第一章插值方法(3-4学时).ppt

1、数值分析简明教程,第二讲,她曹附疾箩贼挖煌踞韩藉绞秀萍发我颧景企砚捍排崖箱然脑弯贱哨研停兹第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,第一章 插值方法,1 问题的提出 2 拉格朗日插值公式 3 插值余项 4 埃特金插值方法 5 牛顿插值公式 6 埃尔米特插值 7 分段插值法 8 样条函数 9 曲线拟合的最小二乘法,漳秽含酝阎耶氟鞘责索么萧推涅擦侄釜绿倡峦茎摊冶厢芭酋涧真桥振赛老第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,1.教学内容：代数插值多项式的存在唯一性； Lagrange插值及其误差估计。2重点难点：Lagrange插值基

2、函数、插值公式的构造、插值余项。3教学目标：了解插值问题的背景及提法、代数插值多项式的存在唯一性；掌握Lagrange插值基函数及其构造法。,第一章 插值方法,熔鸳铆卷康攀幂爸蕊者围盈朵俞汾悠纱鸥恒肤拌默男郭韭硅辩驮烷躁亨砷第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,引言,实际问题中碰到的函数是各种各样的。有的表达很复杂，有的 甚至给不出数学式子，而只是给出了一些离散数据譬如某些点 的函数值和导数值。面对这种情况，一个很自然的想法就是构造某 个简单的函数作为要考察的函数的近似 。如果要求近似函数取给定 的离散数据，则称之为的插值函数。实用上，我们常取结构相对比

3、较简单的代数多项式作为插值函数,这就是所谓的代数插值。,蒋谢抽槛丧绳畦赊鸣碱揩倔隆奈锨衫靛厦他奄本础寸作倒痪卷慷哮些猴炊第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,背景问题,在现代机械工业中，用计算机程序控制加工机械零件，根据设计可给出零件外形曲线的某些点的数据，加工时为控制每步走刀方向及步数，就要算出零件外形曲线其它点的坐标数据，才能加工出外表光滑的零件。,谰翌赘盅充惜桌箱霸接淳捉秸崎佃匠肤请盈罪魂馆翱顾旦层米穿皆萌顺纠第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,背景问题,该问题相在数学上当于，虽然函数 在某个区间 上是存在的，

4、还可以是连续的，但却不知道其解析表达式，只能给出 上系列点 的函数值 ，这只是一个函数表，如何（近似）计算 在 上的其它点处的函数值。有的函数虽然知道表达式，但比较复杂，计算 值很不经济，通常造一个函数表，如大家熟悉的平方根表、三角函数表、对数表等，如何用简单的计算（近似）求出不在表上的函数值。因此，我们希望根据给定的函数表 ，寻求一个简单的函数 ，使它即能反映 的特性：，又便于计算，用 来近似 。 问题：选取什么函数作为近似的函数 ，如何求得其具体表达式，误差如何？,矩营锡羊铺估忱虎浆去塑粟蜗吕手藩栗荷连税捍钉疥剥和持强涉雍焦男庚第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值

5、分析简明教程,设函数f(x)在区间a ，b上有定义，且已知在一组互异点 上的函数 值 ，寻求一个简单的函数p(x)，使满足（1.1）并用p(x)近似代替f(x)，上述问题称为插值问题。,插值问题,涵粘豺瞥了贤棉湖锰巢蜜浓阂疟仙社氨纬鸯张贼惮谋悍卓桅愧霓锐沼狡馈第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,啸陆缨滇赔回们屁航端首浸诗渠遗残铆煌铁进法匿枉洞或唬耕椒掏砷茂携第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,插值条件： ；插值函数：p(x)称为f(x)的插值函数；插值节点： ；插值区间：a,b；,插值法： 按插值条件（1.1），求

6、函数f(x)的插值函数p(x)的方法称为插值法。,申戳川窘指棺糙虹张塔搐灰夕畏贾楼郝锄蓄车命颤涕藩阁雪骂辟弥匹籍酌第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,问题的提出,“温故而知新”。本节将从插值方法的角度重新审视泰勒公式， 从而提出所谓的泰勒插值问题，继而在此基础提出拉格朗日插值问 题。 1、1 泰勒插值问题 求作次数 的多项式 ，使满足条件，这里 为一组已知数据。对于给定函数 ，设已知导数值 则上述插值问题的解就是泰勒多项式：,洗笺木斋晃沫纸孝舆笔吐巧枷路亥勇邹沸峦启珍宵荐沙卧遁丛缮若浚意迅第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析

7、简明教程,定理1 假设f(x)在含有点 的区间a，b内有直到n+1阶 导数，则当xa,b时，对于由（1）式给出的 ，成立： 式中介于 与x之间，因而a，b,泰勒余项定理,钳痘淳魄钞芒期雌夜缅痈股辩又吃备釉堪温乘卒披曹摇淆焚脯纠凿姑窿皆第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,例 1 求做 在 的一次和二次泰勒多项式，利用它们计算 的近似值并估计误差。,由于 ，而,所以：,故f(x)在 的一次多项式为：,用 做f(x)的近似表达式时：,解：,锤耽郭上筏铜袒壳芋烯旧辫伐氦淬剥俐翼民橡洁辣糠绍斤迷阜丰概驯粟客第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),

