1、用心 爱心 专心聚焦位于第一象限的双一次函数图像山东沂源县徐家庄中学 左效平 256116一、已知两条直线交点坐标的双一次函数图像问题例 1、已知如图 1 所示，直线 l1 表示某机床公司一天的销售收入与机床地的销售量的关系，直线 l2 表示该公司一天的销售成本与机床销售量的关系。请根据图像回答下面的问题：（1） 、当 x=1 时，销售收入为 万元，销售成本为 万元，利润（收入-成本）为 万元。（2）一天销售 件时，收入成本与销售成本相等。（3）直线 l1 对应的函数表达式是 。直线 l2 对应的函数表达式是 。（4）你能写出利润 w 万元与销售量 x 件之间的函数关系吗？分析：解答这类函数图
2、像问题时 ，同学们要能遵循如下的思路问题可能会比较顺利的获得求解。具体的思路为：写出图像上能表示的关键点的坐标：直线 l1 上的两个关键点，坐标分别为（ 0，0）和（2，2） ；直线 l2 上的两个关键点，坐标分别为（ 0，1）和（2，2） ；结合图像设出函数的解析式，把中的关键点分别代入所设的函数解析式中，求出函数的解析式。充分理解图像交点的意义：此时，对两个函数来说，函数自变量的值相等，对应的函数值也相等。会根据函数的性质，比较函数值的大小。解：因为，直线 l1 经过点（0，0 ） ，所以，直线 l1 是正比例函数，设 y1=k1x，又因为，直线 l1 经过点（2， 2） ，用心 爱心 专
3、心所以，2=2 k 1，所以，k 1=1，即 y1=x；因为，直线 l2 经过点（0，1 ） ，不经过原点，所以，直线 l2 是一般地一次函数，设 y2=k2x+1，又因为，直线 l2 经过点（2， 2） ，所以，2=2 k 2+1，所以，k 2=0.5，即 y2=0.5x+1；所以，直线 l2 的解析式为： y2=0.5x+1；所以，(1)、当 x=1 时，y 1=x=1（万元） ；y 2=0.5x+1=1.5（万元） ；所以，当 x=1 时，销售收入为 1 万元，销售成本为 1.5 万元，利润（收入-成本）为 1-1.5=-0.5（万元） 。（2）仔细观察图像，发现当一天销售 2 件时，收
4、入成本与销售成本相等。（3）根据上面的解答，知道直线 l1 对应的函数表达式是 y1=x；直线 l2 对应的函数表达式是 y2=0.5x+1； （4）根据利润=收入-成本的原理，所以，w= y 1-y2=x-（0.5x+1）=0.5x-1。例 2、如图 2 所示，OA、BA 分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图像。图中 s 和 t 分别表示运动路程和时间，根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快 ：(A) 2.5 米 (B )2 米 (C)1.5 米 (D) 1 米分析：直线 OA 上的两个关键点，坐标分别为（0，0）和（8， 64） ；直线 BA 上的两个关键点，坐标分别为（0，12）和（
5、8，64） ；并且直线 OA 是正比例函数，直线 BA 是一次函数，利用待定系数法分别求出函数的解析式，x 的系数的差，就是甲乙的速度的差。解：因为，直线 OA 经过点（0，0） ，所以，直线 OA 是正比例函数，设 y1=k1x，又因为，直线 l1 经过点（8， 64） ，所以，64=8k 1，所以，k 1=8，即 y1=8x,也就是说甲的速度是每秒 8 米；因为，直线 BA 经过点（0，12） ，不经过原点，所以，直线 BA 是一般地一次函数，设 y2=k2x+12，用心 爱心 专心又因为，直线 BA 经过点（8，64） ，所以，64 =8 k 2+12，所以，k 2=6.5，即 y2=6
6、.5x+12；所以，直线 BA 的解析式为：y 2=6.5x+12, 也就是说乙的速度是每秒 6.5 米；所以，甲乙的速度之差为 8-6.5=1.5（米） 。所以，选择 C。二、已知两条直线交点的某一个坐标的双一次函数图像问题例 3、如图 3 所示，是甲、乙两个弹簧的长度 y（厘米）与所挂重物 x（kg）之间的函数关系图，当所挂重物的质量为 1kg 时，甲弹簧的长度与乙弹簧的长度的差是 。分析：在这里，关键是理解图像交点坐标的意义，当弹簧挂重物的质量等于交点的横坐标时，两个弹簧的长度是相等。从图像上看出，甲、乙两根弹簧图像的交点的横坐标为 1，此时，两根弹簧的长度是相等的，所以，甲弹簧的长度与
