1、33联赛导引(五) 平面图形 立体图形 空间向量一,基础知识导引, 直线,平面之间的平行与垂直的证明方法1,运用定义证明(有时要用反证法 ); 2,运用平行关系证明; 3,运用垂直关系证明; 4,建立空间直角坐标系,运用空间向量证明.例如,在证明:直线 直线 时.可以这样考虑ab(1),运用定义证明直线 与 所成的角为 ; (2),运用三垂线定理或其逆定理;09(3),运用“若 平面 , ,则 ”; (4),运用“若 且 ,则 ”;a/bcab(5),建立空间直角坐标系,证明 .b, 空间中的角和距离的计算1,求异面直线所成的角(1),(平移法 )过 P 作 , ,则 与 的夹角就是 与 的夹
2、角;/a a ab(2),证明 (或 ),则 与 的夹角为 (或 );bb09(3),求 与 所成的角( ),再化为异面直线 与 所成的角( ).0,(0,22,求直线与平面所成的角(1),(定义法 )若直线 在平面 内的射影是直线 ,则 与 的夹角就是 与 的夹角;abaa(2),证明 (或 ),则 与 的夹角为 (或 );/ 09(3)求 与 的法向量 所成的角 ,则 与 所成的角为 或 .n0093,求二面角(1),(直接计算 )在二面角 的半平面 内任取一点 ,过 P 作 AB 的垂线,ABAB交 AB 于 C,再过 P 作 的垂线,垂足为 D,连结 CD,则 ,故 为所求的二面角.C
3、D(2),(面积射影定理)设二面角 的大小为 ( ),平面 内一个平面图形 F09的面积为 ,F 在 内的射影图形的面积为 ,则 .(当 为钝角时取“ ”).1S2S21cosS(3),(异面直线上两点的距离公式): ,其中 是二面角2sEFdmn的平面角,EA 在半平面 内且 于点 A,BF 在半平面 内且 FBABABAB 于 B,而 , , .dABn(4),(三面角的余弦定理),三面角 中, , , ,又二面角SCSCASB34,则 .BSACcoscsin(5),(法向量法 )平面 的法向量 与平面 的法向量 所成的角为 ,则所求的二面角为12n(同类) 或 (异类).4,求两点 A
4、,B 间距离(1),构造三角形进行计算; (2),导面直线上两点间的距离公式; (3), 求 .AB5,求点到直线的距离(1),构造三角形进行计算; (2),转化为求两平行红色之间的距离.6,求点到平面的距离(1),直接计算从点到平面所引垂线段的长度; (2),转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (3),(体积法 )转化为求一个棱锥的高 ,其中 V 为棱锥体积,S 为底面面积, 为底3hSh面上的高.(4),在平面上取一点 A,求 与平面的法向量 的夹角的余弦 ,则点 P 到平APncos面的距离为 .cosdAP7,求异面直线的距离(1)(定义法 )求异面直线公垂线段的长; (2)
5、(体积法) 转化为求几何体的高; (3)(转化法 )转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (4)(最值法 )构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值; (5)(射影法 )如果两异面直线 在同一平面内的射影分别是一个点 P 和一条直线 ,ab l则 与 的距离等于 P 到 的距离 ; (6)(公式法) .abl 22cosdEFmn8,求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离., 多面体与旋转体1,柱体(棱柱和圆柱)(1)侧面积 ( 为直截面周长 , 为侧棱或母线长)(2)体积 ( 为底面积, 为高)Scl侧 l VShh2,锥体(棱锥与
6、圆锥)(1)正棱锥的侧面积 ( 为底面周长, 为斜高)(2)圆锥的侧面积:12h侧 chrl侧( 为底面周长, 为母线长)(3)锥体的体积: ( 为底面面积, 为高).rl 13VSh3,锥体的平行于底面的截面性质: .211,Sh4,球的表面积: ; 球的体积: .24SR34R二,解题思想与方法导引35ABCD1,空间想象能力; 2,数形结合能力 ; 3,平几与立几间的相互转化 ; 4,向量法三,习题导引, 选择题1,正四面体的内切球和外接球的半径之比为A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:92,由曲线 , , , 围成的图形绕 轴旋转一周所得的几何体的体24xy24xy积为 ;满足
