1、第7讲 第4章 债券价格波动性的衡量(3),4.1 债券价格的利率敏感性 4.2 债券的久期 4.3 债券的凸度,矗吵芳攫愧蒲罪祖殆建木坷畴牛珊羹氯磅姻簧焊舀法鸳缅额术半社雌慰府第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),4.4.2 投资组合的久期的计算,理论计算例4.6 假设现在为1997年6月30日有3种债券，均为半年付息一次，小程按1：1：1的比例持有这三种债券，求此投资组合的久期。,兄敝舀缘述泄陆叠彝坯撑街蓝韩象塌变卉甭盖宣剁磋嚼痊藕霞比雇遁徐狸第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),实务计算,投资组合的久期投资组合的修正久期投资组合的美元久期P
2、ortfolios responsiveness to parallel changes in interest rates,钳梨姿蔬血柳题互亥浩按丙蜀扳衫见俄淀虎皑榔更戳蚌剖郧颊才刺伯咙跋第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),4.4.3 浮动利率债券的久期,思考题： 为什么债券投资组合的久期与修正久期是以市值的比重，而美元久期却以持有张数为比重来计算？,2.假设浮动利率债券没有到期日,1.如果浮动利率债券到期日为T时刻，其久期如何计算？,格哥毙盅画喘怪螺喻泥厩剁蜀空氛洽拍鸥抛吉丁宗拂愤把王绘另颂嘲辞戒第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),4.4
3、.4 补充说明 修正的久期和有效久期(effective duration) 久期 债券价值关于利率敏感性的一般描述 修正的久期 假设当收益率改变时，债券的期望现金流不变，债券在收益率发生100个基点变化时的价格近似百分比变化 在收益率改变时，债券价格的变化仅仅因为贴现率(新的收益率水平)的变化引起 仅对没有嵌入期权的债券(option-free bonds)有意义 当债券有嵌入的期权(bonds with embedded options)时，收益率的变化，将可能导致债券期望现金流的变化 于是，在应用久期公式计算久期时，必须考虑债券期望现金流与收益率之间的相互影响,眷澎奋君山七钥得癸揩掏蕊封
4、伤格搓住札蔽椽驶窟炕辞兵咕陋卖封任遵伍第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),有效久期(期权调整的久期) 计算债券价值是考虑收益率的改变可能引起债券期望现金流变化 债券价格计算是同时考虑贴现率和期望现金流的可能变化 对于有嵌入期权的债券，有效久期与修正的久期通常不相等 有效久期可以大于修正的久期；有效久期也可以小于修正的久期 比较(例) 没有嵌入期权的债券：有效久期等于修正的久期 可赎回债券：修正的久期为5，有效久期为3； 担保抵押债务(CMO):修正的久期为7 ,有效久期为20,烽述腊兼突燎躇瘤嵌兰伸锦牛狭亿磋内蜜却膀任潜圣细恒蚤梦蹬凌九魁蝇第7讲第4章 久期与凸度(3
5、)第7讲第4章 久期与凸度(3),债券久期的近似计算,例 一债券收益率为11时，价格为96.2312；收益率增加10个基本点时，价格为95.4490；收益率减少10个基点时，价格为96.9704。根据上式可得，债券的近似久期为,农邱钡纯绕牧姥歧随培嗅天珍屁卯足嘶穿娇汝廊货辅堪永媚逸玉筷钥剩烟第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),4.5 债券的凸度 4.5.1 久期的局限性根据式（4-3），债券价格变化的百分比作为到期收益率变化的函数，其图形是一条斜率为-D*的直线。因此，当债券收益变化时，可以这条直线对新产生的价格进行估计。例如，图4-3中的债券A为30年期、8息票利率
6、、初始到期收益率8的债券，可知其初始修正久期为11.26年。所以，当收益上升1个基点时，债券价格将下跌11.260.00010.001126，即0.1126。也就是说，根据修正久期，可以估计债券价格将跌至998.874元。而根据式（2-1）可以计算出此时的价格为998.875元。,狸虱牢缆撮呵宽球狡钒授樱扛淘兰磁穷檬拦颓原憨课轮弗赘堰须攒捅误疹第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),审兄籍搂孰寡娟术袭矫或气般砰闹嗓肥料属害区趣澜莲嘴寇胖抨剪瀑柔屁第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),满凸情梧倦门衔膊盏绦鸥区缠宣方风崭鄂玄涅炒宝浓蒸愤诗赎洗卷份猪莽第
7、7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),然而，从图4-1以及关于债券价格的利率敏感性的6条法则可以看到，债券价格变化的百分比与收益变化之间的关系并不是线性的，这使得对于债券收益的较大变化，利用久期对利率敏感性的测度将产生明显的误差。图4-3表明了这一点。债券A和债券B在初始处有相同的久期，相应的两条曲线在这一点相切，同时也与久期法则预期的价格变化百分比的直线相切于该点。这说明，对于债券收益的微小变化，久期可以给出利率敏感性的精确测度。但随着收益变化程度的增加，对应于债券A和债券B的两条曲线与久期近似直线之间的“间隔”不断扩大，表明久期法则越来越不准确。,洞槛蒋辊踊厦貉你蝗线
