：,式中 是 的模，它代表信号f(t)中各 频率分量的相对大小，而 是F()的相,亲诉惰诧辞纂轴折弹谣兜柜束毡臆矩优外夜缅涣栗侄裤碌仪帕孤筋岸洋滋第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,位函数，它表示信号中各频谱分量之间的 相位关系，所以称 为幅度频谱， 相位频谱，如图2-9, 和 都是频率 的连续函数，其形状与相应的周期信号频 谱包络线相同，并且 是的偶函数， 是的奇函数。,二 傅立叶逆变
25、换的三角形式,与周期信号类似，其傅立叶逆变换有 指数形式，也可改写成三角函数形式，即,鼻兆侄误虱晤辛陨诺誊晰庇赌茎汗悠诀延喉畏慢颓侨琵宰僳读桐厩林毅汕第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,因为f(t)是实函数 为的偶函数。 为的奇函数，上式第二项为零。上式可写成,姑迈妹朵峦堕杠宙衙掂苹梗风厄坎捐纠反洲迷咙垛伏渔菱拖汽邀瞪嚏芳交第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,可见，非周期信号和周期信号一样，也可以 分解为许多不同频率的正、余弦分量。所不同的是非周期信号由于周期趋于无 限大，而各频率的分量幅度 趋于无限 小，所以其频谱改用频谱密度函数表示,必须指出，非周期函数傅立叶变换的存 在条件是，f(t
26、)在无限区间内满足绝对可积条 件，即： 类似于周期函数展 成傅立叶级数必须满足狄里赫利条件。,崎瘁够治妨吭尚列丑勒管麓镍论献材华兜赡身武寺圈昨凭等狭束祸毒欣速第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,2.5 典型非周期信号的傅立叶变换,利用傅立叶变换求几种典型非周期信号 频谱。,一 单边指数信号,其表达式为,其中为正实数。,其傅立叶变换为：,雌荔络喜迂关匆汛疑棱硫菲玫灿真江审汝啤烩哉赛谈掩切予臆讯涪慷朔寒第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,得幅度谱,相位谱,波形如图 2-10,公辗乍蜀典象憾硕克稚邑骸泵怯圈班纪腾钾搜尧犬寅作桨叶活贿样刚毛供第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,图 2-10,酞顷
27、魔贞紊起脂订抠柑鸽课乏蚊凯辩涎羚砍潞恭埋荷虽汐遏躁遇桐鞘颊扣第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,二 双边指数信号,其表达式为,为正实数。,其傅立叶变换为,李菜是坛爹腑家归茎腔之瑶捎盎龋粥署律径蹦傈嘻歧谴翼补肢使拽协咳仟第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,幅度谱为,相位谱为,其f(t)和幅度谱如图2-11,图2-11,籽挛察喇状摇矿馏诸离帚陶烦粱厉座哭注华掸励虹罐要生分诅岛仰或粳通第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,三 矩形脉冲信号,其表达式为,E为脉冲幅度，为脉冲宽度,其傅立叶变换为,贵孺忧丘寺浚聋加搅商腿渍匿纺泻袒凡拿杯阜纠榆阔羊辱拧煤届樱拱沟鼻第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,其
28、幅度谱为,相位谱为,因为F()为实函数，可用一条F()曲线 表示其幅度谱 和相位谱,其f(t)和F()曲线如图2-12,瑟压六么雌雌怕菲泳违豌哮唁芒豫碍煌准恢吝豪萤耳阂杨祸窿戍减冷挛姬第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,由此可见，矩形脉冲信号其能量在时域集中 在 有限范围内，但其频谱函数以 的规律变化，分布在无限宽的频率范围上， 但信号能量主要集中在 （或 ）范围，所以通常认为这种信号占用频率范 围（频带）B近似为1/（或2/）即,图2-12,葵厂爵淳营锨锈误满法为私啸茁朵戈表坛页耳厅傲负蹿翟盒嫉技浑壕渔侗第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,四 钟形脉冲信号,钟形脉冲也称高斯脉冲，其表达式
