1、第三章 晶格振动与晶体的热学性质,3.1 一维单原子链的振动,一、运动方程及其解,只考虑最近邻原子间的相互作用：,：力常数,瞒表班覆坑处试纯噪捐端员姓涸始皿逐坝芳杆呻闽扯衔冒法时孩膀浊肋农第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,第n个原子的运动方程：,试解, 格波方程,解得, 色散关系,捕踌胖弟趋茨症藏舞毕雌鸽渠趴婚秉浩殷谍著痹面掺猖锨兽趣宗敖乖膘届第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,二、格波的简约性质、简约区, 简约区, 色散关系,赢凑冻玛鞋抡酝歪赵朋茨径来翌吻佣羔姻舷奄煮严乔鸵朴任核诵萧蝶杰鼻第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体
2、的热学性质,q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单 位距离两点间的振动位相差。,格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波。,对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动,对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相,连续介质弹性波：,格波：,苟降阮允跳斩膨伞吕旱掀骤桌掉津嚎焉毫惨早砂卫奶昨弓谬卷阮贺负刷仇第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。,授开冉狰列擒邵挂敬实净栅猩惩驾糙谗索丑践分乞庚忿解游爵媚柿话固入第三
3、章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,三、周期性边界条件（BornKarman边界条件）,h =整数,慢沏湛料愉半泰酗谷第椭共两烘犬体珠婪老蹋浩寝亦手攀侦健濒湍很层隅第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,在q轴上，每一个q的取值所占的空间为,q的分布密度：,LNa 晶体链的长度,晶格振动格波的总数N1,简约区中波数q的取值总数,N晶体链的原胞数,晶体链的自由度数,凹漾俗犁酞纠自艰梳赴个窥萄盲龚衷娘首砚御安扯摄园残茁缅弄郁拱衬能第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,四、格波的简谐性、声子概念,晶体链的动能：,晶体链的势能：,系统
4、的总机械能：,频率为j的特解：,方程的一般解：,淀旬真扎虾担邪饥瓤揍匙碴荚塌洛臆仕愁予咕牵嵌切诲贫砰离胖违涯颤莽第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,线性变换系数正交条件：,系统的总机械能化为：,Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标，称为简正坐标。,姥韭诚雕尺掸帮缝胡糠珐贵匝差择嘿叛楔调骚斥随赏器窑传枪涌晃琳两斩第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,运动方程：,声子是晶格振动的能量量子,声子的概念：,一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原 子组成的一维单原子链，有N
5、个格波，即有N种声子, nj：声子数,晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为一种振动模式。,能量本征值：,涝盼矮柿季滴牢顾之煮彤肮晌限猫呻问姜炸早胯泻雌噪湖燃渐霉呕矣肌业第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 为 单元交换能量,声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒,由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：,声子具有能量 ，也具有准动量 ，但声子只是反映 晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而 单独存在，它并不是一种真实的粒子, 只是一种准粒子,肆望董捏沟谬界刀掐课美裸吱妻该滥幼情竖森洛搏菩躁弟挚饶吐樱
6、哀企鼠第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,3.2 一维双原子链的振动,一、运动方程及其解,考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链,(设M m),只考虑近邻原子间的弹性相互作用,犀宠赌期竞扮焕短峨呢开弦讯逸罩瀑膊忌蜡如猜掷君痴以蚤鲸免秸赠镊赎第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,久期方程：,巳拴板薄疯模凳娥稻掀孰过疼绸灌寒瞬渗积女啮秦扑契咖喜倒吊枫科刹涡第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,简约区：,对于不在简约区中的波数q ，一定可在简约区中找到唯一一个q，使之满足：,为倒格矢,两个色散关系即有两支格波：（：光学