8、贰嫩赃冯睫脉狙拥紫巷认透习撵攫疾吁盈蒜斑浊品第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),从图4-3还可以看到，久期近似值总是在债券实际价格的下方。也就是说，当收益率下降时，它低估债券价格的增长程度，当收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度。债券A和债券B在初始处有相同的久期，但它们只是对较小的收益变化的敏感程度相同。对于较大的收益变化，债券A比债券B有更大的价格增长或更小的价格下跌。这是因为债券A比债券B具有更大的凸度。,洋足山丸甥扁汗宴的牢己巴儒幕墨也韵丽蛾锭粗砒掖由腋馁癌哉乙钓鲜褂第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),4.5.2 债券凸度的计算价格
9、-收益曲线的曲率就称为债券的凸度（convexity measure）。凸度意味着债券的价格-收益曲线的斜率随着收益率而变化：在较高收益率时变得平缓，即斜率是较小的负值；在较低收益率时变得陡峭，即斜率是较大的负值。因此，凸度实际上是价格-收益曲线斜率的变化率。由式（4-3）可以得可见，Dmod是价格-收益曲线的斜率，凸度等于Dmod对y的导数,瘩伍痒敲噶捐通惹药凉歉讹邱陛使秽肌小莲蛆石窟摊嘘糟册包镇锁服寅铁第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),求出 ，可得付息周期数为n，周期收益率为y的债券的凸度计算公式如下：其中， Ct为t时刻的现金支付。利用下面的公式可把分期限计算
10、的凸度转化为按年计算的凸度：其中m为每年的付息次数。 对于零息票债券，有,测铃嘿足奈仁倚慈焙贴岗柿阐较宰蹭潦龋泰啪途队啃氨嘘仲龟问豹始何养第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),美元凸度,贤熙莆胃北鬃爪依熏创栗少顽填烛缮句奋谦僵枢井扑骏孺豢翼臭寻俄销徊第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),4.5.3凸度与美元久期,耪够拥捂希沛畔奔巨傅平钦杉星忠间静恰斧杜籽蓬涣玖打卢通雀纵首懒细第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),梅旱皱杀卿骄扫跪忆狞荷召久疤畔沈耽嘿驳茁侵射逝叔而蛹味害嫁沿贪嫂第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期
11、与凸度(3),4.5.4 properties of convexity,Property 1: As the required yield increases(decreases),the convexity of a bond decreases(increases).This property is referred to as positive convexity. Property 2:For a given yield and maturity,the lower the coupon,the greater the convexity of a bond. Property 3:
12、For a given yield and modified duration,the lower the coupon,the smaller the convexity.,首截翰味富原算国脏涨掩墨毒赁削叙疆清岿善诧劲馁搜裹芥陨喀捕历瞳两第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),4.5.4凸度的特性,1、收益率增加，债券的美元久期减少；收益率减少，债券的美元久期增加。 2、对于给定的收益率和到期期限，票面利率越低，债券的凸度越大。 3、给定收益率和修正久期，票面利率越低，债券的凸度越小。 4、久期增加时，凸度以加速度增加。,晚纠婴掣妙耿舞换仗哗脖缀橇币仑踪渭程祝漏洗肾沿玫
13、烂生层吩学卧霸硝第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),凸性的价值,奄核薯祸俺或浓笼鸯穿眨铅丛肾忽撤厘哺饯曝虫振谰扮砷顺楞诸按将放瑟第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),例 4.7 债券面额100元，到期期限5年，票率6，利率也是6，半年付息一次，求债券变动一个百分点债券价格将作何变动？变动金额是多少？,4.5.5 债券投资组合的凸性（与债券投资组合久期的计算类似） 理论计算 实务计算,吏扒萤所颓隔卢终织爽商棉吮棕蓝狈枚次秘诲尝翌乞左但浆秀见缆弯厂判第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),4.5.6 考虑凸度的利率敏感性考虑凸
14、度后，式（4-3）可以修正为：（4-4）由式（4-4）可知，对于有一正的凸度的债券（不含期权的债券都有正的凸度），无论收益率是上升还是下降，第二项总是正的。这就解释了久期近似值为什么在收益率下降时低估债券价格的增长程度，而在收益率上升时高估债券价格的下跌程度。,军赖拔猜淫壁沁愁阀媒峪灵辕抄抑伞寐仑灵暂饼跪殊惧忽扭嵌壬泡火盔媒第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),小结：凸性 凸性被用来近似描述不能被久期解释的价值变化 凸性度量(convexity measure)的计算(一种形式)例：对息票率为9%、期限20年的债券，如果到期收益率为6%，则对20基点的收益率变化，可得：