7、 , , 的点 组成的图形绕1V1622()y2()4x(,)xy轴旋转一周所得的几何体的体积为 ,则y 2VA, B, C, D,12131212V3,如右图,底面半径 ,被过 A,D 两点的倾斜平面所截,截面是离心r率为 的椭圆,若圆柱母线截后最短处 ,则截面以下部分的AB几何体体积是A, B, C, D,3222(1)4,在四面体 ABCD 中,设 , ,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 ,则四1AB3CD3面体 ABCD 的体积等于A, B, C, D,322335,三个圆柱侧面两两相切,且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是 1,那么,与这三个圆柱侧面都相切的最
8、小球的半径是A, B, C, D,21125125146,四面体 ABCD 的顶点为 A,B,C,D,其 6 条棱的中点为 ,共 10 个12356,M点,任取 4 个点,则这 4 个点不共面的概率是A, B, C, D,577102435470, 填空题7,正方体 的棱长为 ,则异面直线 C 与 BD 间的距离等于 .ABCDaD8,正四棱锥 中, ,二面角 为 且 ,( ,S045ASBASBcosmn为整数),则 .nmn9,在正三棱锥 中, , ,过 A 作平面分别交平面 PBC 于 DE.当截面Pa2P36ABABCA1B1C1A BCD MKNS的周长最小时, ,P 到截面 ADE
9、 的距离为 .ADEADES10,空间四个球,它们的半径分别是 2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这四个球都相切,则这个小球的半径等于 .11,三个 的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成 A,B 两12片,如图,把这六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个多面体的体积为 .12,直三棱柱 中,平面 平面 ,且 =1ABC1ABC1A,则 AC 与平面 所成的角 的取值范围是 .31, 解答题13,如图,直三棱柱 中, ,连接 , ,11,若 ,求证:1CAB1ABC14,如图,设 是一个高为 3,底面边长为 2 的正四棱锥,SABCDK 是棱 SC 的中点 ,
10、过 AK 作平面与线段 SB,SD 分别交于 M,N(M,N 可以是线段的端点).试求四棱锥 的体积 VSAMKN的最大值与最小值.15,有一个 的长方体盒子,另有一个 的长方体盒子,mnp(2)(2)mnp其中 均为正整数( ),并且前者的体积是后者一半,求 的最大值., np37四,解题导引1,B 设棱长为 ,外接球的半径为 R,内切球的半径为 ,则ar22236()()RaR解得 , ,有 :R=1:3.64R63412ra2,C 设 ,则过 A 的两个截面都是圆环,面积分别是(0,)A和22()()xa,于是 .222124()(4)aa12V3,B 在椭圆中 ,又 ,得 ,所求的体积
11、1brc 2()4,B 过 C 作 ,以 为底面,BC 为侧棱作棱柱 ,则所求四面体的体/EABDABFECD积 等于上述棱柱体积 的 ,而 的面积 ,AB 与 CD1V2V3CE1sin2S的公垂线 MN 就是棱柱 的高,于是 =FVMN,因此 .21321235,A 三个圆柱的轴为三条两两垂直的异面直线,而异面直线的距离都为 2,则所求球的半径为.21r6,D .4061341720C7, 设 E 是 上的点,过 E 作 EH 于 H,所以 EH 面 ABCD,过 H 在面 ABCD3aDDC内作 HF ,连接 EF,所以 EF BD,令 , , ,所以 EF=BHxEax2Fx.2222