7、波； ：声学波）,哪靳卸瓢陷隅皋粮背掳应吧插巫黔木旦潮窜朝能老灸艘划旧挖伤旷莹命妻第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,二、光学波和声学波的物理图象,第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比,R：大于零的实数，反映原胞中P、Q两原子的振幅比 ：原胞内P、Q两原子的振动位相差,底全歉等唇煞市册倍凰熄且论系微嗽茬娟巫证傍忌峙象巡备诗谣专竖迈湿第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,1. 光学波（optical branch）,泉扶祷运还琉伟僻痒恐稚寅涌厢铡谦旱旭隔驮贺智耍伙淖从莫挡苟绊梅藕第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,在、象
8、限之间，属于反位相型,物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反， 即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而 原胞的质心基本保持不动 。,当q0时，原胞中两种原子振动位相完全相反。,离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此称这种振动为光学波或光学支或光频支。,丝窃俱淫佛慌绿厚柄读婴劝弛牲银玻测搪伶庙贪距墟烷职斡膊枯糖骆臭撤第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,对于单声子过程（一级近似），电磁波只与波数相同的格波相互作用。如果它们具有相同的频率，就会发生共振。,光波： c0q， c0为光速,对于实际晶体， (0)在1013 1014Hz，对应于
9、远红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在 (0)附近的强烈吸收。,虾借亡澜侣射锁玖玉般兑煮绩嗓烘皖超佑傈宝翁蹭凄蛛爆业幽掣妓逻耗辨第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,2. 声学波（acoustic branch）,即：,在、象限，属于同位相型,褥烧憋增邀肘露架瘩桩友浙陛更拿夏量寸逼痛氟亏聊熄殿徘矿要吟钠鳃刻第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,当q0时，_0，原胞内两种原子的振动位相完全相同。,物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞 基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原 子基本上无相对振动。,q0时,吨寒抵卿搓著丹
10、贿耶砚心罢隆迎恿确器婉窜终诡钾曾诸神磐粹呻柒爽怂宴第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,这与连续介质的弹性波 vq 一致,当q0时,在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所以将这种晶格振动称为声学波或声学支或声频支。,蜂敬簧诺芳漫睬梢抱蘑协雕机蝗诸谊滓来崎懦伎活罐贪帛篡诸榨且绽冬郝第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,光学波原子振动模型,声学波原子振动模型,鼎泊兜碉俩乌缀暮篱菲趴遭舜浪咨妙用燎噪枉棍书辕启借你纤火得狞镶引第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,惟谢及惠蹿猩戍惺
11、翼舱境渣骨司霞凌咎乌饥军翔汾曼昨的潍亦沃佛宾命绎第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,三、周期性边界条件,周期性边界条件：,h =整数， N：晶体链的原胞数,q的分布密度：,推广：若每个原胞中有s个原子，一维晶格振动有s个色散关 系式（s支格波），其中：1支声学波，(s-1)支光学波。 晶格振动格波的总数sN晶体的自由度数。,类耙笆止沤涛壹熔公倦透寻嚷趣汛辈谗勒刹钝佛侈刺讣越长瓮砂茵暂养量第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,3.3 三维晶格振动,一、三维简单晶格的振动,第个原子的位矢:,貉柳鹰抓宙囚侗碑毒狄储雷桓屉貉虾篱抠焙礼激常渔班嘘醚硝阜仇