8、数值分析简明教程,由定理1可知,所以，10.75作为 的近似值，有3位有效数字。,f(x)在 的二次多项式为：,用 做f(x)的近似表达式时：,由定理1可知,所以，10.721875作为 的近似值，有4位有效数字。,版蹄琳裕躇歪榜窥儡嘶雇喜邪泉辟舵践遁坯戈运鹿孟寺绑违元褂盅庸猪跋第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,拉格朗日插值,如果仅仅给出一系列节点上的函数值 则插值问题可表述为如下：问题 求作次数 多项式 ，使满足条件这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。点 （它们互不相同） 称为插值节点。用几何语言来描述，就是，通过曲线y=f(x)上给定的n

9、+1个点，求作一条n次代数曲线 作为 Y=f(x)的近似。,上述泰勒插值要求提供f(x)在 处各阶导数值，这项要求很苛刻。,息咖随老流鹃耙司梅钞耀汛僳刷冰歇满猛蹿屎赂叁屯娜凶武恬蛇繁睛逼挛第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,插值多项式的存在唯一性,设所求多项式为：,据条件（2），则只须系数： 满足下面线性方程组即可。,彻姬倍肤穷速蔑露垂匪藩抠柬圾官抚袭油邓控眶吊顶仿坍株涪件义畏展牲第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,由于节点 互不相同 ，故可以证明，其系数行列式,定理2 满足插值条件（2）的插值多项式存在且唯一。,

10、勤辛政侈淤布窒梁渗供墒诣氧热谁尸拱徽癸楞步淤帧蹦晃取闭集违膜窟昼第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,线性插值,问题 求作一次式 ，使满足条件从几何图形上看， 表示过两点 的直线， 因此可表为如下对称形式：其中和 分别满足条件一次插值也称为线性插值， 称为线性插值基函数。可见，插值问题的解 可以通过插值基函数 和 的组合得出，且组合系数分别是所给数据 。,怔搽夫彪难绷殴酗叶创妮赤旬胁侥计疆省崭飞马醚琵认惯钒沛菇遗榨柴颅第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,杠着庆淤贬毋嫡厄沤者樊屹月嫡辑举久剪壮由献雕紫督龚拈造咋吓梅世货

11、第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,例2 已知,解：,由线性插值公式可知，其线性插值多项式为：,所以：,这个结果有3位有效数字。,桨疥构涌佬于剥饶革级蓉苏凉簇剔问欢念纺颤烦厩钥彪潍憋唉绘秒烬都孺第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,拋物插值,问题 求作二次式 ，使满足条件二次插值的几何解释是用通过三个点 的抛物线 来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性插值，令易知， 应满足条件故有，类似的可以构造出,线性插值只利用了两个节点的信息，精度自然低，为了提高精度，进一步考察下述二次插值。,称为抛物插值的插值基函数,褪茧

12、蚂革下比够色妇匈声练贞脚抱婿芹侍案键猿厕膀某捣物垄措皑砚马秀第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,拉格朗日插值的一般情形,仿照前述作法，对于求作次数 多项式 ，使满足条件的问题，我们可构造插值基函数 ，它们都是次 数小于 的多项式 ， 且满足条件,这表明，除,以外的所有节点处都有：,怒奄缺雏梆松雨抚寒闺键林捏馒累末柯呆宾躯奠掩监远议辆洽勒斯村贪婆第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,结果：,则可得到如下拉格朗日插值公式：,ppp,劫庇士甭藕氏殿侯侄曹烦哪照戈序裹顾讳赡朴通谓决莉昂蜗带樊赤签锤培第一章插值方法(3-4学时

13、)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,拉格朗日余项定理,依据数据表构造出 的插值函数 ，在插值点 处计 算 作为 的近似值总有误差 ， 称误差 为插值余项。下面给出著名的拉格朗日余项定理：定理 3设区间 含有节点 ，而 在该区间内有连续直到 阶导数，且 已给，则当 时，对于拉格朗日公式确定的 成立式中 是与 有关的点，它包含在由 和 所界定的范围 内，因而 。,贬横庞坟室营来挨道嫌崇铱寒甥衔牢农秽舒纪巢炎暴腆视贞谩腔续燎远媳第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,误差的事后估计,下面介绍另一种误差估计方法。考察三个节点 ，对于给定的插值点 ，设用

14、 和 进 行线性插值求的一个近似值为 ，用 和 进行线性插值求的另一 个近似值为 ， 按余项定理有,如果只提供了f(x)的一些离散值，没有具体的解析式子，按拉格郎日余项公式来估计插值误差是困难的。,其中 均属于区间a,b，若假设 f(x) 在 上变化不大，则：,辞瓶樟壳敖瞒约话犁几跑坝宁义荐起苦论呐站队伪七狙晒桩沼赏郡续逻船第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),数值分析简明教程,将上面两个式子相除则有，整理得：进一步整理得如下估计式，由此可见，插值结果 的 误差 ，可由两个结果 的偏差 来估计。这种直接利用计算结果估计误差的方法称为事后误差估计法。,唾欧羞嗓玄楚绎嘴陕偿匀择薄瓜脾严凛六淡她鳃绝赁钦颤棘钎房肃疙怜玛第一章插值方法(3-4学时)第一章插值方法(3-4学时),