1、,材 料 力 学,第八章 组合变形,2019年5月24日,本 章 内 容,8-1 组合变形和叠加原理,8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合,8-3 偏心拉（压)截面核心,8-4 扭转与弯曲的组合,8-5 组合变形的普遍情况,一、组合变形的概念构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变 形, 则构件的变形称为组合变形。,二、解决组合变形问题的基本方法叠加法,叠加原理的成立要求：内力，应力，应变，变形等与外力之间成线性关系。,8-1 组合变形和叠加原理,组合变形强度计算的基本步骤（1）将作用在杆件上的载荷按静力等效分解为几组，使每一组载荷产生一种基本变形。（2）分别计算每种基本变形产生的应力，然后再进行
2、叠加，得到构件在组合变形时的应力。（3）根据危险点的应力状态选用适当的强度理论进行强度计算。变形比较简单的情况下，也可按上述方法计算组合变形杆件的变形，当变形比较复杂时，通常采用能量法计算。,三、工程实例,在外力作用下同时发生拉伸 (压缩 ) 与弯曲两种基本变形，称为拉弯组合变形。,在计算时不考虑剪力的作用。,8-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形, 横向力与轴向力共同作用, 偏心拉（压）,F1 产生弯曲变形,F2 产生拉伸变形,Fy 产生弯曲变形,Fx 产生拉伸变形,示例1,示例2,一、受力特点,杆件将发生拉伸 (压缩 ) 与弯曲组合变形。,作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力，还有横向力
3、。,二、变形特点,三、内力分析,横截面上内力,2、弯曲 ,1、拉(压) ：轴力 FN,弯矩 MZ,剪力FS(shear force),因为引起的剪应力较小，故一般不考虑。,横截面上任意一点 ( z, y) 处的正应力计算公式为：,四、应力分析,1 、拉伸正应力,2、弯曲正应力,轴力,所以跨中截面是杆的危险截面,F2,F2,l/2,l/2,3、危险截面的确定,作内力图,弯矩,拉伸正应力,最大弯曲正应力,杆危险截面 下边缘各点 处上的拉应力为,4、计算危险点的应力,F2,F2,l/2,l/2,当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉、 抗压强度条件。,五、强度条件,由于危险点处
4、的应力状态仍为单向应力状态，故其强度条件为,例 结构如图所示，已知最大吊重Fmax = 8kN， AB为工字钢梁，材料为Q235，许用应=100 MPa ，试选用工字钢型号。,1. 先计算出CD 的杆长,2. 取AB为研究对象，,为计算方便将FCD分解,3. 画出FN图和M图,C截面左侧具有最大的轴力和弯矩为危险截面。,+,=,C截面左侧下边缘两种压应力叠加，达到最大应力，为危险点。,4. 在还未选定工字钢型号之前，可先不考虑轴向内力FN的影响，根据弯曲强度条件来选择，然后根据组合应力进行校核。,查表选用:,I 16,5. 校核危险点,由于最大应力超出很小，超出部分在5%以内，仍可认为是安全的
5、。因此可以选择 I16,例8.5 小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许 用拉应力 t =30MPa ，许用压应力 c =160MPa。试按 立柱的强度确定压力机的许可压力F。,350,F,F,50,50,150,150,解：(1) 确定形心位置,A=1510-3 m2,Z0 =7.5 cm,Iy = 5310 cm4,计算截面对中性轴 y 的惯性矩,350,F,F,50,50,150,150,(2) 分析立柱横截面上的内力和应力,在 nn 截面上有轴力 FN及弯矩 My,n,n,350,F,F,50,50,150,150,由轴力 FN产生的拉伸正应力为,n,n,350,F,F,50,50
6、,150,150,由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为,50,50,150,150,n,n,350,F,F,（3）叠加,在截面内侧有最大拉应力,50,50,150,150,n,n,350,F,F,在截面外侧有最大压应力,F 45.1 kN,所以取,50,50,150,150,n,n,350,F,F,当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形。,偏心拉（压）问题,例8.6 正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面 面积为原来截面面积的一半。求开槽后立柱的的最大压 应力是原来不开槽的几倍。,F,F,1,1,未开槽前立柱为轴向压缩,解：,F,开槽后1-1是危险截面
7、,危险截面为偏心压缩,将力 F 向1-1形心简化,同时发生弯曲和扭转两种基本变形，称为弯扭组合变形。,8-3 扭转与弯曲的组合变形,1. 内力分析,设一直径为 d 的等直圆杆 AB , B 端具有与 AB 成直角的刚臂。 研究AB杆的内力。,将力 F 向 AB 杆右端截面的 形心B简化得,横向力 F （引起平面弯曲）,力偶矩 m = Fa （引起扭转）,AB 杆为弯、扭组合变形,画出AB段的内力图，可见固定端A截面为危险截面。,A截面,危险截面上的危险点为C1 和 C2 点,最大扭转切应力 发生在截面周边上的各点处。,危险截面上的最大弯曲正应力 发生在C1 、C2 处,2. 应力分析,A截面,
8、对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的杆，这两点的危险程度是相同的。 可取任意点C1 来研究。,C1 点处于平面应力状态, 该点的单元体如图示,危险点的应力状态 （C1点),用第三或第四强度理论，其强度条件分别为,将主应力代入上二式，得到用第三或第四强度理论表达的 强度条件为,3. 强度分析,第三强度理论,第四强度理论,将 和 的表达式代入上式，并考虑到圆截面Wt2W，便得到,第三强度理论,第四强度理论,例 手摇绞车如图所示。轴的直径 ，其许用应力 ，试按第三强度理论确定绞车的最大起吊重量F。,解：轴的受力如图所示， 图中，,由第三强度理论得,解出,例 图 示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮 C 上
9、作用有铅垂切向力 5 kN，径向力 1.82 kN；齿轮 D上作用有水平切向力10 kN，径向力 3.64 kN 。齿轮 C 的节圆直径 d1 = 400 mm ,齿轮 D 的节圆直径 d2 =200 mm。设许用应力 =100 MPa ,试按第四强度理论求轴的直径。,解：(1) 外力的简化,将每个齿轮上的外力 向该轴的截面形心简化,B,A,C,D,y,z,5kN,10kN,300mm,300mm,100mm,x,1.82kN,3.64kN,1 kNm 使轴产生扭转,5kN ， 3.64kN 使轴在 xz 纵对称面内产生弯曲,1.82kN ，10kN 使轴在 xy 纵对称面内产生弯曲,(2) 轴的变形分析,T = 1kNm,圆杆发生的是斜弯曲与扭转的 组合变形,1,C,T 图,-,(3) 绘制轴的内力图,B 截面是危险截面,(4) 危险截面上的内力计算,B、C 截面的总弯矩为,(5) 由强度条件求轴的直径,轴需要的直径为,作 业,P280-286：8.38.16,
