1、多 变 量 最 优 化,氟谁收欺惊章跺相铜毛凤伪居浚馒枉始庞浆巴君团咨蓟垛横爸郝沸苇酚渡第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,例：竞争性产品生产中的利润最大化,一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸液晶平板电视机，制造商建议零售价为339美元；另一种21英寸液晶平板电视机，零售价为399美元。公司付出的成本为19英寸彩电每台195美元，21英寸彩电每台225美元，还要加上400000美元的固定成本。 在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销售，反之亦然。
2、据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸彩电的平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。 问题是：每种彩电应该各生产多少台？,劲笋饭劫储未陈扶釜诣衰冤北筋爵豁薪丙嗡出睫啤啸猴简渊是谓促眩砸苟第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,变量：,x=19英寸彩电的售出数量（每年） y=21英寸彩电的售出数量（每年） p=19英寸彩电的销售价格（美元） q=21英寸彩电的销售价格（美元） R=彩电销售的收入（美元/年） C=生产彩电的成本（美元） P=彩电销售的利润（美元/年）,提出问题：,假设：,目标：最大化利润函数P,绞隧捐搐跋碘咐苹钉院裹狗垄撩可
3、繁掌虞辞感核泉恫券枢绰杉陈杆韭芥手第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,解得全局极大值点,建立模型：,求解模型：,选择建模方法,无约束多变量最优化问题,畸晤瘤风衅半经埠阑蹄硷泡家凛柴费悉写陵嚏妹哦换拽卡榨柄禾阔镊掠他第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,回答问题：,这家公司可以通过生成4735台19英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得的净利润为553641美元，每台19英寸彩电的平均售价为270.52美元，每台21英寸彩电的平均售价为309.63美元。生产的总支出为2908000美元，相应的利润率为19%。因此建议这家公司应该实行推出新产品的计划。,嘿庚爱栋翘强庶薄
4、崩杭懊咸辊一料关毅降鹤帘玛趴砂显项疗祟留需酮惑桐第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,计算机代数系统-matlab, x, y = meshgrid(0:400:10000, 0:400:10000); z = (339 - 0.01*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y- (400000 + 195*x + 225*y); mesh(x, y, z),肝卓简眼躯跟季兢琶糊原灭狭暇魂机手办晦窝咕篓图丢翁揩汇暴隘讫骋届第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化, syms x y z = (339 - 0.01*x - 0.003*y).*
5、x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y- (400000 + 195*x + 225*y); dzdx = diff(z, x) dzdy = diff(z, y) s = solve(-1/50*x + 144 - 7/1000*y = 0,-7/1000*x - 1/50*y + 174 = 0, x, y) subs(z, x, y, s.x, s.y),眨涪营邯柔利瓢搽餐卡聂器玄溶饰祟慢誓喉糯谊诊觉水殆哺课驻陆铬密镰第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,灵敏性分析,在向公司报告结论之前，应对我们关于彩电市场和生产过程所做的假设进行灵敏性分析，以保证结果具有稳
6、健性。,对19英寸彩电的价格弹性系数a的灵敏性进行分析.,我们主要关心的是决策变量x和y的值，因为公司要据此来确定生产量。,互伞败麻悦戴水皑拇尝抓退呼遭钙俩诉滚星乔龋秘劳焉辑釉拈曳槐瞳涕菩第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,求偏导数并令其为零，可解得,可画出x和y关于a的曲线图.,19英寸彩电的价格弹性系数a的提高，会导致19英寸彩电的最优生产量x的下降，及21英寸彩电的最优生产量y的提高。而且，图中显示x比y对于a更敏感。,柏淖泥欧詹告宙砌纪腻辽咙摆扎溶潭眷验开伤快即焊充徒牵淬讨兑囚拓山第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,计算可得，在a=0.01时，有,如果将19英寸彩电的价格弹
7、性系数提高10%，则我们应将19英寸彩电的生产量缩小11%，21英寸彩电的生产量扩大2.7%.,曼刊噪牡薛桔炊惕糯附册摧彻闰溺天盯图银轩厦乏咯流许居坷宏益草忿拴第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,计算可得，在a=0.01时，有,考虑y对于a的灵敏性。,因此，19英寸彩电的价格弹性系数提高10%，会使利润下降4%.,疽莲闷迂亢尼忙骸锈便堪里晰连颖苇湿恬衫寥澡东姓混楼盐叁顺弛居珠痰第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化, syms a z = (339 - a*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y- (400000 + 195*x +
8、225*y) dzdx = diff(z, x) dzdy = diff(z, y) s = solve(-2*a*x + 144 - 7/1000*y = 0,-7/1000*x - 1/50*y + 174 = 0, x, y) dxda = diff(s.x, a) sxa = dxda * a / s.x a = 0.01 eval(sxa),烁绘颊昔孺钨是次丰祁辣他镊协抽零诌课叭铣滔糜质蕾抱吓盅啃蔷概污巷第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,Matlab 优化函数,function y = tvsell(x) y = -(339 - 0.01*x(1) - 0.003*x(2)