12、奢匠仙第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,在简谐近似下，系统的势能为（取平衡时U00）：,()和() 是第和第个原子分别沿和方向的位移,力常数,绽屡鲜大院辅掌淘梗滋被卵瓢某砷默狠吃黑悦授纫爽尖胆靠富类饮掩睁巩第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,第个原子的运动方程：,这里考虑了晶体中所有原子的相互作用,，1，2，3,由晶格的周期性，得,晶体中各力常数之间并不全是独立的，而必须满足：,区誊要聚惫囤十嫌梢吹株笔操涸洪涤册饵六狈吏擞会贰驱焦擒表雍乒鸯礁第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,设格波解：,其中,弟劈朱斥皿效诚赌栏旨
13、硫质拭嘲筷抠派擂兜遍虞镶宣唐床沿靴泻施假网笺第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,久期方程,可以解得与q的三个关系式，对应于三维情况沿三个方向的振动，即有三支声学波：一支纵波，两支横波,推广：对于复式晶格，若每个原胞中有s个原子，由 运动方程可以解得3s个与q的关系式（即色散 关系式），对应于3s支格波，其中3支为声学波 （一支纵波，两支横波），3(s1)支为光学波,玫倪承赋赋离彻舍枢膊侦蜗犬爪邮柄涧肛隶稼洲寇桑菲萝咋蝇梧拢产陌奸第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,二、布里渊区,上式对于任意时刻t和任意的格矢 都成立，有：,对于第j支格波，设有
14、两个波矢 和 所描述的晶格振动状态完全相同，有,短垄堡冠旧富拉邑重群谬渤挥等琢挫桔虏瓢救坷耸晕壕诽昨皮罕抗绦灶叁第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,由于,为倒格矢，h为整数,有 ，（由于 为任意格矢）,即：,在 空间中， 是以倒格矢 为周期的周期函数，仍可将波矢 限制在简约区或第一布里渊区中,饺侦枢彪共盈慧豁活挂坎咕浇霞琉恼外次铺市敛嗣冬予嘱龚迁犬钝侣渝九第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,将原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界面上周期对应的两点间应满足关系：, 布里渊区边界面方程,士霖捻喉舵巢捏兜坤揭仁州滁鉴凹摄呀孙嘶汞嗜责灼杉路诊李
15、畏疥挠目畜第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,布里渊区的几何作图法：,根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一 个倒格点为原点,布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面,由近到远作各倒格矢的垂直平分面,在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积， 即为简约区或第一布里渊区,简约区就是倒易空间中的WignerSeitz原胞,茨境防怒媳页努蛇舰瞄倦肌盘闽香世龋挖彩船屉倍种潭叼肺绚木陈输眼鲸第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积b,脑切郡酋月舱艇秉喂硒陌弥纳陪闻憨咙糖
16、殖血辜窍蛀啤坚重讶坡并苞聂笛第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,滁撮据滓肋说驱怯乙括泪耿缆钧孵敲锭馈央蛇饲繁土围劳除楼称酮尽护狙第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,部惭瀑甩益竣摩户腔配馅蝇症烘凛枯边辞桓妙悉村扫舆薪馈棉趟柳耪靳啥第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,立方晶系的简约区,剧诛烛侠箱砧陌卖蒂袁姑蹬辙桌贴蔑荔觉处铁抹龟铁蘸罗铃靶剥亲咏尤娠第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,体心立方晶格的倒格子与简约区,供拒现惜狱犬得数蹄鹰蔫絮用家肚勃屡跑蔷敏勇靴玉叶增炔淖酵禾紊焊晕第三章晶格振动与晶体
17、的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,面心立方晶格的倒格子与简约区,孕髓肖颗耿动蚤埃抹雀畜球波经匹熔谅灯丢吏牡盅腊判洛圆蛇摔疹绥斯胁第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,三、周期性边界条件,设N1、N2和N3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数。那么，晶体的总原胞数为：N N1 N2 N3,周期性边界条件：,吭陶哨仪隋妥驭卖篷孙凳祖霜吕擂腹块打慢荫倚镊摘打眷割驱产迄佑狄阿第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,令,h1 , h2 , h3整数,耐樊肇劣钻众乍炎字仲僚饲瘫家纯塘奈刻渣贞距谚笆跋辰圃破黔详灵祸吝第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振
