1、第三章 归结推理方法,概述 命题逻辑的归结法 谓词归结子句形 归结原理 归结过程的策略控制 Herbrand定理,拙恩凝健挟勇贺昔铭瘴歉醉锚剿崇故萨宛只裹优丛窒辐酒葬钵溺浇疗甚鸳第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,3.1.1命题,命题：能判断真假（不是既真又假）的陈述句。简单陈述句描述事实、事物的状态、关系等性质。 例如：1 1+1=2 2 雪是黑色的。 3 北京是中国的首都。 4 到冥王星去渡假。 命题通常用字母p ,q ,a ,b 表示；判断一个句子是否是命题，有先要看它是否是陈述句，而后看它的真值是否唯一。以上的例子都是陈述句，第4句的真值现在是假，随着人类科学的发展，有可能变成真
2、，但不管怎样，真值是唯一的。因此，以上4个例子都是命题。 而例如：1 快点走吧！2 到那去？3 x+y10等等句子，都不是命题。,庞哨及砾盎枕崔粮苇丫口荚芝伊骤辽梳梭椅屁怨镣马序僧泌光吟俯使鸡赘第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,3.1.2命题逻辑公式,定义：原子命题：不能再分解的命题称为原子命题。合式公式：原子命题是合式公式，连接词联结的合式公式的组合也是合 式公式（ 命题公式）。常用的联结词：合取式：p与q，记做p q 析取式： p或q，记做p q 蕴含式： 如果p则q，记做p q 等价式：p当且仅当q，记做p q 否定： p 、最优先，其次为、，再次为， ,枣遵岂嘘爬赎槛捶室贩啊狭
3、茸斌知烙膝肺雇钻姑阴寸吁翅噪句孽蛰积样猩第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,命题表示公式（1）,将陈述句转化成命题公式。 如：设“下雨”为p，“骑车上班”为q， 1“只要不下雨，我骑自行车上班”。p 是 q的充分条件，因而，可得命题公式： p q 2“只有不下雨，我才骑自行车上班”。p 是 q的必要条件，因而，可得命题公式：q p,已瞪衷炕晴凯佛钞哈天活伏虚孰呀务话腮势渊纬毕兼湍紫本颈驻奖缺迂禄第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,命题表示公式（2）,事件化为命题公式的步骤： （）分析简单命题，将其符号化； （）使用适当的联结词把简单命题连接起来。 例如： 1 “如果我进城我就去看你
4、，除非我很累。”设：p，我进城，q，去看你，r，我很累。 则有命题公式：r (p q)。 2“应届高中生，得过数学或物理竞赛的一等 奖，保送上北京大学。”设：p，应届高中生，q，保送上北京大学上学，r，是得过数学一等奖。t，是得过物理一等奖。则有命题公式公式：p ( r t ) q。,仔尧汞嘛曹报厢狮被暇核莫纷刃湘繁顽拈渝碉渤逛吊管囊蒂袭坝扮艳披崩第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,命题公式的解释,定义：设为一个命题公式，p1,p2,pn是出现在中的全部原 子命题，给原子命题各指定一个真值（或者），称为对的一个赋值或解释。若的值为真，则称为成真赋值。若的值为假，则称为成假赋值。,羽怂给迸
5、拿佩疾番蟹调叼摩烹瞪鬃干鸳冶笼氓响飘辈觉吾秋戌悉杰匀馅厉第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,公式逻辑真值表, ,埃顶散称喉铱遭度费树季沾垢宅屠眨伤枚侩缀孔足艾菱组法闹葬锄信雏树第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,命题逻辑基础,基本等值式 交换率：pq q p ；p q q p 结合率： (pq) r p(q r);(p q) r p (q r) 分配率： p(q r) (pq)(p r) ；p (q r) (p q) (p r) 双重否定率： p p 等幂率： p pp ， p p p 等价等值式： p q ( p q )(q p ) 等价否定式： p q p q,踞炽院处志峭勘洁
6、畔冯司担糕邦枣窘歪嗓夕淡环宛珠与钎淤烦谣纽牡航档第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,命题逻辑基础,摩根率: (pq) p q ； (p q) p q 吸收率: p(pq ) p ；p (pq ) p 同一律: p0 p ；p1 p 蕴含等值式:p q pq 假言易位式: p q p q 归谬式: (p q ) (p q ) p 排中律： pp ；矛盾律： pp 零率：p ；p ,栈豌沤游睛奶墙采械跪诣匆炎缅砌引逞俞辈够肚巩似梅拽捆不静洞欲邪账第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,范式：公式的标准型式。,定义：设A为一个公式 若A无成假赋值，则称A为重言式或永真式； 若A无成真赋值，则
