1、离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系第第 2篇篇 集合论集合论主讲人:任长安计算机与信息科学系2009.07启孝饶武洋癌坎股辐个揩公奎念伊只声觉偏倾鸵孝宪静弧剂间克赦绒寅椅第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系引言 集合论是现代数学的重要组成部分,在科学和技术的诸多领域里都得了到广泛的应用。在计算机科学中,集合论是不可缺少的数学工具,在程序设计、形式语言、自动机、人工智能、数据库等许多领域都有着重要的作用。 集合论产生于16世纪末。当时,只是由于微积分学的需要,人们只对数集进行
2、了研究。 1872一 1883年间,康托尔( Gaorge Cantor 1845一 1918年,德国数学家)对任意元素的集合进行了系统的研究,提出了关于基数、序数和良序集等理论,奠定了集合论的基础,从而建立起了集合论。藻辽蚜莹窖恶欢奸壤酿壁著契厚鸣殃柿揣拂菌刀半乓度攫庇立两涡银尝桥第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系引言 集合论是一门研究数学基础的学科,它试图从一个比 “数 ”更简单的概念 集合( sets)出发,定义数及其运算,进而发展到整个数学。在这一点上它取得了极大的成功。我们介绍集合论则不仅因为此,而且
3、因为计算机科学及应用的研究,也和集合论理论有着极密切的关系。集合不仅可用来表示数及其运算,更可以用于非数值信息的表示和处理。像数据的删节、插入、排序,数据间关系的描述,数据的组织和查询都很难用传统的数值计算来处理,但却可以用集合运算来实现。 本篇介绍集合论的基础知识,主要内容包括集合及其运算、性质、序偶、关系、映射、函数等。玉多邻斗君奎跃吟穴毯捕姨缅娜寅筛建弦稍垛馒访喷解潍礼钡余邹枫虫科第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系主要内容 1 集合集合2 二元关系二元关系3 函数函数伺幅锤氢种天潜郡惋幂越据屿监鄙耀邵疮蕉
4、棘毫乞驾特达饭霹妹痹苯睁试第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系第 4章 二元关系 在日常生活中, “关系 ”的含义是我们所熟知的,如人与人之间有父子、师生关系;两数之间有小于关系。集合论为刻划这种联系提供了一种数学模型 关系,它仍然是一个集合,以具有那种联系的对象组合为成员。在离散数学中, “关系 ”被抽象为一个基本概念,在通常情况下, “关系 ”是至少由两个集合在给定条件下产生的新集合,它提供了一种描述事物间多值依赖的工具,为计算机科学提供了一种很好的数学模型。 本章给出了关系的几种等价定义和常用性质、二元关系
5、的运算,研究了计算机科学中具有重要应用的关系闭包运算、等价关系、相容关系和偏序关系。 藤饵卜滔琶空拖焦翠拼冠倾电搓服堵刷躲缅鹏碘桶器仍鸽付舅缉八呀戴家第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系第 4章 二元关系 主要内容: 4.1 有序对与笛卡尔积4.2 二元关系及其表示4.3 二元关系的性质4.4 二元关系的运算4.5 特殊关系及其性质罚益杰夏愤灿忧档底破销胺帅耍佣未看钟掺缸邦贬筷纲价队诀透败惫砧铭第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4
6、.1 有序对与笛卡尔积 1、 有序对和多元序组 由两个元素 x和 y按一定的次序排成的二元组,称为一个有序对 ,表示成 , x是第一元素, y是第二元素。有序对满足: 1)xy 2) (x=u) (y=v) = n元序组定义为: 满足:江深爬唤寓协毕藻宽舒抨斧帆砒舅儒抨扒葱渡蝎眨黎上翁己侈艺杂扇忻胀第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.1 有序对与笛卡尔积 2 笛卡尔乘积 设 A、 B为任意集合,以 A中元素为第一元素、 B中元素为第二元素构成的有序对组成的集合称为 A和 B的卡氏积,记为 A B,即: A B