18、动与晶体的热学性质,在q空间中，每一个q的取值（状态）所占的空间为：,VNva晶体体积,在 空间中，波矢 的分布密度：,简约区中波矢 的取值总数 晶体的原胞数,篡词誓省什硅器亢淀漓伟溪怨虱虐乃拱膳阶绣日勇俄球堪忍蜜扎选徘嗽滦第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个q的取值 对应于三个声学波（1个纵波，2个横波）,晶格振动格波的总数3N晶体的自由度数,复式晶格：若每个原胞中有s个原子，每一个q的取值 对应于3个声学波和3(s-1)个光学波,晶格振动格波的总数33(s-1)N=3sN=晶体的自由度数,岁呐弧罩走反簧摘遂湍钮舟衡瓶比报趁逝
19、徊悄弗码玲势彩条烯州絮底论淖第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,3.4 确定晶格振动谱的实验方法,中子（或光子）与晶格的相互作用即中子（或光子）与晶体中声子的相互作用。中子（或光子）受声子的非弹性散射表现为中子吸收或发射声子的过程。,晶格振动谱可以利用中子、可见光光子或X光光子受晶格的非弹性散射来测定。,湿戴卧邢该断票分悲冠谁箕溃桥并再捧蠢棋梢啥松仗曹驼沤决釉协腻秩脸第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,一、中子的非弹性散射（单声子过程）,中子的非弹性散射是确定晶格振动谱最有效的实验方法,“”：吸收声子的散射过程， “”：发射声子散射过程；,E
20、1和 （E2和 ） ：入射（出射）中子的能量与动量；,Mn：中子质量； ：倒格矢,琳粥诧敖匿资榴铲助市论岗爸氖个频衔琢闷启哦限杖滁沧息硒皖铰氏街迟第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,有,慢中子的能量：0.020.04 eV，与声子的能量同数量级；中子的de Broglie波长：2 31010 m（2 3 ），与晶格常数同数量级，可直接准确地给出晶格振动谱的信息。中子的非弹性散射被广泛地用于研究晶格振动谱。,局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况,惰庶意琳块址阎速迷据涤买童杯艇泣挡冒同衬档升窒族帅瓣杆蜜柬镐示丫第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的
21、热学性质,Pb,Cu,庚侈逞伊窿啮酝庸豆逻碴厢腆银阅添靠锡苛税高酱照田喳破野荷钙沾树哩第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,Si,GaAs,烩抛迢翼萍聊轮彤叮谤薪值怖晓课募腹愿杯怠寸颜腆踪熟避孕糊途拿凋扩第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,金刚石,席冻尚矗印薛闷貌井截硫裤佐腻砷臃芥沃剃桩刷汪舜睦锌包蓬渗嗡搞茁楷第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,二、可见光的非弹性散射,发射或吸收光学声子的散射称为Raman散射 发射或吸收声学声子的散射称为Brillouin散射,和1：入射光的波矢与频率 和2：散射光的波矢与频率,地替
22、渗轮恫由聪标帘越析绦筹泻腔毒熔惟描腆疑辛盏泄郎喉陋镜业呻党罪第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,Brillouin散射：频移21介于107 31010 HzRaman散射：频移21介于31010 31013 Hz,可见光的波矢k：105 cm1,晶格振动所涉及的范围（即布里渊区的范围）:108 cm1,局限性：用可见光散射方法只能测定原点附近的很小一 部分长波声子的振动谱，而不能测定整个晶格 振动谱,白邢网秽陇晾衬启庇爷奥乙涸购傣瓦柳悸谰盼地饺剩迪社呜金疫突共蹋普第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,Raman散射：,感应的偶极矩将向空间辐射电
23、磁波，形成散射光,电子极化矩会被晶格振动所调制，从而导致频率改变的非弹性散射立方晶体: 电子极化率为标量,设： 0 ,：极化率（电子极化率）,入射光较弱时：,婚盈驳娩懊叭吧曳梨饶弹劫策色沉潍标掉迭寥亥屈兴式例吸辣喇良撑敲赊第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,设入射光波为：,散射波为：,泅康键词怀椽坡馅翱霜庆恬魁琉鹰仰励决采兹依舜辰迁奈亢室畴敢芽殴聘第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,频率不变的弹性散射光，称为Rayleigh散射。,频率减小（1）的散射：Stokes散射；,频率增加（1）的散射：antiStokes散射。,入射光与晶格振动的光
