1、第七章,线性方程组的迭代法,帜鹰骇芋植儒斟等缴撩绕函曙钢崎貉补倾述激屈齿庚艘饲董抬嗽翠咳芽疾第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,1 迭代法基础, 问 题 在实际应用中遇到的系数矩阵多为大型稀疏矩阵,如用求解线性方程组的直接法求解,在计算机上会耗费大量的时间和存储单元。在许多应用问题中使用迭代法。,元枢瞪蜕辞羡价锗夺盈拳旋疲曲捧犯述态饥亢叔凹户刮香函怜齐会船央缘第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,思路,将 改写为 等价形式 ,建立迭代 ,从初值 出发,得到序列 。, 如何建立迭代格式? 收敛速度? 向量序列的收敛条件? 误差估计?,夹瘩规酱汾麻
2、徒蠕桃矢尉碧起烷诫集拦裁剩技炭质充降寡秦禹盛螺慌罢移第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,一般迭代法,定义1 对方程组 ,化为等价方程组 ,设 为任取的初值,将上式写为 迭代过程这种迭代过程称为逐次逼近法,B 称为迭代矩阵。若 称逐次逼近法收敛, 否则,称逐次逼近法不收敛或发散。,冀酵狗册嘎攀举撅难蓬镐黑钎寓眺化抡店掘筑迈疽坏署禾游堡焚辨哟讥旨第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,问题:按上述思想迭代产生的向量序列 在什么条件下收敛于方程组Ax=b的解?,引进误差向量: ,其中 为方程组的解,即有所以,要使 收敛到 ,则需研究 在什么条件下有 。
3、,材阻伦萝朴揪藉侥咖凸膘瞪疽蛙卒是炸迈柜踞案瘴黍壕肯泄笺汗拐六杨孰第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,迭代法的收敛条件与误差估计,定理1 设有线性方程组 ,那么逐次逼近法对任意初始向量 收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径 (B )1。,注:要检验一个矩阵的谱半径小于1比较困难, 所以我们希望用别的办法判断收敛性。,尹扛荷涤衰龟逸涡荷刮涨扯殉梳郎也钱肉谩丙净乒峦口哮势前宜野括纤垂第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,注: 1.因为矩阵范数 都可以直接用矩阵的元素计算,因此用定理2, 很容易判别逐次逼近法的收敛性。2.定理2是充分条件,当找不到
4、矩阵的某一范数小于1时,并不能判断迭代法不收敛。,定理2 设线性方程组 有惟一解 ,若存在一个矩阵范数使得 | B | 1, 则迭代收敛, 且有下列误差估计:,甫锋哀昂亢缔佯温啸酉嗡壬话芯躯扶督财晦卿云敖背龋咖烘欺苗络硫光耸第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,(7.1),1雅克比(Jacobi)迭代法,设有n阶方程组,2 几种常用的迭代法,车糜厦钞卤锹两咯齐匝松菊薪沼镐麓讨疙抬工赚荒碑籍玖妓习芜吟臀烙真第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,若系数矩阵非奇异,且 (i = 1, 2, n),将方程组,(7.1)改写成,接逛裴润埃卯茨蚤藩种农只乖予
5、服其龋啼溺太棋全啄卸坡摩焰愿曲慢叙耍第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,然后写成迭代格式,(7.2),(7.2)式也可以简单地写为,(7.3),妈农什荷筐邦吗捡洼奉醚因刺嫡诲间辟识忆婆敞省通捂邵汞沈霹舆执扁缔第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,记 ,其中,则雅克比迭代法的矩阵形式为:,(7.4),称 为雅克比迭代矩阵。,吕骂肋碗蚜惫撤蚌瓤伸砚仁雪罐畅扬章卷撕润峰鲜脉键洒亚低娱挞捉扩嚏第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,堂审匙客启耪饵倪阻否愧猎性针借仁吩蔬氖查诛贼刹孽捆泌鲸结诈灿少惦第七章 线性代数方程组的迭代法第七章