7、 = | xA yB 一些性质: 1) 不满足交换律和结合律 : A B B A (A, B, AB) (A B) C A (B C) (A, B, C)括裙醚若傻陨巡松茫遏悼审账弥溢人短瓤睹案焉沈腿替殉贞乏建铃剑宝磅第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.1 有序对与笛卡尔积 2) 满足分配律 : A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (B C) A = (B A) (C A) (B C) A = (B A) (C A) 3) A = , A = 4) 基数满足
8、 : card(A B) = card(A) card(B) 5) n阶卡氏积定义为 :翘耗颇滑蚌扁涕笛顽瓦佯邯狄尤饼戈厘汉道短造位败苦穷换搅茬副工抿常第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.1 有序对与笛卡尔积 定理 设 A , B , C为任意三个集合, C,则 ( 1) A B的充要条件是 AC BC; ( 2) A B的充要条件是 CA C B。 定理 设 A , B , C , D为四个非空集合,则 AB CD, 当且仅当 A C,B D 斯稽尿厩枪微滁诚荡训所搂恃阐抄枝替氰角跺麦苔钎朔崇踊彬界械箭掀妓
9、第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.2 二元关系及其表示 在日常生活中, “关系 ”的含义是我们所熟知的,如人与人之间有父子、兄弟、师生关系;两数之间有大于、等于、小于关系。集合论为刻划这种联系提供了一种数学模型 关系,它仍然是一个集合,以具有那种联系的对象组合为其成员。在离散数学中, “关系 ”被抽象为一个基本概念,在通常情况下, “关系 ”是至少由两个集合在给定条件下产生的新集合,它提供了一种描述事物间多值依赖的工具,为计算机科学提供了一种很好的数学模型。 烩祭究舵豹雾古纶杨依贯梆鲤脂巢榨乒熙土议钳棍囱湃
10、吴饵琵岗仕找兢神第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.2 二元关系及其表示 1、二元关系的定义 集合 A、 B的笛卡尔积 AB的任意一个子集称为 A到 B的一个二元关系 ;如果 A=B则称为 A上的一个二元关系 。 由于我们仅讨论二元关系,故二元关系可简称为 关系 ,一个关系常用 R表示。 1)集合 A到集合 B的关系 R是一个集合, RAB,称 R的所有有序对的第一元素组成的集合 R的 定义域 (domain),即: dom R = x|y ( R); 枫蝴戎蚁知通联汪加酒柄闹卑辜览勒呐团赫喜堰吧弓吨踏革史讯
11、丰蕴街驰第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.2 二元关系及其表示 R的所有有序对的第二元素组成的集合 R的 值域 (range),即: ran R = y|x ( R) R的所有有序对的两个元素组成的集合 R的 域 ,即: fld R = dom R ran R 称 A为 R的 前域 , B为 R的 陪域 。 显然, dom R A, ran R B。 2)对于 aA, bB,若 R,则称 a , b满足关系R,也可记为 a R b;若 R,则称 a , b不满足关系 R,记为 a b 。 吮匹玖设捅泼诈槛综
12、悄粗踊蒲钢衫液桥艇片嘎克诚侍哗尽锣走沫换蔑胆雌第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.2 二元关系及其表示 3)因为 AB、 ABAB,所以 和 AB都是集合 A到集合 B的关系,分别称为 A到 B的空关系和全关系 ;如果A=B,则称为 A上的空关系和全关系 ; 例 4.2 设 A=2,3,4, B=2,3,4,5,6,A到 B的关系 R定义为: 对于 aA, bB, R当且仅当 a | b( a | b即 a整除 b),则 R=, 例 4.3 设 A=1,2,3,4,定义 A上的关系 R为 R=| a , bA
13、 , (a b)/2=k, kI 则 R=,技险竟津炼总虑泉公份也惑淤霞赡缚解赌虽瞳寿圭皖鼠誓牵油怒遵髓娄抚第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.2 二元关系及其表示 A到 B的二元关系 R: RAB A上的关系 R: RAA 如果 A是 m元集, B是 n元集,则 A B是 mn元集,共有 2 mn 个不同的子集,所以从 A到 B的二元关系有 2 mn 个。 常见的二元关系有: a) A上的关系 : 空关系 (); 全关系: E(A) = A2=|xi, xjA; 恒等关系: IA = |xiA; 稗介苟酪咯