7、乙弹簧的长度的差是 0.解：甲弹簧的长度与乙弹簧的长度的差是 0.例 4、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶 x 千米，应付给个体车主的月费用是 y1 元，应付给出租车公司的月费用是 y2 元，应付给出租车公司的月费用是 y1、y 2 分别与 x 之间的函数关系图像(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：1. 每月行驶的路程在什么范围内，租国营公司的车合算？ 2. 每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？3. 如果这个单位估计每月行驶的路程为 2300 千米，那么这个单位租哪家的车合算分析：本题是考查学生对一次函
8、数图像的识图能力，和解释图像所反映的实际生活问题的意义的能力。在这里，两条图像的交点，表示当行驶 1500 千米时，付给个体车主的月费用和付给出租车公司的月费用是相等的，除这个点外，所要支付的费用就不会再相等了。图像在上，就意味着多支付费用。只要理解了这些，本题的解答就显得那么的容易了。此时，交点的横坐标成为了判断哪一种方式更合算的分界点。解：1）从图像上，可以看出，当 x1500 时，y 1 y 2。 所以当每月行驶的路程在 x1500 千米的范围内时，租国营公司的车合算。用心 爱心 专心2、 从图像上，可以看出，两条图像的交点，表示当行驶 1500 千米时，付给个体车主的月费用和付给出租车
9、公司的月费用是相等的，所以每月行驶的路程等于 1500 千米时，租两家车的费用相同。3、 如果这个单位估计每月行驶的路程为 2300 千米，因为 23001500，根据 1）的意义可以知道租国营公司的车合算。例 5、一条高速公路上，一辆轿车和一辆货车沿相同的路线从 A 地开往 B 地，所行驶的路程 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系图像如图 5 所示，请你根据图像，回答下面的问题：（1）货车比轿车早出发 小时；轿车追上货车时，行驶了 千米；A 地到 B 地的路程是 千米。（2）轿车追上货车时，轿车行驶了 小时。（3）轿车比货车早到 小时。分析：（1）货车比轿车早出发的时间，从时间轴上的
10、直线起点的差上找答案，货车的起点横轴上的坐标为 0，轿车在横轴上的坐标为 1，所以，坐标的差是 1，也就是货车比轿车早出发 1 个小时；轿车追上货车时，行驶的路程，就是看交点的坐标的纵坐标的值，看坐标在 y 轴的正半轴上所对应数值是 150，因此，轿车追上货车时，行驶了 150 千米；A 地到 B 地的路程，就是图上点 N 的纵坐标 300，所以，A 地到 B 地的路程是 300 千；（2）货车行驶的路程与时间的函数关系是正比例函数，设 y=kx，根据图像，知道图像还经过（5，300） ，所以，300=5k，解得：k=60 ，所以，函数的解析式为：y=60x，设交点的坐标为（t，150） ，所
11、以，150=60t ，解得：t= 2.5，即货车行驶 2.5 小时，两车相遇 ,由于货车比轿车早出发 1个小时,所以, 轿车追上货车时，轿车行驶了 1.5 个小时；（3）设轿车的函数关系式为：y=kx+b，把 x=1，y=0 和 x=2.5，y=150 分别代入上式，得：用心 爱心 专心k+b=0 ，2.5 k+b=150，解得：k=100，b=-100，所以，函数的解析式为：y=100x-100，当 y=300 时，300=100x-100，解得：x=4，所以，轿车行驶全程用时间为：4（小时） ，而货车走完全程所用的时间为 5 小时，所以，轿车比货车早到 1 个小时。解：答案略。三、隐藏两条
12、直线交点坐标的双一次函数图像问题例 6、为迎接 2008 年北京奥运会，某学校组织了一次野外长跑活动，参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威。如图 5，线段 L1，L 2分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程 y（千米）随时间 x（分钟）变化的函数图象。根据图象，解答下列问题：（1）分别求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程 y 与时间 x 的函数表达式；（2）求长跑的同学出发多少时间后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学？（08 年宜宾市）分析：解答这类函数图像问题时 ，同学们要能遵循如下的思路问题可能会比较顺利的获得求解。具体的思路为：写出图像上能表示的关键点的坐