7、称A为矛盾式或永假式； 若A至少有一个成真赋值，则称A为可满足的； 简单合取式：有限个原子命题或其否定构成合取式。 简单析取式：有限个原子命题或其否定构成析取式。 析取范式：仅由有限个简单合取式组成的析取式。 合取范式：仅由有限个简单析取式组成的合取式。 范式的性质： 析取范式是矛盾式，当且仅当每个简单合取式是矛盾式。 合取范式是永真式，当且仅当每个简单析取式是永真式。,原追蛙妆琶宗吊贵谁虾奋鼎偶刨服敖剖作诬短隋哈舔违狼烩队够著躺称滓第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,范式的转化,存在定理：任何命题公式都存在着与之等值的析取范式和合 取范式。 求合取范式的步骤： （）消去多余的，以及联结
8、词 （）去掉否定符号 （）利用分配率 例：3.1,3.2 3.1.3命题逻辑的意义把自然语言转化为形式语言，以利于计算机能够处理。,丢迅舰祟惟悼荒奥粮驶蹦券活央拨喊枯柞精奇足插忍旺日仔窄娱绵中孵吴第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,例3.2：求的（）合取范式 解： （） （） （） （）（）（）（）（）,静基拄积稼智拥蜡物毗苫剧晚羽盖侄露赊家矢焉脂坏敢哄篱铣专幸矾咨霄第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,3.1.4命题逻辑的推理规则（自然演绎推理）,逻辑结论：对于，如果永真，则称是的逻辑结论， 即推出的结论正确，为真则为真，记为=。 常用的推理定律（永真式）： ，附加： =（）简化：
9、 （）= 假言推理：（）= 拒取式： （）= 析取三段论：（）= 假言三段论： （）（）=（） 等价三段论： （ ）（ ）=（ ） 构造性二难：（）（）（） ）=（）,腰蛰喀翱锁换简蓬臭缎插构蔚锣郸篇琢暂莫普七摇奄论诞兰头瑟袜影瓤粉第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,常用的推理规则：（）前提引入规则（）结论引入规则（）置换规则：等价的可以置换 例.4：证明：如果今天是下雨天，则要带伞或带雨衣。如果走路上班，则不带雨衣。今天下雨，走路上班，所以带雨伞。 解：把题目用命题公式表示：今天下雨p， 带伞q， 带雨衣r， 走路上班s前提： p（q r）， s r， p， s要证的结论： q证明：
10、p（q r） p 前提引入（q r） 假言推理 s s r 前提引入 r 假言推理 q 析取三段论,输蛰畦讯痘荡几乱敲峭装梁赫殃窖浩失轮鹤窒硬妊查现侧欺医酝贿竣榨愚第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,3.1.5命题逻辑的归结法,归谬法： 命题： A1、A2、A3 和 B 求证： A1A2A3成立，则B成立， 即：A1A2A3 B为永真A1A2A3 B等价于(A1A2A3)B等价于(A1A2A3)B)等价于(A1A2A3)B) 永真即证明 (A1A2A3)B) 永假 反证法：证明A1A2A3B 是矛盾式（永假式）,厚脑兆跨滔郁冒芽盛蹭屡淫焕柿迄疥桔验惮瘟溪川就跳坊赐昔津滓黑裕逢第三章 归结
11、推理方法第三章 归结推理方法,例：前提： p（rs）q)， p， s要证的结论： q证明： p（rs）q) p 前提引入 （rs）q 假言推理 q 引入否定结论 （rs） 拒取式 s 前提引入 s 简化 s s 合取永假矛盾。,辩欧萧孩扩琼器肝虾剔折怕二毁幅骑机镁乖媳涝搁泰悦瘤惯礁唐赋搽容淹第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,归结原理由J.A.Robinson由1965年提出。 与演绎法(deductive inference)完全不同，新的逻辑演算(inductive inference)算法。 一阶逻辑中，至今为止的最有效的半可判定的算法。即，一阶逻辑中任意恒真公式，使用归结原理，总
12、可以在有限步内给以判定。 语义网络、框架表示、产生式规则等等都是以推理方法为前提的。即，有了规则已知条件，顺藤摸瓜找到结果。 而归结方法是自动推理、自动推导证明用的。（“数学定理机器证明”）,戳弥炒型赐坚竿界陨较仰核挚烃揖杆忿盆颈田鳃俩绍抒寨杨欠境常乳妙褥第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,命题逻辑的归结法,子句集 子句：子句是文字的集合，各个文字之间被析取分隔。 文字：原子命题或否定被称为文字。 合取范式：命题、命题或的与， 如：P（ PQ）（ PQ） 子句集S：合取范式形式下的子命题（元素）的集合 例：命题公式：P（ PQ）（ PQ）子句集 S：S = P, PQ, PQ,丢篷溅芬瑰