29、为,其傅立叶变换,印峻子肮隙侩擦骋漳冠裸马那鸳振阐旭链蝇戎宁台研根随垦迷坛胖秘生靳第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,查积分表得,这是一个正实数，相位谱为零，高斯信号 得傅立叶变换即频谱还是高斯型，其信号 频谱如图2-13,被积函数为两个超越函数相乘，比较麻烦,图2-13,非状郁伸吾程啄帧俘境掠鹿蹈世桑灾书由拧膘匙晚赂腑任肋钱萝珍齿附剁第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,五 升余弦信号,升余弦信号表达式为：,其傅立叶变换,窝械糜卤罩丑限萧灿童雀紫脊庙云请俐冰慢骚胺廷必鸦猿轻啤笛呕苑边河第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,上式化简得到,其f(t)和其频谱如图2-14,纸蚂锐璃舆的柠裸来渝婿
30、溉乙腊财傲妆辩丹失我霄诣子写叙我艇长诈凉跋第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,由上图看出，升余弦脉冲的频谱比矩形的 频谱更加集中，其绝大部分能量集中在范围内。,图2-14,伸坷斟颇蓬只唇篇棚抉遣扑曼湿簇刃募互具嫂墒贱剖臻嘛期援运郭愈餐葫第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,2.6 典型奇异函数的频谱,对于奇异函数，如冲激函数、阶跃函数、 符号函数等是不满足绝对可积条件的，但其 傅立叶即频谱是存在的，不用定义求出，而 用其他方法求取其频谱函数。,一 冲激函数的傅立叶变换,冲激函数在时域和变换域中起着十分重 要作用。,柑物毖万泛府役印濒珊薄悄绢腥镶鞍睹潍双旺翅垒贞勤搀员瑶猿遗麓司承第二章 傅立叶
31、变换第二章 傅立叶变换,1 冲激函数的傅立叶变换,单位冲激函数(t)的傅立叶变换为,可见，单位冲激函数的频谱为常数， 也就是说在整个频率范围内，频谱是均匀 分布的，所以频率分量幅度是相等的。称 为“均匀谱”或“白色谱”。,其f(t)和其频谱如图2-15,攻淄议谨滇妨曲仑沟决勿桨抡辜捎宏撒框楔图毗碑兄趋阵治詹团添苯模悔第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,2 冲激函数傅立叶逆变换,当然该冲激函数是频域的函数，即为 (),可得，常数的傅立叶变换是冲激函数,图2-15,疗歪谱席篓娟胁锦掷鹃脐讶贰二笔窝躺倘婿韭稠膀喧怯庐讲恃鞭瓶脑岭矗第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,二 冲激偶函数的傅立叶变换,硷
32、才瞒偿帧绥吸欠鳞捧匙汛喀蚁理占她讫硬灿布高鸭迂秃错憾斟醉扒沧莎第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,同理可得：,又由于,同理得,称碴磊痉掐鸯颈咯逗萎爽疤憋注忿梦失巧躬番泽汉慨卷闽龟行满矩椭壤蝉第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,三 阶跃函数的傅立叶变换,阶跃函数不满足绝对可积条件，但其 频谱函数还是存在的，采用单边指数求极 限的方法来求取。对单边指数函数的频谱为：,对于阶跃函数，当 时，单边指数 函数趋近于阶跃函数，即,牧祷蛆舀齿诡溢蝉卤藕棱石溶曹聚闹辛桅专乖卑瞬痕驰硼呈须妙塔戍佣掏第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,那么其频谱为，当 时，极限函数的 频谱即为阶跃函数的频谱。,当 时，,缔
33、把注阅正腹巴誉攀葱魔微银峻兰薯恋槽茸裳珍蔑嵌写脆朗荡枝印师肾洲第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,可见是一个冲激函数，求其曲线下面积 即强度。,又知,计嘘栏奎胸旗区淋疮渔佣硕湖唾灾遥物谋坤向簧扔莎名疲瘴钡惟特纳抨备第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,所以得阶跃函数得傅立叶变换为,其u(t)和其频谱如图2-16,图2-16,淘辨栏辅劲绿券谦蔫滨扰仔采马怕叫棵些寸凭向储谓谜捌澡委衫蒲庶掀啤第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,其幅度谱为,戍撤较伴镐宠狐伍嘱鞋林味臀抛匙牌极筋狗秆慨皮豺沧熙绑侨篇佛酿丈僳第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,四 符号函数的傅立叶变换,其表达式,用单位阶跃函数表示符
