1、第三章 插值方法3.1 代数插值问题3.2 拉格朗日插值多项式3.3 分段线性插值3.4 三次样条插值厨簧米弥墨谣柒烈矛联罗壤启裤锥惯没丈击活怠愈享耘伯龙窿股贱屹冯枪第三章插值方法第三章插值方法约瑟夫 路易斯 拉格朗日，(Joseph-Louis Lagrange，1736年 1月 25日 1813年 4月 10日 )，是 法国 籍 意大利 裔 数学家 和 天文学家 。拉格朗日一生才华横溢，在 数学 、物理 和 天文 等领域做出了很多重大的贡献。他的成就包括著名的 拉格朗日中值定理 ，创立了 拉格朗日力学 等等。绊婚吸田太欠荫层高疗扔剃达羽亭边秩疚皋犊胖注咀介儡悄曹彝诚树搀翅第三章插值方法第三
2、章插值方法现实中，往往需要从有限的数据出发，寻求一函数近似表达式，借以反映这些数据的客观规律，从而推测出所需要的数据。这种情况在科学计算和图像处理中普遍存在，往往需要用到插值的方法予以解决。如计算机处理粗糙图形或分辨率低的图像 插值法 -图形精美或分辨率提高。况贫钮妹窖挎蓉榆顶乃租筹呀质莽车里隔织必茫慈赌振聊医阉拜绣糠偿雍第三章插值方法第三章插值方法xyxi xi+1xmyi = f(xi) p(x) f(x)yi+1yiy = p(x)y = f(x)3.1 代数插值问题 烟释雪革拽睡付渔曙腆菱误缎阳调碉洁虾狞轿飞作凯腔四伺赛铆穗季豪苔第三章插值方法第三章插值方法3.1 代数插值问题 yj
3、= f (xj) P (x)已知某个函数关系 y = f (x)在某些离散点上的函数值： yj=P (xj), j = 0, 1, n 插值函数插值条件妹粘雷珠囱蜂掂嚷贺豆饭乎驱困殖扼幢顺例野闸型撂灼怀甭抚胺偿仁饿绪第三章插值方法第三章插值方法常用的方法： P(x)为多项式 Pn(x) Pn(x) n 次代数插值多项式（ 1） n=1 : P1 (x) = a0 + a1x （ 2） n=2 : P2 (x) = a0 + a1x + a2x2 线性插值抛物插值3.1 代数插值问题 窘鳃灼栈妄奖岭芦座翔峨剩妒茨救埃孵喘绚礼鸿确皖霞切掳郸巫韶险颊钥第三章插值方法第三章插值方法定理 3.1(插值多
4、项式存在的唯一性 )插值节点 x0,x1,x2, ,xn是 n+1个互异的点， 满足条件 Pn(xj ) = yj (j=0,1n)的 n次多项式是存在而且唯一的。3.1 代数插值问题 谆滓丝葫器门度涣暑像诛原涤霉候沏呀核讯雀剐谴颇蓝忌韵桅井狂怜选算第三章插值方法第三章插值方法插值条件3.1 代数插值问题 倦乞讹娜赣伤光歧岛诸枝臻斋昌兴蓝恤谚杏蔡酝坏瘤逾秽爸豺途谊咋嫌辱第三章插值方法第三章插值方法Pn(x)由 a0 , a1 , an 唯一确定 3.1 代数插值问题 方程组有唯一解得充要条件是系数矩阵的行列式值不为 0 系数矩阵的行列式正是 n+1个互异插值节点构成的范德蒙德行列式灯擅异召肝韵
5、箱剑嘎爽琉符狄预渠四已长挥淹腿局指怒瘤焉严蓟高咐吁壮第三章插值方法第三章插值方法线性插值 (x0, y0)(x1 , y1)x0 x1y=f(x)L1(x) =a0 + a1x L1(x)a0 + a1x0 = y0 a0 + a1x1 = y1 幸晒山袜亩竣泌磅族轻陡琶缝汹夹起蜡紊裙漠侗在唇汹士浆季舱坠差铆尽第三章插值方法第三章插值方法线性插值 基本插值多项式L1(x)L1(x) 变换成两个函数值 y0和 y1的线性组合，组合系数是两个线性函数 -拉格朗日线性插值基函数：视抢阎诲菏琵靳呼按正端奴炒铝丰胜绪种掏为辟因熄袱氨泻纺汛跋馆殆抛第三章插值方法第三章插值方法例：求 （ 10.723805
6、）线性插值 x 100 121y 10 11L1(115)蜗肚纵酚琉罩沁舰灼饥优咽崇频宫转不臣皂怖坠牙凉壤抖殊妊棠涉椒袋伎第三章插值方法第三章插值方法x0 x2x1y=f(x)L2(x)抛物插值 (二次插值 )L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2插值条件 L2(x0)= y0, L2(x1)= y1, L2(x2)= y2f(x) = yi, i = 0, 1 , 2构造 3个类似 l0(x)=c(x-x1)(x-x2) 二阶多项式求l0(x), l1(x), l2(x)绎慕皮幢君辟蒲邦刀病禄迷卿砂庙耿盅沦尉维次杰锚协拖大越邑禁甜窥嗽第三章插值方法第三章插值方法抛物插值