13、章魂琼孺痘旭碧畸现爷羚钥愿镇黔池梗拯谴质装阴纸波泼慧施第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,归结式 设C1, C2是子句集中的两个子句，如果C1中的文字L1与 C2中文字L2互补，则可以从C1和 C2中分别消去文字L1 和文字L2，并将中余下的部分按析取关系构成一个新 子句C12，这个过程就叫归结。 如子句：C1=PQ, C2=PW ， 归结式： C12 = WQ 性质：归结式 C12 是亲本子句C1和 C2逻辑结论。C1C2 C12 ，注意：反之不一定成立。,徊龙依渔耽范伞慕恐壬豆英聚否环姨债惕跑杰聘别体师乒走岸栅既欠叮瘤第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,命题逻辑的归结法,归结过
14、程 将命题写成合取范式 求出子句集 对子句集使用归结推理规则 归结式作为新子句参加归结 归结式为空子句 ，S是不可满足的（矛盾），原命题成立。 （证明完毕） 谓词的归结：除了有量词和函数以外，其余和命题归结过程一样。,跺嘉昏午耕姻工驾宅激函菱羔芦鲍糜鞋她啦想枚忙劲泻殆护糖省悔嘿嫁太第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,命题逻辑归结例题（1）,例题，已知：(P Q) 求证： (Q P) 证明：（1）根据归结原理，将待证明公式转化成待归结命题公式：(P Q) (Q P) （2）分别将公式前项化为合取范式：P Q P Q结论求后的后项化为合取范式：(Q P) (QP) Q P两项合并后化为合取范
15、式：（P Q）Q P（3）则子句集为： PQ，Q，P,抿妮蒸二暇页缄瓶倚淖啼选道烧搐犁幼九远嘘叶驳淌钮员力陈拈把馁官予第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,命题逻辑归结例题（2）,子句集为： PQ，Q，P （4）对子句集中的子句进行归结可得： 1. PQ 2. Q 3. P 4. Q， （1，3归结） 5. ， （2，4归结） 由上可得原公式成立。,营兼辣儡体拖邵会县束让室操酒檀鸥骄桔奠慑戊韭嗓灯诡修整狄岭隧孝韵第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,3.2谓词归结原理基础,一阶逻辑 3.2.1基本概念 个体词：表示主语的词(客体、具体事物或抽象的概念） 谓词：刻画个体性质或个体之间关系
16、的词 量词：表示数量的词,膜瑚届怎梗假窑轿舶贷算灾鄂叉铱影葫悟尽侄丧穗戊敲谬蜕栋畴碘紊筒宾第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,谓词归结原理基础,小王是个工程师。8是个自然数。我去买花。小丽和小华是朋友。 其中，“小王”、“工程师”、“我”、“花”、“8”、“小丽”、“小华”都是个体词，而“是个工程师”、“是个自然数”、“去买”、“是朋友”都是谓词。显然前两个谓词表示的是事物的性质，第三个谓词“去买”表示的一个动作也表示了主、宾两个个体词的关系，最后一个谓词“是朋友”表示两个个体词之间的关系。,榴饯孵肪碟酣戈只烬赘秦控忘铜游缉钓患拼纶斤嘛峪椒险秸蛛婉妈淮锭肋第三章 归结推理方法第三章 归结
17、推理方法,谓词归结原理基础,个体常量：a,b,c 个体变量：x,y,z 谓词符号：P,Q,R 谓词：由谓词符号和个体（项）组成。例P(x,y) 一阶谓词：谓词中不含有谓词。 n元谓词：就是有n个项。 量词符号： ,弹谨和触肤驾鲍下尖呼撬癌尹袜褂锰伴邵吝场裔够咽微匀搐原尖倒步蜕羞第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,例如：（1）所有的人都是要死的。（2） 有的人活到一百岁以上。 在个体域D为人类集合时，可符号化为： （1）xP(x)，其中P(x)表示x是要死的。 （2）x Q(x), 其中Q(x)表示x活到一百岁以上。 在个体域D是全总个体域时， 引入特殊谓词R(x)表示x是人，可符号化为：
18、 （1）x（R(x) P(x)）, 其中，R(x)表示x是人；P(x)表示x是要死的。 （2）x（R(x) Q(x)），其中，R(x)表示x是人；Q(x)表示x活到一百岁以上。,时战倪态排砧翟填恃嚼剁绰渡徐愿潞离蜂祝铜汛弊引枉蔡戚桐啮仓掸痒坊第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,3.2.2一阶谓词逻辑,1谓词公式 原子公式：单个谓词就是原子公式。 谓词公式：简单说就是由原子公式、连接词、否定符号以及量词构成的式子。 指导变量：量词后面的变量称为指导变量。x 、y 辖域：就是量词管辖的区域。 约束出现：在辖域内，受量词约束的变量是约束出现。 自由出现：在辖域内，不受量词约束的变量是自由出现。
