1、第一周：P9. 2证明：用反证法，假设存在一个孤立节点，则根据简单图的定义，刨去这个孤立节点后的图仍然是简单图。而对节点数为 n-1 的简单图存在不等式： )2n(1m而题目中的条件为： )(2矛盾，所以假设不成立，G 中不存在孤立节点。P9. 3证明：在有向完全图中，任意一个结点的总度数 1n)v(d)(ii 所以， 0)v(d)(1)-n( )v(d(1-n)()()v(dVvVii Vviiii iiii2Vi2Vii i ii iii所以，等式两边相等。证毕。-第二周：P10. 7 图的同构答：a 图的出度序列是 22a，11a ，22b，03，11b，30；b 图的序列是11c，22
2、c，22d，11d，03，30，两图可能同构，但是还需要看具体能否找到映射。为了利用上面的信息，这里把节点的名字改写（实际上上面已经是改写后的节点名称了） 。然后我们对左图写出每个节点的出边的入射点，如果我们存在一个映射使得这种列表是同构的，那么原图就同构。列表如下，注意左图是按照原始的节点顺序，右图不是，而是为了方便找到映射，改变了节点在列表中的顺序。左图 右图22a-11a、03 22c-11c, 0311a-11b 11c-11d22b-22a, 03 22d-22c, 0303 0311b-22b 11d-22d30-22a, 22b, 03 30-22c, 22d, 03比较显然的是
3、，存在这样的映射，对应到原图这个映射是（1，b）, （2，a）, （3，c）, （4，e）, （5，d）, （6，f） 。P10. 81.8.1 邻接矩阵0 1 0 1 0 00 0 0 0 1 01 0 0 1 0 00 0 0 0 0 00 0 1 0 0 01 0 1 1 0 01.8.2 关联矩阵为了写出关联矩阵，我们需要对边进行排序，排序要有个规则，规则是首先按照节点顺序，对于同一个节点，按照顺时针的方向排序，这样比较有规律，需要说明的是，课本上貌似是按照节点顺序的，但是对于同一个节点，其排边的顺序不是很统一。1 -1 1 -1 0 0 0 0 0-1 0 0 0 1 0 0 0 0
4、0 1 0 0 0 1 -1 -1 00 0 -1 0 0 -1 0 0 -10 0 0 0 -1 0 1 0 00 0 0 1 0 0 0 1 11.8.3 边列表1 3 1 6 2 3 5 6 62 1 4 1 5 4 3 3 41.8.4 正向表1 3 4 6 6 7 10 Null null2 4 5 1 4 3 1 3 4P35.1 证明：设 G 的 k 个连通支的结点数分别为 n1，n 2，n k，易知 n1+n2+nk = n。对于任意的 ni，另外（k-1）个连通支至少有（k-1）个结点所以， )1k(ni对每个连通支， （完全图达到最大值）2mii)kn(1-(2 )1n(.
5、)1( )1n(k-(2.k-2)n(1k-(2 .)1n)1n(. kk222所以，得证。P35.2证明：若 G 为非连通图，设 G 有 k 个连通分支，则 G 中某连通支内任意点与其余（k-1）各连通支的点无连线，那么在 中这个点与其余（k-1）个连通支的点都有连线。_所以，不同连通支中的任意两个点之间在 中都有连线。_在 G 中位于同一连通支内的任两点，在 中可以通过与其余（k-1 ）个连通支的某一点相连而形成通路。所以， 为连通图。_同理，若 非连通，则 G 连通。证毕。P35.3证明思路：设（v 1v2）和（v 3v4）是连通图 G 的两个不相交的最长道路，由连通性知 v2 和 v3
6、 之间存在道路。因此，道路（v 1v2v3v4）必大于（v 1v2）和（v 3v4）与题设矛盾所以，不存在两条不相交的最长道路-第三周：1、 当 m 和 n 为何值时，二分图 Km，n 是欧拉图？解：K m，n 是完全二分图两个顶点集合 |V1| = m，|V 2| = nV1 中任一节点的度为 m，V 2 中任一节点的度为 n每个节点的度为偶数时该图为欧拉图所以，m，n 均为偶数时，满足题目要求。P35.4证明：用数学归纳法。n=4，命题成立。n=5 时假设命题成立，n+1 时，若图中有度小于等于 2 的点 V，则 G-V 是有 n 个结点的图，且满足 m= 2 ，则必然 vi 与 v1 之间有边相连，且 vi 不属于 l（树中不存在回路）则（vi，v1，v2。 。 。vk）的长度大于 l ，得出 l 不是极长道路，与假设矛盾所以，v1 是树叶，同理可证 vkP66.4解：（a） 树的数目= = 101420113（b） 树的数目= = 44420（c） 树的数目= = 603201413-第九周：P67.10（1） 基本回路矩阵 = e764e385e2110101（2） 基本割集矩阵 = e865e274e31100-01-