14、赘衷鼎睁群喜榴钉筷秉少刊艇敏墒吱呻没妒哇兄龙活竿炔演们第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.2 二元关系及其表示 整除关系: D(A) = |xi, xjA xi整除 xj ; 小于等于关系: L(A) = |xi, xjA xi xj ; 大于等于关系: B(A) = |xi, xjA xi xj ; b) A的幂集 P(A)上的关系 : 包含关系: R=|x, yP(A) x y ; 真包含关系: R=|x, yP(A) x y ; 例: A = , ; P(A) = , , , A; R=, , , ,
15、, , , , 屡异楔匹翰笺呸倔淫比锭渡姻尧凰强欠将滥蛇茶几勺徽存荐圈古甘挣乖响第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.2 二元关系及其表示 c) 命题公式集合 P上的关系 等值关系: R = | x, yP x y; 推出关系: R = | x, yP xy。 对偶关系: R *= | x, yP xy*。驱淳脊孪济酒西匣山杂滇逃佐欲铃列淄蔬曼柜猴欠损杉瘦壶煞术褐寄拘弊第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.2 二元关系及其表示
16、2、关系的表示 (1) 一般的集合表示法 :枚举法、构造法等 (2) 关系矩阵法 集合 A=a1, a2, , am, B=b1, b2, , bn,则 R的关系矩阵为: (3)关系图 集合 A是有穷集,设 A = a1, a2, , an,则 R的关系图为:振栏含羞播航惩循稼检卵益谚旷神描息拣聊耙掩邑置须筒茬犯慈纵佬亡暗第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.2 二元关系及其表示 设 G(R)=(V, E)是有向图,其顶点集 V=AB,边集为 E,从顶点 ai到 bj的边为 eij,满足 eij E ai R
17、bj。 例 4.4 设 A=1 ,2 ,3,4,B=a ,b ,c ,R为 A到 B的关系 R=, , 则 R的关系矩阵和关系图分别为蒲魔丁跳顷竹屎咸肇短湘朴贼诣盅削禽彼益慑铆度还武愈飘驼另铸痘儿支第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.2 二元关系及其表示 例 4.5 设 A=1 ,2 ,3,4, A上的关系的关系 R为 R=, , 则 R的关系图为 抓骸箍却质宗飘馆喘摇洲钉付尿屏怯丢炼拌米铰方情轨鸵盯雏蠢佣稀墟哨第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院
18、 计算机与信息科学系4.3 二元关系的性质 在集合上可定义很多个关系,而有实际意义的只是其中极少的一部分,它们是具有某些特殊性质的关系。 定义 设 R为集合 A上的关系,称 若对每个 a A都有 R,则称 R是 自反 的 。即: R是自反的 a ( a A aRa) 2)若对每个 a A都有 R,则称 R是 反自反 的 。即: R是反自反的 a ( a A aRa)沂锰挞擅苫寿买率走单氛脸砖娟治钨讨镰魂充与宽夹尧温爆蓉澜谆泌蜀蜡第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.3 二元关系的性质 3)若对任意 a, b A
19、,若 aRb,则 bRa,那么称 R是 对称 的 。即: R是对称的 a b ( (a A) (b A) aRb bRa) 4)若对任意 a, b A,若 aRb且 bRa,则 a = b,那么称R是 反对称 的 。即: R是反对称的 a b ( (a A) (b A) aRb bRa a = b)摩吁揽冻热镀份游估摆螺撰弹叠嘉菠慷环塞仁奉某粒绰例靠央蓑查喂矾蝇第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.3 二元关系的性质 5)若对任意 a, b, c A,若 aRb, bRc,则 aRc,那么称 R是 可传递 的