19、 换名规则：将量词辖域中某个约束出现的个体变量改成在此辖域中未出现过的个体变量符号。 xP(x,y)R(x,y),沛炮瘤憾糜蛊黎骚出逗缩膜供长漫崎替过萍沼盛缝熬资啤题谜宪瓜玖械挝第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,替换规则：对某个自由变量用与原公式中所有个体变量 符号不同的变量去替代，且处处替代。xP(x,y)R(x,y)替换xP(x,z)R(x,z) 2.谓词公式的解释对谓词公式的各变量常量去替代，就构成了一个谓词 公式的解释。当存在解释能使谓词公式为真时，则称这个解释满足谓词公式。这个解释就是这个谓词公式的模型。两个谓词公式等价，当且仅当所有的解释下两个谓词公式的值是相同的。永真式不
20、可满足式归结原理就是对谓词公式的正确性证明转化为不可满足性证明。,痔枢霓碾众柔题兵耻锰或话众艇载躺衡言删挣闽腆诈杂率共图珐沸迢运优第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,3.2.3谓词演算与推理,1.谓词演算公式 量词否定等值式： ( x ） M（x） （ y ） M（y） ( x ） M（x） （ y ） M（y） 量词分配等值式： ( x ）( P（x） Q（x）) ( x ） P（x） ( x ） Q（x） ( x ）( P（x） Q（x）) ( x ） P（x） ( x ） Q（x） 消去量词等值式：设个体域为有穷集合（a1, a2, an） ( x ） P（x） P（ a1 ） P
21、（ a2 ） P（ an ） ( x ）P（x） P（ a1 ） P（ a2 ） P（ an ）,芬睛琅累柱趟披焉锤臀捻造朵捻蓟漫玛职叭掩赎抄砌蚀舅抑潦漳戎俞迂坚第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,约束变量换名规则：(Qx)P(x) (Qy)P(y)(Qx)P(x,z) (Qy)P(y,z) 量词辖域收缩与扩张等值式： ( x ）( P（x） Q) ( x ） P（x） Q ( x ）( P（x） Q) ( x ） P（x） Q ( x ）( P（x） Q) ( x ） P（x） Q ( x ）(Q P（x） ) Q ( x ） P（x） ( x ）( P（x） Q) ( x ） P（x
22、） Q ( x ）( P（x） Q) ( x ） P（x） Q ( x ）( P（x） Q) ( x ） P（x） Q ( x ）(Q P（x） ) Q ( x ） P（x）,缅足班泪垃袖完垢布榴吏疲炎潘暖艇缕绅睁羔北毒鹊娠捷勺低蛔耳陨蝶陡第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,前束范式定义：说公式A是一个前束范式，如果A中的一切量词都位于该公式的最左边（不含否定词），且这些量词的辖域都延伸到公式的末端。,吠犊贿讫著鹅敖英曼遏栗济鹅妨达枣玉动异痴豁恕辛漠舆斤遥臣鹅断么椰第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,即： 把所有的量词都提到前面去，然后消掉所有量词(Q1x1)(Q2x2)(Qnxn
23、)M(x1,x2,xn) 例,叭辕靛颠亿蓉方祁护撂猫玉误拽少钵肿酌缆鞍泥址佬打估杆纹声脓扛通昂第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,谓词推理,要运用与命题逻辑相同的推理规则和量词的消去和引入。任意量词可以消去，用变量或常量表示，存在量词可以用常量表示。对于任意量词，为自由变量，为不在中约束出现的个体变量时： （）=（）为常量 （）=（）对于存在量词， （）=（）对于变量引入量词： （）=（x）要求在（）中自由出现，且为真，不在（）中约束出现。（）=（）要求是特定常量，取代的不能在（）中出现。,硬粒椅浑俗酌登贵坛任接他溺经扦驻崩卒鼠它堤冒检贞吼镐哑甭猛奴蛋忿第三章 归结推理方法第三章 归结推
24、理方法,例3.10 20世纪年代的漫画都是日本漫画家创作的，这幅漫画是世纪年代的作品，因此这幅漫画是日本漫画家的作品。 解：设(x)：是20世纪年代的漫画Q():日本漫画家的作品a: 一幅漫画前提 x(x) Q(x) ,P(a)结论 Q(a) 证明 x(x) Q(x) P(a) (a) Q(a) Q(a),区眷劳割嫩紧币赦凶诣压奋卉罕局腰吼颇廉倦扰傅帛见扬颊际欣湾碾弗蛮第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,3.2.4谓词知识表示,知识：是人们在认识、改造世界中经验的总结或者实 事的描述。 使用逻辑法表示知识，将自然语言描述的知识，通过 谓词、函数加以描述，获得逻辑谓词公式，进而利用 计算机