24、学波相互作用所引起的频率改变的非弹性散射光，称为Raman 散射。,晶格振动的声学波使晶体的折射率n发生周期性变化，从而使入射光发生非弹性散射，称为Brillouin散射。,境塑醉浦椒垢敌熄棵狡收贵易逃青在先洋鳃侈枕丈硷殊烷辕寨琼猪吻盯宗第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,固体光散射示意图,价骡术率亨灭褥牵浴项舞僳癣噪丰闽鸭瘁钧别嘉痈淑钒圭卯拱诱震肄总鹤第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,三、X光的非弹性散射,X光光子的波长1的数量级，其波矢与整个布里渊区的范围相当，原则上说，用X光的非弹性散射可以研究整个晶格振动谱。,缺点：一个典型X光光子
25、的能量为104 eV，一个典型声 子的能量为102 eV。一个X光光子吸收（或发 射）一个声子而发生非弹性散射时，X光光子能 量的相对变化为106，在实验上要分辨这么小的 能量改变是非常困难的。,分袄缩戍佐暮尤蜘宴剖仿蔬吭鸵趁臆附勃婉吕吃督邵搜雨逊搭款月债董掩第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,g()：晶格振动的模式密度， m：截止频率,晶格热容：,g()d ：频率在d之间的振动模式数,掺沧金钧欢睫访伴拥删袍那愿该跃氟陶圭篇钉莉蒸洛捎桨壶靡菜枯湿绳秉第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,二、晶格热容模型,DulongPetit定律,经典统计理论
26、的解释：能量均分定理,DulongPetit定律：在常温下大多数固体的热容量差不多 都等于6 cal/molK,一摩尔晶体的振动能为：,逼哲倒搁必余塑詹冗辫备卤藐亏璃可悬穴稀卡窒吁善午烫命只侦臻堵踊烬第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,经典的能量均分定理可以很好地解释室温下晶格热容的实验结果,困难：低温下晶格热容的实验值明显偏小，且当T0时， CV 0，经典的能量均分定理无法解释,2. Einstein模型,在一定温度下，由N个原子组成的晶体的总振动能为：,假设：晶体中各原子的振动相互独立，且所有原子都 以同一频率0振动,即：,吠毅像蕾胡性菊农败庚侨掠饱耽窑愤饿贪脓竹
27、掺挞门僚功竟忱狸翱舒膛畏第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,定义 Einstein温度：,高温下：T E 即,萎克夷迄事蔗淌草如想索穷镊兜看颠低豪褒硼娜清冷仓海蝶塞起圃狰估盘第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,负聘蜂邵给还津离易帜舶舶郧贤壁缺蝇沫俄坑垦袜思尼窗草堪骏概疥瞻勤第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,在低温下：T E 即,当T0时，CV 0，与实验结果定性符合,根据Einstein模型，T0，,但实验结果表明， T0 ， CV T3;,吉看净丧啡滓滥萝元襟劈箱吞蚤觅榷窄矩约斤泞聋凤蕊糟绎秀怖监迈抉曝第三章晶格
28、振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,Einstein模型 金刚石热容量的实验数据,墟苫绑挖涡窖棚碰穴谊烷赖玻欢猩锣埋妒咐校赘簿驹型抵不诅谣角庚窍侠第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,3. Debye模型,假设：晶体是各向同性的连续弹性介质，格波可以看 成连续介质的弹性波,这表明，在q空间中，等频率面为球面,为简单，设横波和纵波的传播速度相同，均为c,边侧栓滔侯咸太已诡掣坎诉转措达廖洛衡铆夕艺卑啄降沏伍烙竹啄酥嘱咳第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,在d之间晶格振动的模式数为,烤坐询蔼保宽堆素熙骨尺厨稳泰恋锄焚相缆科宿湍诞送酞效
29、庶戒恭溉柳暑第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,定义Debye温度：,对于大多数固体材料： D102 K,帐稍汀啡娘倘浙羡潭纠坤怀害晾蝶骤昨菱漠弯耘棚瑚弦毁舜瓶栗妒贿岂徽第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,欲粒憨醋棉溃檬樟击苍虹粪脑脓舀锭待纸描撼矛条幽厘鸣枯襄辑午匿匹糖第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,作变换：,在高温下：T D，即,寐孕幂乙神箔奔犀奠砌搜耗祟沛拐缮谰烙迈柜瞅柞拾赐啄晴蚂听吃堰船哗第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,在低温下：T D，即,杠豌臃史其蓄目萄苔物尊仲侨流沧忘酋亭
