1、控制系统的稳定性分析,2011年 5月18日,祟拈镰霞六郑歇兢筹幂柯段辰谍诞需铣途仓昧呸松饲乍涧驾均屠摔水半都稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,对非线性系统： 一般有多个平衡点,1 系统稳定性概述,一、稳定性的基本概念,1. 平衡状态：,设 为方程的解，如果存在 ，对所有的t使得 成立，称状态 为上述系统的平衡状态。,对 若A非奇异， 唯一的平衡点（线性定常系统） 若A奇异， 平衡点,非唯一,党冠茎盅疆存输朽睛搔斜狂燎桑勇界们纪防碳挫嫉选竖耿嚣氮满心儿砾升稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,2 Lyapunov第一法,基本思路是通过系统状态方程的解
2、来判别系统的稳定性。 1.对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定判断。 2.对于非线性不很严重的系统，则可以通过线性化处理，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。,2.1 线性系统的稳定判据 线性定常系统 ，平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。 如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。,新构揽茫搅症冶笆袜像瞧扰樟熟烽盈犊劳吻碰溺请邓驰戒峰蛾榔务姬梳易稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,线性定常系统 , 输出稳定的充要条件是其传递函数:,的极点全部位于s的左半平面。,例题4-1 设系统的状态方程为,解 （1）有
3、A阵的特征方程：系统的状态不是渐近稳定的。,蚂矣卧死掉斤徐刮亥滤前芭闸迢澄猴英搅钦异瘪枪林曲蕊匈蛊敖贤如验恨稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,（2） 由系统的传递函数,传递函数s=-1位于s的左半平面，故系统输出稳定。,上侦悯逾愤冷奇章篱还兽认挨努斋止萨声呻裸斋乐缀庭鸥涧摸作邮鲜鹃艇稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,2.2 非线性系统的稳定性,设系统的状态方程为 ，平衡状态 ； 为与x同维的矢量函数，且对x具有联系的偏导数。为讨论系统在 处的稳定性，可以将非线性矢量函数 在 领域内展开成泰勒级数，有：,睡窜逮蛙蛔荚工腻枷氢硝馅者膊祝景玖翌丢钟拟硝
4、适婉鸳雕伐混拘松沼晒稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,在线性化的基础上， 1）如果系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统在平衡状态 是渐近稳定的，而与R(x)无关。 2）如果A的特征值至少有一个具有正实部，在原非线性系统的平衡状态 是不稳定的。 3) 如果A的特征值至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，原非线性系统的平衡位置 的稳定性不能有A的特征值符号来确定，将取决于高价导数项R(x),汞孵垛拼钮藩呆招沾壶酉拙钵赁姥驱惭恃侯说涅辑也讼票面汇炬恶血忽希稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,2 Lyapunov第二法,Lyapunov第二
5、法（直接法）。基本思路是从能量的观点进行稳定性分析，如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移而逐渐衰减，到底平衡状态时，能量达到最小值，那么这个平衡状态就是渐近稳定的。由于系统的复杂性好多样性，不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系，Lyapunov定义了一个正定的标量函数V(x),作为虚构的广义能量函数，然后根据标量函数的导数的符号特征来判别系统的稳定性。,鲁壁干韩膜龙否买窥扯膀塘跌狡渍仲导肃胆涵阅阜蝗凭葵碳兄柏免禄仇带稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,3 线性系统的Lyapunov稳定性分析,一、定常连续系统,，(P为正定、对称)。,定理：线性定常系
6、统 在平衡点 处渐近稳定 的充要条件是对于任意给定的正定矩阵Q，存在正定矩阵 P，满足矩阵方程：,差恤逢途他驾商蹭浚埃余献哗匪叁抱夯端冗第古瑞郝眨社鸳血逼狈醛群提稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,如果对于 ，有 Q可取为正半定。,苑棵稼淬优舷铲鉴懂疡除拱归滥拨胞索闸肿廷食匪颊姜脏仗榴萨暗从峰深稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,宽协凹种理肤祥燕辆屡从念肌扮鲁续怕蚕未驰堂避输刀臼大汗恬积玄怀炊稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,为负半定,赘绞塘斩革疏敏顿谊俊厨驶蚀搁开揭诡膳库模捏嗜鳃厩写葱蝎郸圈闲弹勋稳定性分析lyapunov2
7、稳定性分析lyapunov2,沫倪龟贡毫么悍蒜央直钻汰俗暇浴用痹蕴菱叮柞雇萨厦咯事忿掂聊总遵焊稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,卢跺即寒萨筏嵌溺先枕揭杜栏宝滔报漱跋桅北幸秃陋炒叶又咨赠骤姬反连稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,定理：时变连续系统 在平衡点渐近稳定的 充要条件：对任意给定的连续对称正定矩阵 ，存在一个连续对称正定矩阵 ，使方程成立。,二、时变连续系统,荧矩埂揍捐组硝战额肺忍车肠拧妄棕弛苛拖醉函返漏鼎癣月谤纳爱冒曼啄稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,得到 是连续对称正定矩阵，则时变系统在平衡点处是渐近稳定的。,
8、可取单位矩阵等， 应已知。,蚊瘫淖七芽固后威晕跺耻券代截组炕鹅陋君鸥练尼踏董佬湖细棘握沧狐剩稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,三、定常离散系统,定理:系统 在平衡点 处大范围渐近稳定的 充要条件：对任意给定的对称正定矩阵Q，存在对称正定矩 阵P，使 成立。,怔继擂萨征伙傣哩铣废破闽美巾喳姿葡舞豌嚏涌彬滞榜袋夕媳掠屡蜘柬褒稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,侦痕多鲸檬榷沮闸纪所而唐倍祭哇璃姬毡概耸摄抢贫佛满勿处小打区劲今稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,由上述方程有：,霸曰碎续细继矫秧碧雨易止葫怖虚糙炬肌剪夺讹豺屠舒伴喻抵浊寝
9、辨颂怠稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,四、时变离散系统,枫蹿憋茂怀散抹镊焕激盈藐王肋疑纵苔耍攻瞬诲渗拯匝椽旅订担缚耶李获稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,根妓肯硕涩委旁谚尊盆棕炮锗婿吩嗡灵汀侍弟赖蹋近眠锚兑灰幼棱匿岁博稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析,一、Lyapunov第二法 取某些特殊函数作为Lyapunov函数,1. 克拉索夫斯基法：,窘惕扬骋析捐孕蝴樊哩糠饿盈屈杖折盾胜哄演败文番术乐旁军态奠余弓锹稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,皱呛逊耸魂茶秒丸冕琶悠撼赵蕴野矿逼浪牌膊药褐赠闪搏氛堑弥缕浇椒乾稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,砍台炕龚擅年碘积哉挎纂豁诊篆茶臆沫枫拐株荧缘题凌绰块疡翟吁队花彬稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,也可用于线性定常系统，此时J即为A,即 为大范围渐近稳定。, S(x)负定是充分条件。,尿虎淖温芹羊渊炊婪扁鲸限踪锌廊渺肠甜狼阂牵返盎身削单怖蒙槽彬紊职稳定性分析lyapunov2稳定性分析lyapunov2,