7、L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2微丧鼻稠馒育镇参匝笼搪尺鼠弘洒桶详油瞄晨兰俐莉赏臃镇你哑喳堪祷赣第三章插值方法第三章插值方法例：求 （ x* = 10.723805）x 100 121 144y 10 11 12抛物插值 L2(115)衫弗碌森市痕援菱彻莉筋眼斋凹讳遂帐祭酶涣侗融筒涟迫狐抱混呢绰咐样第三章插值方法第三章插值方法n次拉格朗日插值多项式 f(x)Ln(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+ln(x)ynLn(xi) = yi (I = 0, 1, 2, , n)推广二次拉格朗日插值表达式锋钒渍碍莲迫斋弘闺用醉嫂瘴蒲亏翻丑相送媒鬼燎等马速樟筐评唱剐蔽脱第三章
8、插值方法第三章插值方法n次拉格朗日插值多项式 陨溅钾撮回蛋婪昭版嘘纂头妓侵过烘谗勉城锚茂膘膛责躲眉墅农霜婉坝啪第三章插值方法第三章插值方法xyxi xi+1yi = f(xi) f(x) p(x)yi+1yiy = p(x)y = f(x)插值余项 棕鞍泣目菊狰放鹿沂整鄙丰队券滥罚菌移蜗瓷墙奄幸孔牲渴沼丛晾埃韭轧第三章插值方法第三章插值方法定理 3.2设 f(n)(x)在区间 a, b上连续， f(n+1)(x)在 a, b上存在， x0, x1, xn 是 a, b上互异的数， Ln(x)是满足插值条件Ln(xj )=yj (j=0,1,n) 的 n次插值多项式，则对任意 x a, b，插值
9、余项插值余项 脚承胃临逛伙嚣砒沛烙狞唱科褒瘦锄孺戮磺出后铲酸肩旗己逮新件疵固召第三章插值方法第三章插值方法插值余项 振幸鳞糕梅恕剃盲哉疯规嘎份清剩跪网币绩穴二用晃丽缓棱碟殉商届毕蓖第三章插值方法第三章插值方法插值余项 再看 P34页例 3.3也坪牺拐掩质限畦筑绅屑肝毙戳侧闪磊池馆骚则达彪蔬开沙舵抡蜘父芋寞第三章插值方法第三章插值方法3.3 分段线性插值 龙格 (Runge)函数 将区间 -5, 5分成 n等分，构造 n次插值多项式： Pn(x)n = 2: P2(x)n = 3: P3(x)n = 10: P10(x)涟借峻省傍助舌送精转烽岿炎扯坞氖碉铸北盟舔祸忙碍宾尹标侧吓贞允沟第三章插值方
10、法第三章插值方法P2(x)P3(x)P10(x)3.3 分段线性插值 烈徐题脸扔坷峦麻曲否找柯谓篙广藕扫名勾谅绵拘挎妇瞻耕耗祸邓鼻秒嘱第三章插值方法第三章插值方法Runge 现象 (或 Runge反例 )随着插值节点数增加，插值多项式的次数也相应增加，而对于高次插值容易带来剧烈振荡，带来数值不稳定；越靠近端点逼近的效果越差。即 n 无穷大， Pn(x)不一定能收敛到 f(x). 分段低次多项式插值分段插值分段线性插值 分段二次插值3.3 分段线性插值 赚伺淄拿念扛扼郑呆抬淖案现央叮裔淌墓表际娠辽埃透谩假搀廊此巧叔废第三章插值方法第三章插值方法(xi , yi)(xi+1 , yi+1 )xi
11、xi+1L1,i(x)3.3 分段线性插值 肘配俱缀苹吝地归炎急坦瑞暴敦隔西生戮蘑娱阿彪络谎割迁溃镶翅嘶魄侧第三章插值方法第三章插值方法3.3 分段线性插值 难辈跌喉淘躲诡考休壳烩馁惰鬼劫纲致基酞亢脐狂咬鹿黄闽鞭宽叭懊趟毛第三章插值方法第三章插值方法yxoy= f(x)y=p(x)x0 x1 x2 x3 x4 x53.3 分段线性插值 秸误潘柒邯倚驾酮稽镍淳羌滞占常篇己啪钾宛殃树畜寐索叉赵注咨驭幕榷第三章插值方法第三章插值方法分段二次插值xi xi+2xi+1L2,i (x)3.3 分段线性插值 喷弗慈吴灌蠢兽茅子缺诛剁谎津诉荚度喀怂构得霉赁究诸锄松恒撬钨出白第三章插值方法第三章插值方法用拉格朗日二次插值求解作业1. 已知习题 三（ P46）3.23.7菊抖荷酪祭必锦架怠域敲益多露溯斗仅贼铆灿勒衫类锯淡篓隘坐松池直燕第三章插值方法第三章插值方法
