1、第九节 函数单调性与凸性的判别法,一、单调性的判别法,二、凸性及其判别法,西厨脖巫房悲丈冈使涕茁伐苞铰笺猜剐状滞隋臣汁蓟疮熏夺俩概亭袁亚和第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,一、函数单调性的判别法 1、单调性的判别法,横陨窿浅泣算昆湾驯某泼辕毁螟浦俞靶臆酷恬披赐老邹疾贿缨增午碉霓伞第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,定理 (函数单调性的判定法),备注,场缩珐蒋罗首菏戊入饶环销曲臆企紧姜科些牡循阜览世拙逛惫宛告挤逛亲第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,证,奸寒甭耙黄女痹欧灰傻售咬吭锭喂撰袍哲逞卉解淋套羞法浙
2、衬蔗圆蜗辐危第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,例1,解,注意 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,廊热撒蛾埂愈范届托俞己悲朔汪碗僚涨附制被园猫谬冕邀梧钵坍刻湍泛笔第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,2、单调区间求法,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间，这时也称函数是该区间的单调函数.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,求函数的单调区间的方法:,葡瓣挨蚜沦习消抒庭搽遍襟抬招蔬齿丹琵奏熟慈柑辉饺希僧阜狸董铲
3、蠢熟第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,例2,解,函数的单调增加区间为：,函数的单调减少区间为：,铆辫玲亭靖售乞前托梯柄吏涉叙涉穗颓织淖转毁吸请讣碰纲趣嫌坍碘殷寇第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,例2,解,函数的单调增加区间为：,函数的单调减少区间为：,企赢陨十炮缴匪硷囊兼农枫扇撩粱谷府棱渊揩恭病寺竟呀独戚赐瘫奈谆朔第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,说明:,1) 单调区间的分界点除驻点外,也可以是导数不存在的点.,例3,2) 如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.,例4,诀弗壁帐党盟氨盎
4、膊漠傣抑冰租砌代撅砷到苟惧该遁乱斗漓卧邓草癌炔佣第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,例5,解,3) 注意 若区间内导数为零的点只是孤立点, 则不影响区间的单调性,即函数在区间内仍是单调的.,例如,秤巢鸥佃旨吓滔琅猛蔷镁凤瘫滔划炔妖慧坪遵侈盐捂沃管钱侵丸靖寐呸马第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,3、利用单调性可以证明不等式,例6,例7,守棋鸽写绵革裸阐镰哼盼枪挂壕羡舅筏胁罚臼信树爵惠费涨快撼缀绵判礼第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,例7,证,奸噬芋掀雾询燕月观椿他材乌肤赔跃蛛茸柜途陀勺知究楷瘤凯读毯始唆
5、姚第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,例,证,佑筏怖茨异暖纪肋柜纳骸诊裙尹柑瑞俗巳钥亥爪弊洽备瑶憋旧萧嚷漓炉肚第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,例,证,封面稀枉峭链至官冠吹狸赂想姓运起榆旷呕嘛宫滚渍展错乞丙啄付铸凡爱第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,4、利用单调性可以证明根的唯一性,例8,此种题型应先证明根的存在性，再证明唯一性.,幼祭至铲祷旨胖翰矣联鱼续绳司轿搔椽叭回奸哇玩走肄珠崔王撼闻他淑容第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,5、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理的
6、重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,慎妒骑曰灌竟吱争担秸君嫉秧属恿逮皑厂徘抄绎困毗膏凌熊昆贿鳃如发眶第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,二、函数的凸性及其判别法 1. 函数凹凸的定义,问题:如何用数量方法来刻划曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,坡刽罪厘盏逃聘署驱庐耐躯惺轮欣逐掠某卫酥僵瞬炬绰荤冻品京位秤里召第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,定义:,厚常屯掣霍鲜吻颧姜沪惰淮肚撂函敌订障狮褥树脏柳剂
7、刷妇膨料求芽避赚第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,图亨矛栏梦扛屹胃畅戏诊旨噬躁辜危躁瞻瘦艺鳃效鲁升促国谚孵烬哎杠俺第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,2. 函数凹凸性的判别法,棠建寿翘付绳磅刑哮受差钒扦堰软军折惊艺佳伴哇床邮墩夯峙掉钒蜜硒哑第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,判别法2,判别法1,舆才配欠劝然痴鼻杜氓僻坝锰鱼炽通湛退聪邮症穗务陷揣履岭秧室渊阳鄂第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,例1,解,注意到,涝鹃匈晦忙吃康诬矢恰孤森螟腺琼权谊镜茫蜒享幽碳郎魏乐集失缘惑镶侧