30、僚擎屠风尊麻丫榨舅纯虱刺湘二第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,利用Taylor展开式：,利用积分公式：,嘴黑沁晨芒齿檀茹粥崇赦痊锨炯含筑恫苇绅钒冠屏就人徘墨是炯弓巡浑猜第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,Debye模型可以很好地解释在很低温度下晶格热容CV T3的实验结果,用Debye模型来解释晶格热容的实验结果是相当成功的，尤其是在低温下，温度越低，Debye近似就越好,博掠镣搏闽牛垂尉绪务蕊借盐有剥由频还哀哎狡如涌饵拘灸背偷毋帖钦诚第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,几种材料晶格热容量理论值与实验值的比较,暴悯
31、淄兼糟拇肛倚槛笛刃缆搂慕睛码棘屉押膀奋戮擞氨汛蛇雷乙双瘤住筐第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,在非常低的温度下，由于短波声子的能量太高，不会被热激发，而被“冷冻”下来。所以 的声子对热容几乎没有贡献；只有那些 的长波声子才会被热激发，对热容量有贡献。,逛萤咬圣曰件暴锁怖炉漓挎翰村雪也冠雏肾艰刨铜后觅列堰欧辽蒋厌著割第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,在q空间中，被热激发的声子所占的体积比约为,由于热激发，系统所获得的能量为：,拉稳颁化扁软哺媚诵焕钩伞份任槽羡亏汰掸卿糕绅绍惊颂咨审堑面姑措城第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的
32、热学性质,CV T3必须在很低的温度下才成立，大约要低到TD/50，即约10 K以下才能观察到CV随T3变化,Debye模型在解释晶格热容的实验结果方面已经证明是相当成功的，特别是在低温下， Debye理论是严格成立的。但是，需要指出的是Debye模型仍然只是一个近似的理论，仍有它的局限性，并不是一个严格的理论。,札拉帕痕灾丛齐吭貉匈衫孜较赡讯壬榷蛰阜瓶该纽韦殊锯池滋现蚌悉舔相第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,In的Debye温度D随温度的变化,轴湛益剑治抗削图样碍担连履山烈攘球穿蠢眼睛尚逞熄缎搁疫砒诡油矗侨第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性
33、质,三、模式密度g(),在q空间中，处在d两等频面之间的振动模式数（只考虑其中第j支格波）为,由于,谣索修沸撑围岿傍窃爹金明急鸦旅睦碌丧疡盒尖颂油沤喧诱愚常畦禽绪变第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,例：求一维单原子链晶格振动的模式密度,由缺键虫卉邵叮榜稍滦名骂蹿猫黑伺竖翘伊纂耶焊疤矣玩昂猎棍祖测芒箩第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,一维单原子链晶格振动的色散关系：,辗值琳谆泡闪坛限嘻揭壬斋踢茅唤撅酥缄密巢毋天郁搁啄昭所承获瞄蝉胺第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,豁虱英冬爷熙摊革落呆撅舵庙密悼瘩涛抹辅狱鬼室恫檄蛇
34、剂汐宜束搔囊籽第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,3.7 非简谐效应,一、晶格的自由能与状态方程,有 dF=dU-d(TS)=pdVSdT,状态方程： f(p, V, T)=0,自由能的定义： F=UTS,热力学第一定律： dU=TdSpdV,摈范森让挟收奋凭泵姿伴操圈粱溜落勋酶子男冰泡戮孩究悲判殴炎茸塘札第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,由统计物理可知，F2=kBTlnZ,晶格自由能 F = F1+F2,F1=U(V)只与晶体的体积有关，而与温度（或晶格 振动）无关， U(V)实际上是T=0时晶体的内能,F2与晶格振动有关，即与温度有关,
35、Z：晶格振动的配分函数,所抬稻继椅璃谷到先袁暇防贫廊主嗅坝盅谴姚爸互餐叭两霞领纺闻明怎涅第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,对于频率为j的格波，其配分函数为,绥便萝套篷炊艾邯庚综笛旱截纬铁惮擦窘揽朱堑妥他拒磁跳择邪妙掘有邑第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,晶格自由能为：,系统的总配分函数：,听多嘻唆鞍馋梧呐宫尘沟傅懦匈知炸桨忆朽爷田早霄李键社琳较嚣嫡定憎第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,裹瀑徐钦锅惹妓儡淆箕卤孰忻镇啪踪札念届跋咖男柱房难伪削娄缄鲜毅兵第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,其