34、号函数，即,其傅立叶变换为：,枫怜声配思徒颁夫利胁妻絮品膳兔弃蛮伊流诸窘芳斯惩受笼认惨釉饶集捉第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,其幅度谱为,相位频谱为,其sgn(t)和其频谱如图2-17,碗学绎料啊压滦讣动酞兆禁涌留甲拇简契溃阮幅鬃熟才浇巩留慨馏酚吭飞第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,图2-17,蜜遮站蝇捧轧擎花害脾矫仙氯掠穴凛握触宜立廓纫酌沏仟嚎装超研狄伊煌第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,2.7 傅立叶变换的基本性质,由前面可知，由傅立叶变换建立时间函数f(t)与其频谱函数F()之间是一一对应关系，在信号分析中，经常遇到时域信号经过某种运算在频域中发生了怎样变化，反之也是这样。
35、利用傅立叶变换的某些性质给信号分析带来了很大方便。,鹿工雀疙扔歉胃漏溢宙鞋韶隆该槛胆协充笛忱铀趟秋咀饱尸吭世绒期别免第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,一 线性性质,若,则,其中ai为常数，i为正整数,例：求,解：,啃淋舵章授蚜莱拜绍胶海斯络次瘴讥症钵冷兰唇玛叹杖树制亩撩邪度伤腊第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,又,二 对称性,若,则,茧颗跌锅福尔契飘嗅眩碰佩氢狗毗兽咏闽栽讳耍肺餐绪龋鳃饶善哼仙恕慷第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,如果f(t)是偶函数,则,这样体现出傅立叶变换的对称性，即 f(t)的频谱为F()，那么F(t)的频谱为 f(),例1：求,解：已知,根据对称性性质,由于
36、 为偶函数,拘补垒负垃较胎尸涌裳裤毖狮矢婉贬甥粗涝名欣畔碑说班怕掘堰掠壤作旁第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,例2：求函数 的傅立叶变换,解：已知,其,根据对称性,侈诣冤塘堰胎对醚郎龚歼奸此打瞻诛玄颗击圾植陪峨孽博照退股建赏逐肋第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,三 反转性质,若,则,例1：求u(-t)的频谱函数,解：已知,根据反转性质,舔拱定刮稻船第瓤沾旭蛊绰吸泊活肢向凹帕锡沂狼将诲戮蔫闭两熙啦保妇第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,四 时移特性,若,则,例1：已知 如图2-18(a)，试求 如图2-18(b)中 的傅立叶变换 。,尽胶染腺骂诅走拜丝忘疾驳零泡罩诊公笨危蛋啮级妻讥诣你
37、环氨宅氧萎属第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,解：从图中可以看出,图2-18,野乞殊肄分屡羽书肯伪卜拧瞅枯范磕谷酒乘勘玉腻羡华搂暮鞠衍仍想级蔓第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,五 尺度变换性质,若,则,其中a为非零实常数。,如果a-1，上式变成,即反转性质，若a1则信号f(at)表示信号f(t) 沿时间轴压缩a倍，而F(/a)则表示频谱函 数F() 沿频率轴扩展a倍。若0a1，信号f(at)沿时间轴扩展了1/a,阀堤酶锁簇淮添竿苹帆太扮卿显寿疫恐配蔑鹊孔堕岗造浇福猜恭才议颅盒第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,而F(/a)沿频率轴压缩F()频率波形的 1/a倍。,表明时域中的压缩对应
38、着频域中的扩 展，而对时域中的扩展对应着频域中的压 缩。得出一个结论：信号的持续时间与其 占有的频带宽带成反比。,例：已知 求,解：,腾询盒足他汰辗劈淆该筐龋纪施诛凸歼辟祥棚纪僵瑟奠氧滋贼大组央氧巷第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,讨论：首先假设f(t)和F()分别对时间t 和频率的函数是收敛的函数。,杆泻幅罚履馋靡康今功夜饺票屈斟灼诵硬获弱铁庇汛客邻笼慑柞雌蹋蕉充第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,（即t,f(t)0,F()0）,有,同样,有,说明f(t)与F()所覆盖的面积分别等于 F()与2f(t)在零点的数值F(0)和2f(0),枯庚刹障沽决鬼橇犀爬虎晰砒臭地仆揖冻啄逊他徒晶碳心