20、。即: R是可传递的 a b c ( a A b A c A aRb bRa aRc) 例 4.6 设 A= 1, 2, 3以下各关系 Ri( i 1, 2, ,8)均为 A上二元关系。 ( 1) R1 , , , 是自反的,而 R2 , 不是自反的,是反自反的。存在既不自反也不反自反的二元关系,例如 R3 。显然 A上的 关系是反自反的,不是自反的。 粳苞睫夜椭儡惦爽彪蔷冲焚湃娥咐氦张芽鞍扮船呛喀突齿古谱避涨厉茫财第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.3 二元关系的性质 可是值得注意的是,当 A 时(这时 A
21、上只有一个关系), A上空关系既是自反的,又是反自反的,因为 A使两者定义的前提恒假。 ( 2) R4 , , , 不是对称的; R5 , 是对称的; R6 , 是反对称的。其实 R4既不是对称的,也不是反对称的。特别有意思的是,存在既对称又反对称的二元关系,例如 A上的恒等关系 IA。 ( 3) R7 , , , 是传递的,但 R7 便不是传递的了。应当注意, 济替致打橡更钓竿唆握大昧敬抠桐酣渤帧尽煎琶蠕喀芒氟关合簧用胯中粹第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.3 二元关系的性质 A上的空关系 , R8 等是
22、传递的,因为传递性定义的前提对它们而言均为假。 ( 4)任何非空集合上的空关系都是反自反、对称、反对称、传递的;其上的相等关系是自反、对称、反对称、传递的;其上的全关系是自反、对称、传递的。 关系的基本特性与关系图、关系矩阵有怎样的联系呢?表 4.1详解之。片赠沾脆疲扮虹旨棠离厌兄砸逮烧韦棍豆墩昌阎胺掠懂卡弊忱音祭比超薄第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.3 二元关系的性质 表 4.1关系的基本特性与关系图、关系矩阵的联系 关系特性关系图特征 关系矩阵特性自反 每一结点处有一环 对角线元素均为 1反自反 每一
23、结点处均无环 对角线元素均为 0对称 不同结点间的边成对出现(方向相反)矩阵为对称矩阵反对称 没有方向相反的边成对出现当分量 cij 1(ij)时cji 0传递 如果结点 v1,v n间有边v1v2 ,v n-1vn , 则必有边 v1vn(无鲜明特征)湖牧肉弹既趾手衬钧窃牟睁补诸泡鱼摹姿鳖赔挣亨咀告罐箔判猫操焕途冗第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.3 二元关系的性质 例 4.7 设 A=1,2,3,4, R是 A上的一个关系, R=|a, bA, (a-b)/2=k, kZ,证明 R是自反、对称、传递的。
24、 证: aA, (a-a)/2=kZ,有 R,即 R是自反的。 a, bA,若 R,则 (a-b)/2=kZ,所以 (b-a)/2= kZ 有 R,即 R是对称的。 a, b, cA,若 R且 R ,则 (a-b)/2=k1Z, (b-c)/2=k2Z, 所以 (a-c)/2= k1+k2Z, 有 R,即 R是传递的。鸥瓦勤揭留芹怨磐钡求氰发孽辽懦周嘿惮言帝加梯则蛾察挥嚏抽插夺扶椎第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.3 二元关系的性质 例 4.8 A=1,2,3, A上的关系如图 4.4所示,判断各关系的性质
25、。 各关系的性质如下表所示: 整揪辞上颤匹灿摧洼炬匀砸拿豹刻疗磐所酿兽鹅络钉逃妊钟鸥家鳖需驹弛第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.3 二元关系的性质 疟淖驯呆揍篇瞻就尚敏孽壹侗逾宾慧恬浮女淌喀祈说启美瘩泊窜即吝簧舀第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系离散数学 中国地质大学 计算机学院离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系4.4 二元关系的运算 一、关系的基本运算 集合运算是集合经过一定操作,获得新的集合,二元关系是集合,因而集合的运算如集合的交、并、补、差等对关系也是适用的。二元关系又是一类特殊的集合,所以有着自己的一些特定运算,经过这些运算产生新的集合或二元关系。 关系的基本运算中,本节只介绍关系的逆运算和合成运算。龙咯樟招啸檬渐萨取搞鲜葡呜丝踏尔肝夸形窄口雹踢还窍不府箕旷搅邵翔第2篇集合论之二元关系第2篇集合论之二元关系