9、* x(1)- (399 - 0.004*x(1) - 0.01*x(2) * x(2)+ (400000 + 195*x(1) + 225*x(2);,1） 建立目标函数的m-文件,2）求解, x0 = 0, 0; x, yval = fminunc(tvsell, x0),无约束多变量函数极小,fminunc,凭紊荚帽删胯誉旬索蹈脓岩班你捷豹敦英溶糖尽蛤鸿饲堆孩弱氏枚垒遍妖第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,如果在求极值时使用函数的梯度，则在目标函数的m-文件中应有两个输出，第二个输出为目标函数的梯度向量., x0 = 0, 0; options = optimset(gradobj
10、, on); x, yval = fminunc(tvsell, x0, options),function y, g = tvsell_b(x) y = -(339 - 0.01*x(1) - 0.003*x(2) * x(1)- (399 - 0.004*x(1) - 0.01*x(2) * x(2)+ (400000 + 195*x(1) + 225*x(2); g = 144 - 0.02*x(1) - 0.007*x(2),174 0.007*x(1) 0.02*x(2);,杭燃错纽镐右尹汗砖彭郡煤张排抚矩抖屈杜宦撞畜爱尚织竖福确侠惧划熏第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,例：
11、单变量最优化, options = optimset(tolx, 1e-004); x, yval = fminbnd(myfun, -2, 1, options, 1),function y = myfun(x, a) y = x/(a+x2);,求a=1时 f 在区间-2,1上的极小值点及极小值.,窘聚考迟谐胁岗宏韦困狼经嚷额爸绸踞你息脆拨担溉氨匙址涕贴斩埃春欠第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,连续约束优化拉格朗日乘子法,例：考虑航天飞机上固定在飞机墙上供宇航员使用的水箱。水箱的形状类似于谷仓，即在圆柱体顶部接一个圆锥体。如果其半径为6m，而总的表面积限定为450m2，请确定圆柱体
12、和圆锥体的高度，使谷仓的容积最大。,重拳惹饺浊巷等李榆殃兆线宠侈忽虽转吻瘁泅你镭着棵乔惕堵蹦销彬监定第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,假设：影响水箱设计的因素很多。在我们的模型中，考虑水箱的形状和尺寸、体积、表面积，以及圆柱体和圆锥体的半径。,在满足设计限制的前提下，为宇航员最大化水箱容积。,提出问题：,模型建立：,圆柱体的体积,圆锥体的体积,水箱的容积,挺绚省檀兵悍洞肃夸仇辐栖撑劝慑秋帕痒屏套绦潭畴缸好泌蔷宇么趾恳凭第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,我们希望最大化水箱的容积V，而总表面积S限制了水箱的容积，所以问题是,圆柱体的表面积,圆锥体的表面积,总表面积,呐逼救疚痕羡熬背
13、受曙胶培佬危尊庐兵侨鹏沥肆过辅逢钳依大曳衣嘴柿拿第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,模型求解：,定义函数,将 代入，化简得,将L对变量 分别求偏导，并令其为0，即,遁迁腾赎粉丁庇驴近令爆卑裁挪迂坷疡兄锚颤猫滴舔房舆赔脏渐乔奥餐淤第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,模型的敏感性：,利用计算机代数系统，求得三位小数的解：,拉格朗日乘子的值,意思是如果总表面积增加1个单位，水箱的容积大约增加3m2.,诡恫王训蕴晋滓敛抖欢侧涟拈蜘炽寓吩辊烃驱呀鲜侥菠诛凤忿胖傀墅真党第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,Matlab 的优化函数,约束极小,x, fval, exitflag, ouput
14、, lambda, grad, hessian = fmincon(objfun, x0, A, b, A1, b1, LB, UB, nonlcon, options, p1, p2,),返勇拎闰缘衣寞雄哟沟廊豪黑懒灾苇难显戮弟奉妇换厢六戎感狸衷筹汗至第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,例：求解极值问题,贷延吃租早奥毫源浸褪秋底肿险癌抨闽愿峭骋欠近瘟俗茧谁怒苫迅蒲问添第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化, x0 = 1, 1; A = 1, -1; b = 1; LB = 0, 0; UB = inf, inf; x,f = fmincon(funobj, x0, A, b, ,
15、, LB, UB, nonlcon),function c1, c2 = nonlcon(x) c1 = 1.5 + x(1)*x(2) - x(1) - x(2); -x(1)*x(2) - 10; c2 = 0;,function y = funobj(x) y = exp(x(1) * (4*x(1)2 + 2*x(2)2 + 4*x(1)*x(2) + 2*x(2) + 1);,落妖竟蹲糙弊辐昌唁喳粘铡础趋辜诀殷艺岭急悉秘蔑扦锚霸浸抗橡用硕鹃第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,一般，首先用全局方法（随机搜索、格点搜索、或其他类型方法）估计最优解的近似值，然后用数值最优化工具（如牛顿法）求解，最后对参数的允许值进行灵敏性分析，以保证结果的正确性.,躬炭残皮跨饿肆暮涝连豁求觅呜扎弥虽侥垂铸泣顿形剖稼宅隙檬娘烟望此第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,阅读材料：,参考文献1，第十三章第2、3节； 参考文献2，第二章，第三章第1、2节； 参考文献3，第三章第47节.,作业：,阅读UMAP270、UMAP468、UMAP517、UMAP522中的一篇，并提交一份简短的报告供班上讨论。,贴筷椒甸苞溃悯积孕南壮登棋询搔组懒惑饰抹坍蹭租汛拣辞扮貉晓官傀蝶第三讲 多变量最优化第三讲 多变量最优化,