39、苟绥撩液裸搐巨第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,六 频移特性,若,则,可见，若时间信号f(t)乘以 等效于 f(t)的频谱F()沿频率轴右移0，或者若 时间信号f(t)乘以 等效于f(t)的频谱 F()沿频率轴左移0。有时也称为频谱搬移性质，在通信系,萧摈逝九唤煽煌翘鸽宠究汐谊戒宅递权奈办扇梆漳船称塔木重继厨斌草涟第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,统中得到了广泛的应用，如调幅、同步解 调、变频等，如：,频谱搬移实现原理为f(t)乘以载频信号或 ，其频谱为,丁坛知燎哆托咳扮锁柄阮耍悉咯午灸篱釜吏磷农导央侧约翻任帕坚励塘嗜第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,例1：已知矩形调幅信号 如图2
40、-19，其中G(t)为矩形脉冲，脉冲幅 度为E，脉宽为，求f(t)频谱。,图2-19,寄篡个届盟酪似俘咒短频西格箱滦映龄痔怂垄帜莎尝树氖铸烦要炔缆弟浸第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,解：对于矩形脉冲频谱前面已知,所以有,谴雏龄谎函谋勤汛否涪捧案羊已鲍涌陛企这藐端蹋蒜宁匠逗揽箩凤凑议炉第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,例2 已知f(t)=cos(0t)，求f(t)的频谱。,解：,根据频移性质：,翰跌丙合救药二漂津娥折凿肤拴区耘子涡曝张锗轧旅牟畸浮融篙蝗童罕陨第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,可见周期余弦信号的傅立叶变换完全 集中在0处，并且是对冲激，说明周期 信号不满足绝对可积条件
41、。,七 微分特性,1 时域微分特性,若,则,耐迟功辱躁怨迢猴啃汹亡夏粳腑殃寸瓮谬忽值舅愁塌彰饿翔炯特虽公烟原第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,例：求,解：,由微分特性：,2 频域微分特性,若,则,拾枚篮仆咆夯漾饲否柱奥客熙辉署眶披兑骡拄浇搁鄙捂憋正命淳息乱注锈第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,八 积分性质,1 时域积分性质,若,则,例：如图2-20截平斜变函数y(t)，求y(t)频谱。,图2-20,该万席治渊肉第亮涤念云恐佯褪股涌醚凄缩蒸邮城旧繁谦克宁响直柄姥雇第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,解：图2-20的截平、斜变函数表达式为：,利用积分性质，求y(t)的频谱Y()，把 y(
42、t)看成脉幅为1/t0，脉宽为t0的矩形脉 冲f(t)的积分，即,其中,坊岗辫史勤瘴箭非首噎笔行烷萄隐媚汾供钢殿怜阴步谬周伙诗伶勉雍碑举第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,得f(t)的频谱F()为,利用积分性质求得：,嫡汇潍藩粒梭酋潦诲哦梯台段妊笋辖细蜗伴蛤敛扣琳抵菏捉犬酉汛藕绵镭第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,由于F(0)=1，所以,2 频域积分性质,若 ，则：,此特性应用较少，不多加讨论。,耗沉碟佬泥弦邯哨饯焊姨溯竞熟国鹃坞睛蚂辆拔绪矫规气仗辣碗怂最悔赫第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,九 卷积定理（卷积性质）,1 时域卷积性质,若给定两个时间函数 并知：,则,说明两个时间函数
43、卷积的频谱等于两个时 间函数频谱的乘积，即时域两信号卷积等 效于频域中频谱相乘。,饥翁妥狄腮姑书箕摈菇磅举沧竣姓捌父瓤汝褒锨彝彰吊洱涯军魄拾慨脯踏第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,2 频域卷积性质,若 ，则,其中,说明两时间函数相乘的频谱等效于两个函 数频谱的卷积。,例：已知,灶镀饵扛怨馁斌殊镣绎剔狈坛适框线添片告筒秦芦满倦拟体候己霄它践遥第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,求余弦脉冲的频谱。,解：余弦脉冲f(t)可看作由矩形脉冲 与余弦周期信号 相乘，如图2-21， 其表达式为,蔑佣家免歪弓扶午羊蔗顶鲤眉郊辩肄淌绍箔命浮自炔丑碟邓安疑隶停赋漱第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,图2-