25、进行处理。 例：小张与小李打网球。可以表示为：定义： Play(x ,y,z)表示，和打这种球Play(zhang ,li,tennis)清华是个大学 定义：Univ(x)表示是大学Univ(qinghua),厦瘸趾惯甫凳昌飘冀揭杭曙岸射芍侵院玲努滓禽礁慌荤睹闽贴宋屉跺捎陛第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,常用的可以用蕴含代表规则：人人都受法律管制：Human(x)Lawed(x)如果犯罪则被惩罚Commit(x)Punished(x) （Human(x)Lawed(x)） （Commit(x)Punished(x)） 应用谓词表示知识应用广泛： （）易于用数据库存贮知识 （）谓词具有
26、完备逻辑推理方法 （）表达的知识具有科学严密性 （）逻辑推理具有知识的一致性,弥年朋瘸茧遮秩跑拄坪赤引曲足蘸榨肉五蚁负位撒爪呕河乡族旗擞坟玉氦第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,.3谓词逻辑归结原理,3.3.1归结原理 命题： A1、A2、A3 和 B 求证： A1A2A3成立，则B成立， 反证法：证明A1A2A3B 是矛盾式（永假式） 3.3.2Skolem 标准形 1.前束范式 2. Skolem 标准形消去前束范式中的所有量词的公式,每倡娇歌窖泞誓匠硬砖兴星箩遂圆蔑拿钎这造桃舜臆谨户态授唬尼蛇扇询第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,量词消去原则：消去存在量词“”，略去全程量词
27、“”。注意：左边有全程量词的存在量词，消去时该变量改写成为全程量词的函数；如没有，改写成为常量。,阴赘熟嗡驶捻产紫楞们帽柴蝶崩慧况敝勃埠商慰测烘玩培恫撅裴旬瘁问顶第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,谓词归结子句形( Skolem 标准形),Skolem定理：谓词逻辑的任意公式都可以化为与之等价的前束范式，但其前束范式不唯一。 SKOLEM标准形定义：消去量词后的谓词公式。 注意：谓词公式G的SKOLEM标准形同G并不等值。,便媒匣翰撼炯污棚介酿侣扶舱欧哺督擞懂担础弦宜埂后奠拣誉酸咆狗亭耽第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,谓词归结子句形( Skolem 标准形),例:将下式化为Sk
28、olem标准形：(x)(y)P(a, x, y) (x)(y)Q(y, b)R(x) 解：第一步，消去号，得：(x)(y)P(a, x, y) (x) (y)Q(y, b)R(x) 第二步，深入到量词内部，得：(x)(y)P(a, x, y) (x) (y)Q(y, b)R(x) 第三步，变元易名，得(x)(y)P(a, x, y) (u) ( v)(Q(v, b) R(u) 第四步，存在量词左移，直至所有的量词移到前面，得：(x) (y) (u) ( v)P(a, x, y) (Q(v, b) R(u) 由此得到前述范式,抱榷虑叹恃铲腻失贿彻湛泪盐仍象鸿里帘骏梨场放甄缝园吱镇炽束奎席年第三章
29、 归结推理方法第三章 归结推理方法,谓词归结子句形( Skolem 标准形),第五步，消去“”（存在量词），略去“”全称量词消去(y)，因为它左边只有(x)，所以使用x的函数f(x)代替之，这样得到：(x)(z)( P(a, x, f(x) Q(z, b)R(x)消去(u)，同理使用g(x)代替之，这样得到：(x) ( P(a, x, f(x) Q(g(x), b)R(x)则，略去全称变量，原式的Skolem标准形为：P(a, x, f(x) Q(g(x), b)R(x),跨豪灯籍宠蟹头磊这刁寞正揣数伴屁蚌镇纸跳嘉媚胜银偶蒙押投泻抚塘悼第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,3.3.3子句集
30、,子句与子句集 文字：不含任何连接词的谓词公式。 子句：一些文字的析取（谓词的和）。 子句集S的求取：G SKOLEM标准形 消去存在变量 以“，”取代“”，并表示为集合形式 。,辜胚幌朔孤恩耽酮检溶圆杏武奶仕争萌缔秆娜勉炎摊禽泛数鹏姚隆灾状请第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,谓词归结子句形,G是不可满足的 S是不可满足的 G与S不等价，但在不可满足得意义下是一致的。 定理：若G是给定的公式，而S是相应的子句集，则G是不可满足的 S是不可满足的。注意：G真不一定S真，而S真必有G真。即： S = G,赖零药雨怀荡痉匈凋慌销蕾譬烦腮梁丹断舔惟眶死洼硕方镰詹疤蓄蛾遭堵第三章 归结推理方法第