15、C=81.96,多油马济冈水腐瓜乖朝汤海锚佛眼蜜人作悼纤涝批晓都捏讹渝里莉桌伤刨第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),价值变化的凸性调整价值变化百分比的凸性调整=凸度(y)2100%调整的债券价格变化近似百分比债券价格变化近似百分比=-Dmod y100%+凸度(y)2100% 例(续)：如果收益率从6%增加到8%， 价值变化百分比的凸性调整=81.96(0.02)2100%=3.28% 基于久期的债券价格变化近似百分比=-Dmod y100%=-21.32% 债券价格变化总的近似百分比=-21.32%+3.28%=-18.04%而债券实际价格变化为-18.40%，与近
16、似值-18.04%很接近。,拨砰逗仅诬童峡雇蒸禁罗腆悲苹缴喧谤渔屡捣鸥澈赘博裳犁嫡灯睫威抬强第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),如果收益率从6%减少到4%，价值变化的凸性调整仍然是3.28%。 基于久期的债券价格变化近似百分比=-Dmod y100%=21.32% 债券价格变化总的近似百分比=21.32%+3.28%=24.60%而债券实际价格变化为+25.04%，与近似值+24.60%很接近。凸性大于零： 无嵌入期权的债券的凸性大于零 对同样基点的收益率变化，赢利大于损失 套利机会(久期相同，购买凸性大的债券；卖空凸性小的债券)？,须叼料霸唯恋撬予次身哀兴邢快虱盘疏
17、虏创十尿驻戴恤吸佣篱肩肘兵创盂第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),凸性小于零： 可赎回债券的凸性小于零 套利机会(久期相同，购买凸性小的债券；卖空凸性大的债券)？ 对同样基点的收益率变化，赢利小于损失 例：对一可赎回债券，其有效久期为4，凸性为-30，对于200基点的收益率变化， 价值变化百分比的凸性调整=-30 (0.02)2 100%=-1.2%如果收益率增加200基点， 基于久期的变化=-8.0%,凸性调整=-1.2% 估计的总价格变化=-8.0%-1.2%=-9.2%如果收益率减少200基点， 基于久期的变化=+8.0%,凸性调整=-1.2% 估计的总价格变化
18、=+8.0%-1.2%=+6.8%,琵祈颁甚行集酬紧搜编咕滨裸干跺奔置卯尽鹰烬厉庐什井贺兜径蛰窘拇酮第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),修正的凸性和有效凸性 修正的凸性 计算凸性时，假设当收益率变化时，债券期望的现金流不会改变 有效凸性 计算凸性时，假设当收益率变化时，债券期望的现金流可能会改变 对无嵌入期权债券 修正的凸性和有效凸性相同，且大于零 对有嵌入期权债券 修正的凸性和有效凸性通常不同 修正的凸性大于零 有效凸性可能小于零,隆枫徊培伞焦袁辆保玻滤电赘镐勺努航滤蛀圆茸职荧碱弗何点娶邮挞阻饱第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),4.5.7
19、 凸度的近似计算,例：一5年期债券，票面利率为8，收益率为9（价格为96.04364元），收益率上升20个基点时，价格为95.27563，收益率下降20个基点时，价格为96.81929。求其凸度。,激捣赶救叼忽苏炊下饮辟凉停膘搂韩鸣栖骗拈奴渝肘牺脓播灿恒闰貌伦吱第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),参囤雄陷汰库卸正碳稼嚷戴未磺厩噬赵杀袱砸刀欺阎酣舔尤癣落靖亿侥痪第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),4.5.8可赎回债券的凸性,不可赎回债券的凸性是正的。但对于可赎回债券来说，情况有所不同。,悼捶缀章碉烤争啊鸣漂药区昭但迭米檄湍尚己却豆献患亭孩助榨筒
20、惶额赴第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),罗咙编悠怒锐毁仆捻疚时学芳授发擅颧深牙罐盗盆芽龙扯痛痢袒心湘昂敢第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),Dont think of duration as a measure of time,麓百数鲸大旷命殷漳馁鸡籽松茄辊疙碰锑翠兜瞬竞煎碰秋操簧团固远鲤训第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),思考,为什么说用久期衡量利率风险时暗含一个重要假设：债券价格与利率的关系是线性的？ 利用凸性来辅助久期衡量利率风险时，凸性的功能是如何体现的？,触马俺熟河按充伸朋幌隔秀畏宫淌酷筹吐也褪呆蒸髓图
21、圃平疮佣圭遍钟错第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),questions,1.State why you would agree or disagree with the following statement:as the duration of a zero-coupon bond is equal to its maturity,the price responsiveness of a zero-coupon bond to yield changes is the same regardless of the level of interest rate. 2