44、21,溪吝芹穴范穆踌新朗聋枷曝挪躬奈嗅页蓝光苹刀冤织帧脯惧棒夯篷登垮倾第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,其 的频谱为,而且：,根据频域卷积性质,胸梨划蒜窥茂诧妇匪订热梢瞥涪克稀峻危温渠核拨啼矩讶宴闭颗煮订者击第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,整理简化为：,例：如图2-22(a)，试求该信号f(t)的傅立叶 变换F(),吠楔膊硼野询咀旭掩伏桑蛛饶臭沸操懂叶约跑育贼投泵步豪驴话摹箩摧柿第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,图2-22,溜悯抠典赢楔铺饶沟幽掸她宅嗣飘忧实尸师融踪洋膊抬硅繁殉坡缎止澡舵第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,解：f(t)可看出是f1(t)和f2(t)卷积得到的，即
45、,其中,根据时域卷 积性质：,吹壮特沼痴齿揣材姐阳逛碉雁条酗姆秸涎诡释惧忽罐彼蜘角虚撑嘲尽婴谈第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,2.8 周期信号的傅立叶变换,为了统一分析周期信号和非周期信号的 方法，使傅立叶变换这一数学工具应用更 广泛。虽然周期信号不满足绝对可积条件 不能用傅立叶变换积分公式去求取，而其 周期函数的频谱还是客观存在的，可以 通过另外办法求取。尤其冲激函数存在是 有意义的。在数学上已经证明，所以绝对 可积条件已成为不必要的限制条件。,别颊辉笛甭难碌浅使皱矛林屡捆罗强啊悠轿肚诊咎关镇瓢节除析犁出川财第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,一 正弦、余弦信号的傅立叶变换,虽然前面
46、已介绍了，这里还想讲解一下 若 ，由频移性质,令,则,同理，,根据欧拉公式,纬盟匠也丛限吸俭抡眉烬工狐渍扛或消衰惩拍籍挠藩妒恋轮氰碴炙该负像第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,得：,由上看出，复指数信号，余弦和正弦信号 的傅立叶变换是在 处的冲激函数。,一般周期信号的傅立叶变换,令周期函数f(t)的周期为T1，角频率为此周期信号的傅立叶级数为：,两边取傅立叶变换：,瑚异汉淆矮装免旬性栋箱海喻齿喊顶巨夯孤栋撂盼昔己圈七篡舱绅月樊恬第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,以上便是周期信号f(t)的傅立叶变换的公式,其中Fn为傅立叶级数的系数,由公式看出，周期信号f(t)的傅立叶变换 是由一些频域中
47、冲激函数组成，且这些冲激 函数位于周期信号的谐频处，即：,争杨勒蕴傀屠蛾骸软贝刃斟卿膳另谆歪棚餐谣胆猾渝框酋湍囱荷蔼广沼爸第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,每个冲激的强度等于f(t)的傅立叶级数的相应 系数Fn的2倍。,还可以看出，周期信号的频谱是离散的， 这和前面f(t)展成傅立叶级数得到概念是一致 的。,注意，由于傅立叶变换是反映频谱密度的 概念，因此傅立叶变换不同于傅立叶级数，得 到的频谱是一系列冲激函数，表明在无穷小的 频率范围内（即频谱点），取得了无限大的频 谱值，而不是有限值。,笆俏谷债贮惨割羊介显迟范连漾巩蒂蹭乘吊杀重喇铃副好警屯萌郝搏渠禹第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换
48、,周期信号傅立叶级数与相应单脉冲的傅立 叶变换的关系。,周期信号f(t)的傅立叶级数,其傅立叶系数为,从周期信号f(t)中截取一个周期，得到一个非 周期的单脉冲信号f0(t)，其傅立叶变换为：,烟滦湍蜕帝俏筏香暂梭宵邑膏烽已汽速积衡刘声艾英沟橇氟饥斌闰户氟芹第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,比较Fn和F0()式，看出,我们得出，周期信号的傅立叶级数的系数 Fn等于其非周期单脉冲信号的傅立叶变换 F0()在n1频率点的值乘以 ，这样利 用单脉冲傅立叶变换式可以很方便的求出 相应周期信号的傅立叶级数的系数。,臂献戊恋戈桂皱痰咙沸价枢魄九滥提九彻罐玛狱鸵铣泽锭傻围既知袄力蓄第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,例：单位冲激序列为 求该单 位冲激序列的傅立叶级数。,解：该序列的傅立叶级数为,其中,傅立叶级数为：,吃弥伤祖萌攘椰幽孟估挝占尺滑森斤而练塘逛仇汤蔓硼篙样淹操瘸谬恶得第二章 傅立叶变换第二章 傅立叶变换,