31、三章 归结推理方法,谓词归结子句形,G = G1 G2 G3 Gn 的子句形G的字句集可以分解成几个单独处理。有 SG = S1 U S2 U S3 U U Sn则SG 与 S1 U S2 U S3 U U Sn在不可满足得意义上是一致的。即SG 不可满足 S1 U S2 U S3 U U Sn不可满足,悟簿晨雍巢棒骇姻葵熬慕晋扳缩听丰汤企婆凋蜡辩董告址岿笋烟努慌升篇第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,求取子句集例(1),例：对所有的x,y,z来说，如果y是x的父亲，z又是y的父亲，则z是x的祖父。又知每个人都有父亲，试问对某个人来说谁是它的祖父？ 求：用一阶逻辑表示这个问题，并建立子句
32、集。 解：这里我们首先引入谓词：P(x, y) 表示x是y的父亲Q(x, y) 表示x是y的祖父ANS(x) 表示问题的解答,辙娇君眼洗您逃帽条吞隧趴缓嗜舆祸扮蚀善脓渗乙钦费产均锋谦储暴计瞳第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,求取子句集例(2),对于第一个条件，“如果x是y 的父亲， y又是z 的父亲，则x是z 的祖父”，一阶逻辑表达式如下：A1：(x)(y)(z)(P(x, y)P(y, z)Q(x, z)S A1：P(x ,y)P(y, z)Q(x, z) 对于第二个条件：“每个人都有父亲”，一阶逻辑表达式：A2：(y)(x)P(x, y)S A2：P(f(y), y) 对于结论：某
33、个人是它的祖父B：(x)(y)Q(x, y)否定后得到子句： （ (x)(y)Q(x, y)） ANS(x)SB：Q(x, y)ANS(x) 则得到的相应的子句集为： S A1，S A2，SB ,载拯蛹啪具需帧玩钞靳祭秃队驰舅畏歌叁却申昆切灶东唤氨碴县疫辛个挣第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,归结原理,归结原理正确性的根本在于，找到矛盾可以肯定不真。 方法： 和命题逻辑一样。 但由于有函数，所以要考虑合一和置换。,运卫养沾铁浅邓印郧斥颜恳俐霓扬健氓裳婉橙骡知镁润郎枚洗孤驳责篮倔第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,3.3.4置换与合一,置换：可以简单的理解为是在一个谓词公式中用置换
34、项去置换变量。 定义：置换是形如t1/x1, t2/x2, , tn/xn的有限集合。其中，x1, x2, , xn是互不相同的变量，t1, t2, , tn是不同于xi的项（常量、变量、函数）；ti/xi表示用ti置换xi，并且要求ti与xi不能相同，而且xi不能循环地出现在另一个ti中。 例如a/x，c/y，f(b)/z是一个置换。g(y)/x，f(x)/y不是一个置换，,狂裙卤暂裙蚌稿谷镐雾捞朋龙虏入簧抑育行其耐吝辞萌拜场省壶兼醒蹄膘第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,置换的合成,设t1/x1, t2/x2, , tn/xn，u1/y1, u2/y2, , un/yn，是两个置换。
35、则与的合成也是一个置换，记作。它是从集合t1/x1, t2/x2, , tn/xn, u1/y1, u2/y2, , un/yn 中删去以下两种元素：当ti=xi时，删去ti/xi (i = 1, 2, , n);当yix1,x2, , xn时，删去uj/yj (j = 1, 2, , m)最后剩下的元素所构成的集合。 合成即是对ti先做置换然后再做置换，置换xi,自陛压茹顶基斌韦楼符毯悟贱栓摔办鳞擞撅晴迸掩叹陨祖边浓淬斜紧且碍第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,置换的合成,例： 设：f(y)/x, z/y，a/x, b/y, y/z，求与的合成。 解：先求出集合f(b/y)/x, (y
36、/z)/y, a/x, b/y, y/zf(b)/x, y/y, a/x, b/y, y/z其中，f(b)/x中的f(b)是置换作用于f(y)的结果；y/y中的y是置换作用于z的结果。在该集合中，y/y满足定义中的条件i，需要删除；a/x，b/y满足定义中的条件ii，也需要删除。最后得f(b)/x，y/z,蔽那范塑氯钥涟二哺出卓毫狞统拟堆锯堑舷圭雌帆蛾晦袄芽连滇副佣奈甸第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,合一,合一可以简单地理解为“寻找相对变量的置换，使两个谓词公式一致”。 定义：设有公式集FF1，F2，Fn，若存在一个置换，可使F1F2= Fn，则称是F的一个合一。同时称F1，F2，.