12、2333()() ()axxa38AB CD E APABCD EF O8,5 因各侧面为全等的等腰三角形.在 内作高 AE,则 CE 也是 的高,故SABSBC.设 则 , ,AEC1S12EC0452sinC22A= . ,020458sin(cos45) 2cos38E得 .38m9, ; 将三棱锥的侧棱 PA 剪开,当 的周长最小时,其展开图如图264a5AD的周长即是展开图中线段 的长.易证ADEAB ,又 PA=2AB= ,故 ,PBa2Da, . 中,3234PECBEDE 上的高 .于是215()8H; 从 P 向底面作高 PO.则 PO=213264ADESa 2PO= .于
13、是 .2()a 231314PABCVaa又 ,得 .设 P 到截面的距离2916PDEBCS 33966APDEAPB为 ,则 ,于是 .d 3134APDEAAEVdSa5da10, 设半径为 3 的球心为 A,B,半径为 2 的球心为 C,D.则易知61AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.设小球中心为 O,半径为 ,则 O 在r四面体 ABCD 内且 AO=BO=3+ ,CO=DO=2+ .取 AB 中点 E,连结rCE,DE,则 CE AB,DE AB,故平面 CDE 为线段 AB 的垂直平分面,所以 O 在平面 CDE 内,又由 OC=OD=2+ 知 O 在 CD 的垂直
14、平r分面 内,故 O 在等腰 底边 CD 上的高 EF 上(F 为 CD 中点),易算出 ED=EC=CED,得 为等边三角形.于是 EF= .而253432E2FOC= .OE= ,代入 OE+OF2()()rr2()(6)OArr39ABCA1B1C1SHH1=EF=2 得 ,解得 .3(4)(6)23rr61r11,864 将几何体补成一个棱长为 12 的正方体,几何体的体积为正方体体积的一半,为 .31212, 作 AD 于 D,易证 AD 平面 ,所以 .设 ,0031AB1ABCD1Aa,则 ,故 .易证 BC 平面 ,ABx23sinaxD23sinax1B故 ,从而 ,即 ,于
15、是 , ,09CABC22i031snasi又 ,得 .000313,证明:设 D, 分别为 AB, 的中点.连结 CD, 及 , .因为 ,所以1D11CD1BA1/D四边形 为平行四边形,得 / .因 AC=BC,于是 .又 D, 分别为BAB1A1AB, 的中点,故 CD AB, ,而 在平面 ABC(或 )内的射影为 AB11CC(或 ),得 CD, ,又已知 ,所以 平面 B ,从而1D1B1A1D1A,又 / ,所以 .又 ,得 平面 CD,从而得证.1BDA1BAC14,解:为了建立 V 与原四棱锥 的关系.我们先引用S下面的事实:(如图)设 分别在三棱锥 的侧棱 SA,SB,S
16、C 上,1,C又 与 的体积分别是 和 V,则SAB1V.11V事实上,设 C, 在平面 SAB 的射影分别是 H, .则 ,1C1H1CS又 ,所以 .下面回到原题.11SAB111 13SABV设 , ,因 的体积为 .于是由上面的事实有MxNyDSC2034V.得 =012SAKMAKSANBSSBDCVV SMASNKBDC40A BCDB1C1D1A1= ,于是 ,SMKASNBCD12xyxy31x而由 , ,得 .则 ,( ).013xyV2又得 .所以 22(3)()xV(1)当 时, ,V 为减函数,(2)当 时, ,V 为增函数.123x013x0所以得 ,又 ,得 .mi
17、n234x12xVmax123xV15,解:由题意, ,得 .()()pnp()()2np(1)当 时,由 ,则 ,矛盾!832(1)(1)(8m(2)当 时, ,矛盾!2m(1)()np(3)当 时,则 ,即 .3652(10)120np所以 的最大值为 130;p(4)当 时,则 ,即 .43()np(6)48所以 的最大值为 54;(5)当 时, ,得 .5m22(1)()1()15mn9p综上所述: 的最大值为 130.p参考题(如图)在棱长为 1 的正方体 ABCD 中,1-ABCD(1)求异面直线 B 与 C 所成的角的大小;( )A06(2)求异面直线 B 与 C 之间的距离;( )1 3(3)求直线 B 与平面 CD 所成的角的大小;( )11 0(4)求证:平面 BD/平面 C ;(略)A1D(5)求证:直线 A 平面 BD;(略) (6)求证:平面 AB 平面 BD;(略)11C141(7)求点 到平面 C 的距离;( )(8)求二面角 C 的大小.( )1A1BD31AB1D6arcos3