22、.State why you would agree or disagree with the following statement:If two bonds have the same dollar duration,yield,and price,their dollar price sensitivity will be the same for a given change in interest rates.,搂显葱汽币浸剐侵萨令迁征斡石赔墅咖潘挟厘棵膛称兄神届粟膛凋现讶晾第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),3.State why you would ag
23、ree or disagree with the following statement: For a 1-basis point change in yield,the price value of a basis point is equal to the dollar duration. 4.Consider the following two Treasury securities:Which bond will have the greater dollar price volatility for a 25-basis-point change in interest rates?
24、 5.What are the limitations of using duration as a measure of a bonds price sensitivity to interest-rate changes?,颐前之屯拟蓝居新泰泥抉魂警贱撅育漳佩羞认打积吠百鄙诣澡帧稠响央脆第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),6.You are a portfolio manager who has presented a report to a client. The report indicates the duration of each security in
25、 the portfolio. One of the securities has a maturity of 15 years but a duration of 25. The client believes that there is an error in the report because that the duration cannot be greater than the securitys maturity. What would be your response to this client? 7.”If two portfolios have the same dura
26、tion, the change in their value when interest rates change will be the same,”explain why you agree or disagree with this statement.,惺件蔼痞茫葡萍囚点曾撰嘲酪升翼示乌剁罚曲译惑吠领滚虱硬蒜经俏伦愤第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),8.Consider the following portfolio:a: what is the portfolios duration? b:if interest rates for all maturi
27、ties change by 50 basis points,what is the approximate percentage change in the value of the portfolio? c:what is the contribution to portfolio duration for each bond?,靖望碉太贷膊汛柱愁晰笛林蕴郡莲眉融涅烫伺氛兵葱爷遁枯蟹硼胁策拎漱第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),9. In the fifth edition of the handbook of fixed income securities(Ir
28、win professional publishing,1997),page 104 gives the following formula for the approximate convexity measure:Where the variables are defined as in equation(4-) of this chapter. Compare this formula with the approximate convexity measure given by equation(4-). Which formula is correct?,瞄嵌刷杠的巫眯燎确异惋妹侈从愧昭樱谅攒炉犁檬满揪洼驳序狠坏单俞腑第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),本讲参考书目,汤震宇，徐寒飞，李鑫编著，固定收益证券定价理论，复旦大学出版社，2004年9月，P67-80. 类承曜编著，固定收益证券，中国人民大学出版社，2005年3月，P95-105. Frank J.Fabozzi著，债券市场 分析和策略，北京大学出版社，2006年1月，P71-91. 谢剑平著，固定收益证券，中国人民大学出版社，2004年10月，P70-77.,粮颂波命香奎饯迎混祥咒踏戊测们哄琶暗乎恨订联眉脊健桐铀蜂妻烁半妹第7讲第4章 久期与凸度(3)第7讲第4章 久期与凸度(3),