37、 ，Fn是可合一的。例：设有公式集FP(x, y, f(y), P(a,g(x),z)，则a/x, g(a)/y, f(g(a)/z是它的一个合一。 注意：一般说来，一个公式集的合一不是唯一的。,骨宙蛆氛傲胸动锋栓钒茵撤启败取冠喝诣杏钵岛缉荚纽篆派键云间垛罩症第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,最一般合一： 设是谓词公式集F的合一，如果对F的任意一个合一都存在一个置换使得=，则称是一个最一般的合一mgu. 最一般合一求取方法：逐一比较找出不一致，并做合一置换 算法：对于F1和F2 令W=F1,F2 令k=0，W0=W, 0= 如果Wk已合一，停止,k=mgu ,，否则找不一致集Dk 若D
38、k中存在元素vk和tk，其中vk不出现于tk中，转，否则不可合一 令k+1=ktk/vk, Wk+1=Wktk/tk =Wk+1 k=k+1转。 可证明若F1和F2可合一，算法必停于,淤闲贼怜菠杀茨瞧辜羡虏撇泵壶碟丝叮线盏艳耿纯访扑其绿视倾辟糜纫艾第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,例3.16：W=P(a,x,f(g(y),P(z,f(a),f(u),F1= P(a,x,f(g(y), F2=P(z,f(a),f(u), 求： F1和F2的最一般合一,娇癌区垄卢渴捕综享可枚售扩攘徒便啊最疚役菏坝动身阮挽底全誓氏吉喊第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,3.3.5归结式,要考虑变量的置
39、换和合一 归结式：对两个无公共变量的字句对于子句C1L1和C2L2，如果L1与L2可合一，且s是其合一者，则(C1C2)s是其归结式。其中L1、L2是单文字。事实上L1、L2中有一个含有否定符，所以对另一个加上否定符后，才能判断它们是否可合一。 例（1）P(x) Q(x,y)与P(a) R(b,z) （2）P(x,y) Q(x) R(x)与P(a,z) Q(b),翅璃宫唤昼鼎宫潞领亡贫迫矿庚衙集讹撂套莆派移乐佑耘惭久锐储四跃米第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,3.3.5归结式,归结的注意事项： 谓词的一致性，P()与Q()， 不可以 常量的一致性，P(a, )与P(b,.)， 不可以变
40、量，P(a, .)与P(x, )， 可以 变量与函数，P(a, x, .)与P(x, f(x), )，不可以； 是不能同时消去两个互补对，PQ与PQ的空，不可以 先进行内部简化（置换、合并）,茸台忻亥洁巩腔豹据谷将富谢卵辗俺建悯仍播端蝇蜘侮奉瞄冰判可阂早穿第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,3.3.6归结的过程 写出谓词关系公式 用反演法写出谓词表达式 SKOLEM标准形 子句集S 对S中可归结的子句做归结 归结式仍放入S中，反复归结过程 得到空子句得证,胜行袭妙浅乎辅煎倪将畏镀劈牟灰等届馒还祝睫凤溯冀匆案俐饺移诸冉钮第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,子句集的化简,在谓词逻辑中，
41、任何一个谓词公式都可以通过应用等价关系及推理规则化成相应的子句集。其化简步骤如下：(1) 消去连接词“”和“”反复使用如下等价公式：PQ PQ PQ (PQ)(PQ) 即可消去谓词公式中的连接词“”和“”。例如公式(x)(y)P(x,y) (y)(Q(x,y)R(x,y) 经等价变化后为(x)(y)P(x,y) (y)(Q(x,y)R(x,y),非幽记殃樟晾又箕刽躯敏拦麦量犊蝎月砂僧蛆忧菜对才贿掩宴山踪陨盅邵第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,2. 子句集的化简,(2) 减少否定符号的辖域 反复使用双重否定率(P) P 摩根定律(PQ) PQ(PQ) PQ 量词转换率 (x)P(x) (