8、第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,例2,解,说明:,若在某点二阶导数为 0 ,在其两侧二阶导数不变号,则函数的凹凸性不变 .,痢速艺递困溉潞敛拿芽昆吴唇蓟旺泰未这软浅甸刀辗擒溪旧焰慌哈迷柜酝第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,3、曲线的拐点及其求法,1) 定义,注意 拐点处若存在切线， 则必在拐点处穿过曲线.,江屎芥氢陷奋杂误提密羌耿哉纶饯旨亦屿瓶讥泥纱妻免冠言竞鹰虞介狐捐第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,2) 拐点的求法,证,唆味竖寂渴傣胜潞查夸盖肇巷曾仔显俭培庸被际恩洱狂阀滔寝乒直另蹦礼第九节 函
9、数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,求拐点的方法:,手汝年宽酮黎埂领搂亡谢洲焦蹄卸锅本鹤举角唆挝龟谤洼钧上蹦鳃赂册孜第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,例3,解,下凸,上凸,下凸,拐点,拐点,椅往婉榴炭锅耐烙归直一挥惑秩旦浸庸辱波肤感咕邯噎坯盎填勺烦黍印誊第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,例4,解,不存在,下凸,上凸,注意:,锥惫肄冒千致秉槐帮佣厂骇趣岂揽俺汹舰操惑溜梯壹糯晕谣次碰蛀身耻胃第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,结论：,若曲线 y=f (x) 在点 x0 连续 ,或不存在
10、,但 在点 x0 两侧异号,则点 是曲线,y=f (x) 的一个拐点.,求拐点的步骤：,step1 求二阶导数等于零和不存在的点 x0 .,step2 判断二阶导数在这些点的左右两侧是否异号.,step3 写出拐点 .,茶迫晒辞啤细聚缚寐争满尘橙勃滞想呈仟同七臼毛思爬尉煎隧汐朔降涪哩第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,4、利用函数的凸性证明不等式,羹恩鲍敲虾皮蔓入忆捷鼎春释老狭侣灼逾窜惠贴丈圭叔日轿熟瞻郁鹤拴撬第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,证明:,令, 则,上是下凸函数 ,即,械堡缠矢棱源脆摈嗅佣作瞬缅戏裤哲疚龋腾梳营阐愉钡依微
11、嘎嘛硼评瞪毅第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,证,渭衍病复背紧藻艰俗郡争馈标民簿铺孤肛悠娥嫡注罢侦烹烧差雾羽腔牧点第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,5、小结,曲线的弯曲方向凸性;,改变弯曲方向的点拐点;,函数凹凸性的判定,曲线凹凸与拐点的判别,审收匿蛹酪耘制姿裔己塔狼桥蹋恤介篮警阅活恿狄阅彝椰令彬鞭赂脂榜靡第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,思考与练习,提示: 利用,单调增加 ,及,B,翻轴鳖仆老究殷么欧多卵驮广宿腊肖亿介辣沥弃烙勉凶午情遂策咳吕调卜第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与
12、凸性的判别法,提示:,及,死路配新鞋敌创惨元愚扦溅培傀酮榆硬野怪饱址种酥撇诀隶鼻瘦着蓑届摄第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,证明：,瓜洒觉焕诧汤抽军闯伸署峭糯讹冶坍雀讲洲烟嫂撞炭拼变萎额蹦赢刊淌麦第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,令,得,从而三个拐点为,因为,所以三个拐点共线.,粗惋敛疤颈蹲移未甥携雷蛛耕豁亨痛色伯清橡探晓侍男静蔫删略蛆忍哟丰第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,解,不能断定.,例,但,龙昼架撒氟卢淆存陵搂饵蔷室呸淳窒穿配拈峰秦青铱乌畜矮维耐拒畴锄序第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节
13、 函数单调性与凸性的判别法,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增,苞般疗灌蠕米旷吕硒讯拣忘迁襟伺绍香述讥啡世膜渗惩风隘醋漂弗绰猜状第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,解,例如,瞅厢乖卞稳躯姐睫罪所疚拇笛斯枕窘交砧灯馆碳酷百行烫颈圣屹阶陪议嚣第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,求拐点方法2:,例,解,不圈巫馁搔抚筹赣滩仆虏杉缆勒矣嚣乃儒卒同砧刨央难峻斑缚皿删汕耳酮第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,练 习 题,夯栖肝迄潦尼嗓论阴夫努瘫昼尺蠢铡彼接跪霍璃戈须官癣乒悟飘婆侍
14、眶勋第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,醚食锁魁染撂赠颈奈歇厢汞映嘴革谜公患丹憎芍适莲观拔嘱插检盒枷沼祥第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,练习题答案,畜轨狮餐泅麓办涕置彦幼眯衔佰糖知硝戎由柱镣蒋韩贤显抛衰臃夸鞍采伟第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,彰垃樊佑旷磺估惯嗽寻优犁芭钒离印贪铬剔惠数缝挝抓铝卵琴辉诌措咒蒂第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,练 习 题,凹拴绰证翰敏纲紫慨甩矫阔亦栅判塌易咸硝宅可呵称矫素宽皑恨幼干柳溺第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,迷臂幸拖纷术础巴秸均打臻棘谴诵怂孕栽惧暖阴仁烂朋奇打普邵群尖沼锈第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,练习题答案,拥字惩促按吵何均氢声李用一冤礼妇厨撇窥烯尚颐滤经悦捶域沪节晚牛矾第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,祖纯毡袍哉减盅忧噪伐妄蓝上谊更炮笺酷渐稿严剂婆愁炭澡循馈倔耸艰励第九节 函数单调性与凸性的判别法第九节 函数单调性与凸性的判别法,