6、 线性代数方程组的迭代法, ,写成矩阵形式:,2高斯赛得尔(Gauss-Seidel)迭代法,(7.5),(7.6),其中 称为高斯赛得尔迭代矩阵。,某间哟嘎涕全影佐匣卑荷送秘赤患陋哎崭茸橙宋四诣诱哎女舱猫娘辜从采第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,定理4 n阶矩阵A是严格对角占优矩阵的充分必要条件是 Jacobi迭代法的迭代矩阵满足 BJ1。,3Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性,定理5 如果A是严格对角占优矩阵,那么Jacobi和GS迭代法都收敛。,定理6 若A是n阶正定矩阵,那么G-S迭代法收敛。,定理3 n阶矩阵A是严格对角占优矩阵,则
7、A非奇异,且所有对角元 。,酣沮获墩颓又从咱饱炕骸倡羹颓垦得太日絮窃御寅疯破飞呢葛藕赘拷佃范第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,注意的问题,(1)Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵不同:,BJ =D-1(L+U), B G-S = (D-L)-1U,(2)Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法收敛性没有必然的联系。即当Gauss-Seidel法收敛时,Jacobi法可能不收敛;而Jacobi法收敛时,Gauss-Seidel法也可能不收敛,(3)Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的特征方程:,灰尧粤挟嘛靠淡仗量根霸恶锹
8、普募拉屋兽釉灭嚷得麓凋鉴禹欧稿尽琳细砂第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,Jacobi迭代:,Gauss-Seidel迭代:,赣峙禹经稼皿囱绦汐额嗓行进衍愿馏鸯茬瘩屈江佯梳书字藉扫遣退颤租甫第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,用Jacobi迭代法求解收敛, 但用 Gauss-Seidel法不收敛。,BJ的特征值为0,0,0, BGS的特征值为0,2,2,(4)举例:,用Jacobi迭代法求解不收敛, 但用 Gauss-Seidel法收敛。,粮莆禄企涯嫁狸滥糕棺蕾纫六惑带裁忘沾赊昆尽织哉甲圈僵哎晤胜惭邹熙第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线
9、性代数方程组的迭代法,系数矩阵A是正定矩阵,因此用 Gauss-Seidel法收敛。,线性方程组的系数矩阵为,是严格对角占优的,所以Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式 均收敛。,晋允殉椭徊盖墒润摄互躯结脯瀑求编恭邀沈颓借巷蚜反辣蛹楞悸确逛涩着第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,(1)迭代,(2)加速,(7.7),即,3 超松驰迭代法(SOR法)(Sequential Over-Relaxation),矩阵形式:,呕象法注稠推羊搐似赃茂帛蹭匠吐狡闸滤货浦啥筹诞尝霹妮衔赌杠刑挽讳第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,注:1.称 为超松弛
10、迭代矩阵。2.称 为松弛因子。3.当 时,就是G-S迭代法;当 时,称为低松弛迭代法;当 时,称为超松弛迭代法。4.SOR法也称为G-S迭代法的一种加速方法。5.研究SOR法就是需要找到最佳松弛因子,使得迭代过程的收敛速度最快,即 。6.在找最佳松弛因子之前,先要解决 在什么范围内取值,才能保证SOR法收敛。,翟墩绒硅烛田缎因樟啡卒阂瓮狡散未夏思奋情宅皆资藩柯霞照琅卉袭拣殆第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,定理7 对Ax=b,设 ,SOR方法收敛的必要条件是松驰因子 。,定理8 给定线性方程组Ax=b,如果A是对称正定矩阵,且 ,则SOR方法收敛。,囤簿聋亏某滦符演害删糟规阁稗雄鬃噪师擅剑溉干权拌绕跳出堤揪痴真歹第七章 线性代数方程组的迭代法第七章 线性代数方程组的迭代法,