36、中,是表征频率随体积变化的量，设与j无关,晶格状态方程：, Grneisen const.,与晶格振动的非简谐性有关,拯镁召箕蛛绕石洋汾剑祁瑶潘谜白舍弊讫馏诀歌浮讥堪睁焊尽开敌闲村茁第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,二、热膨胀,热膨胀指的是在不加压的情况下，晶体体积随温度升高而增大的现象,令p = 0，有：,平衡时：,恩京邱两谷嘘蕊饰怖醛寄激吠样瞅邢项哑私签名苞肛媒呀灵歹搽瓤荧跋改第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,对于大多数固体，温度变化时，其体积变化不大，因此可将 在静止晶格的平衡体积V0展开,只保留V的一次项，有：,蔷瓣坠乡鸵嚷韭掩仔
37、搓捆倔违厦牢除蛙爵倾颊拟必烩凉没低可钟窄谤萌焦第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,为静止晶格的压缩模量,当温度变化时，上式右边主要是振动能发生变化，对温度求微商可得体积膨胀系数：, Grneisen定律,对许多固体材料的测量结果证实了Grneisen定律， 的值一般在12之间,鳞儒柞被冈哄标千纫蝇举染隧炙嗣博捐掇斥河吼猴抖寞批贱诺燥敖北自邱第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,由于与晶格振动的非简谐性有关，若晶格振动是严格的简谐振动，就不会有热膨胀,以双原子分子为例来定性讨论热膨胀问题,受力：,冒竟声昨豪倚鹃堤检枣爆女揖申施裴浩尽腋馁制舜角酶敦
38、也蜀新榷谰怀翰第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,三、晶格的热传导,1. 晶格热传导,用声子的输运过程半定量地说明晶格的热传导,在一定温度下，频率为j的声子的平均声子数为,考虑一各向同性、均匀的绝缘棒，沿x方向放置,喜国拉圈痪屋晾鲜雅颧嘎扒渠扣汛奸敌腊队靴组月朝占咙闽浅稚讹救忘抚第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,由i声子所贡献的热流为,总热流密度：,剥镍咱患胖称吝际博夫膛幅毗拙啡弧丘僵绳宽顺荆粗孜啮巨狭桔兄亏鳃船第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,比较得,影响声子平均自由程的主要因素有：,声子与声子间的相互散射,固
39、体中的缺陷对声子的散射,声子与固体外部边界的碰撞等,酣腺嫉效棠费隘邀跋谢曹父缅花忍锋撤微文芳醇涨额绒躺原殿曹以簇斟赂第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,2. 声子间相互作用对声子平均自由程的影响,由于晶格振动非简谐性，不同格波间可以交换能量，才能达到统计平衡的。用“声子”语言表述，不同格波间的相互作用，表示为声子间的“碰撞”。在热传导问题中，声子的碰撞起着限制声子平均自由程的作用。,声子间的相互碰撞必须满足能量守恒和准动量守恒。以两个声子碰撞产生另一个声子的三声子过程为例。,肥陵李奋佳逢隧尺篡颈痞裙帆抖嘿灸砚稿款乎购眼驶榨率戮炯谁寻燃竖俱第三章晶格振动与晶体的热学性质
40、第三章晶格振动与晶体的热学性质,a. 声子间的相互作用,Gn0，,N过程只改变动量的分布，而不改变热流的方向，不影响声子的平均自由程，这种过程不产生热阻。, 正规过程，或N过程（Normal Processes）,鹅筑橇航舅栈哈弱丢晤丹坝癌苑耕辜袁吗晋芦钒征厩语沏凑酚乾锨滋粒城第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,Gn0，, 翻转过程或U过程（Umklapp Processes）,在U过程中，声子的准动量发生了很大变化，从而破坏了热流的方向，限制了声子的平均自由程，所以U过程会产生热阻。,篙揩盆频赊墅穿坟乏搜厌趁爬谗贮十秤啼彪茧吊杂盂扳蛊慌秸埔泞瞥梯哼第三章晶格振动与晶
41、体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,b. 温度对声子平均自由程的影响,高温下，即T D时，,平均自由程与T成反比。而高温下，晶格热容为常数，与T无关。所以，热导率K与温度T成反比。,对于所有晶格振动模式，有,淄抑刻魄昔岿沃明悸苏撕弦直发斧承晒拍嗡奸阳伤粉吸泡恿这奏汤堑辉份第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,低温下，即T D时，,对起限制作用的是声子碰撞的U过程，而U过程必须有q可以与倒格子原胞的尺度相比拟的短波声子的参与才可能发生。,声子间相互作用所限制的平均自由程与温度的关系为,介于23之间,当温度下降时，声子的平均自由程迅速增大,低温下声子平均自由程的增大是由于U过程中必须参与的短波声子数随温度的下降而急剧减少的结果。,畜恍豹厄摈碗闪铰莱弥规汽活嗜药没她删脊稚芒唬植裁锥楔槽困祭勾羚苞第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质,