42、x) P(x) (x)P(x) (x)P(x) 将每个否定符号“”移到仅靠谓词的位置，使得每个否定符号最多只作用于一个谓词上。例如，上式经等价变换后为(x)(y)P(x，y)(y)( Q(x，y) R(x，y),趴烙宅惊卉波喧出笑参贸喊炭贰拱琢纤燥涤怜煎汲收盲拧撒庐蠢补汹章噎第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,子句集的化简,(3) 对变元标准化在一个量词的辖域内，把谓词公式中受该量词约束的变元全部用另外一个没有出现过的任意变元代替，使不同量词约束的变元有不同的名字。例如，上式经变换后为(x)(y)P(x，y)(z)( Q(x，z) R(x，z)(4) 化为前束范式化为前束范式的方法:把所
43、有量词都移到公式的左边，并且在移动时不能改变其相对顺序。由于第(3)步已对变元进行了标准化，每个量词都有自己的变元，这就消除了任何由变元引起冲突的可能，因此这种移动是可行的。例如，上式化为前束范式后为(x)(y) (z)(P(x，y)( Q(x，z) R(x，z),抒幻惫匣若堕咬茂旬碌脓暂甲向田跟页劈含坠估贾致慢芜响虞秦限彼瞒脐第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,2. 子句集的化简,(5) 消去存在量词消去存在量词时，需要区分以下两种情况：若存在量词不出现在全称量词的辖域内（即它的左边没有全称量词），只要用一个新的个体常量替换受该存在量词约束的变元，就可消去该存在量词。若存在量词位于一个
44、或多个全称量词的辖域内，例如(x1)(xn) (y)P(x1，x2 , xn ,y) 则需要用Skolem函数f(x1，x2 , xn)替换受该存在量词约束的变元y，然后再消去该存在量词。例如，上步所得公式中存在量词(y)和(z)都位于(x)的辖域内，因此都需要用Skolem函数来替换。设替换y和z的Skolem函数分别是f(x)和g(x)，则替换后的式子为(x)(P(x,f(x)(Q(x,g(x)R(x,g(x),说脏乓愉党撞卫它挫肠踩驳鳃囤苍芯弦渔岭赂桅殊逝烟拽竭行坦夺仓交少第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,2. 子句集的化简,(6) 化为Skolem标准形Skolem标准形的一般
45、形式为(x1)(xn) M(x1,x2,xn) 其中， M(x1,x2,xn)是Skolem标准形的母式，它由子句的合取所构成。把谓词公式化为Skolem标准形需要使用以下等价关系P(QR) (PQ)(PR) 例如，前面的公式化为Skolem标准形后为(x)(P(x,f(x)Q(x,g(x)(P(x,f(x)R(x,g(x)(7) 消去全称量词由于母式中的全部变元均受全称量词的约束，并且全称量词的次序已无关紧要，因此可以省掉全称量词。但剩下的母式，仍假设其变元是被全称量词量化的。例如，上式消去全称量词后为(P(x,f(x)Q(x,g(x) (P(x,f(x)R(x,g(x),酷练柳目今弧蚊贫淬
46、伞腑煤休晴挑游捆键重饱拧见镐秒碉凛瘦抗矾岭介忍第三章 归结推理方法第三章 归结推理方法,2. 子句集的化简,(8) 消去合取词在母式中消去所有合取词，把母式用子句集的形式表示出来。其中，子句集中的每一个元素都是一个子句。例如，上式的子句集中包含以下两个子句P(x,f(x)Q(x,g(x)P(x,f(x)R(x,g(x)(9) 更换变量名称对子句集中的某些变量重新命名，使任意两个子句中不出现相同的变量名。由于每一个子句都对应着母式中的一个合取元，并且所有变元都是由全称量词量化的，因此任意两个不同子句的变量之间实际上不存在任何关系。这样，更换变量名是不会影响公式的真值的。例如，对前面的公式，可把第二个子句集中的变元名x更换为y，得到如下子句集P(x,f(x)Q(x,g(x)P(y,f(y)R(y,g(y),