13、标：直线 l1 上的两个关键点，坐标分别为（ 0，0）和（60，10） ；直线 l2 上的两个关键点，坐标分别为（ 20，0）和（40，10） ；结合图像设出函数的解析式，把中的关键点分别代入所设的函数解析式中，求出函数的解析式。用心 爱心 专心充分理解图像交点的意义：此时，对两个函数来说，函数自变量的值相等，对应的函数值也相等。解：因为，直线 l1 经过点（0，0 ） ，所以，直线 l1 是正比例函数，设 y1=k1x，又因为，直线 l1 经过点（60 ，10） ，所以，10 =60 k 1，所以，k 1= ，即 y1= x；6因为，直线 l2 经过点（20， 0） ，不经过原点，所以，直线
14、 l2 是一般地一次函数，设 y2=k2x+b，所以，20 k 2+b=0又因为，直线 l2 经过点（40 ，10） ，所以，10 =40k 2+b，所以，k 2=0.5，b=-10，即 y2=0.5x-10；所以，长跑的函数解析式为： ,骑车的函数解析式为：16yx102yx（2）因为，骑自行车的同学就追上了长跑的同学的意义就是两队相遇的意思，此时，坐标的特点是实现了两个“同” ，即此时函数的横坐标相同，对应的纵坐标相同，也就是求两个函数图像的交点坐标，所以，联立两个解析式，得方程组： ，1602yx解得：x=30,y=5,即长跑的同学出发了 30 分钟后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学。
15、例 7、我边防局接到情报，近海处有一艘有一只可疑船只 A 正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇 B 追赶，如图 7 所示，在图 8 中，直线 l1、l 2 分别表示两船相对于海岸的距离 s（海里）与追赶时间 t（分）之间的函数关系。根据图像回答下列问题：（1）哪条线表示 B 到海岸的距离与追赶的时间之间的函数关系？（2）A、B 哪个的速度快？（3）15 分钟内 B 能追上 A 吗？（4）如果一直追下去 B 能追上 A 吗？用心 爱心 专心（5）当 A 逃到离海岸 12 海里的公海时， B 将无法对其进行检查，照此速度，B 能否在 A逃入公海前将其拦截？分析：解答这类函数图像问题时 ，同学们要能
16、遵循如下的思路问题可能会比较顺利的获得求解。具体的思路为：写出图像上能表示的关键点的坐标：直线 l1 上的两个关键点，坐标分别为（0，0）和（10，5） ；直线 l2 上的两个关键点，坐标分别为（0，5）和（10，7） ；结合图像设出函数的解析式，把中的关键点分别代入所设的函数解析式中，求出函数的解析式。解：因为，直线 l1 经过点（0，0 ） ，所以，直线 l1 是正比例函数，设 y1=k1x，又因为，直线 l1 经过点（10 ，5） ，所以，5 =10 k 1，所以，k 1=0.5，即 y1=0.5x；因为，直线 l2 经过点（0，5 ） ，不经过原点，所以，直线 l2 是一般地一次函数，
17、设 y2=k2x+5，又因为，直线 l2 经过点（10 ，7） ，所以，7 =10 k 2+5，所以，k 2=0.2，即 y2=0.2x+5；所以，直线 l2 的解析式为： y2=0.2x+5；用心 爱心 专心所以，（1）因为 t=0 时，s=0 是 B 船的最大特点，所以，直线 l1 表示 B 到海岸的距离与追赶的时间之间的函数关系；（2）A、B 哪个的速度快，有三种方法来判断：比较 x 的系数大小：因为，B 的 x 的系数是 0.5， A 的 x 的系数是 0.2，所以，B 的速度快；比较等时间内增量的大小：对于 B 来说，当时间 t 从 0 增到 10 时，对应的函数值从 0 增到 5，
18、增量为 5；而对于 A 来说，当时间 t 从 0 增到 10 时，对应的函数值从 5 增到 7，增量为 7-5=2，所以，B 的速度快；比较图像的倾斜度：仔细观察图像 不难看出 B 的倾斜度大，所以，B 的速度快；评析：比较 x 的系数大小，系数大的速度大；比较等时间内增量的大小，增量大的，速度大；比较图像的倾斜度，与 x 轴的夹角大的速度大。（3）15 分钟内 B 能追上 A 吗？这一问的意思，就是当 t=15 分时，求出对应的函数值，比较而者的大小。解：当 t=15 时，y1=0.5x=0.515=7.5y2=0.2x+5=0.215+5=8；y1y 2，所以，15 分钟内 B 不能追上
19、A；（4）如果一直追下去 B 能追上 A 吗？这一问，实际上就是问你，这两条直线是否有交点的问题，当然，也就是直线是平行还是相交的问题，只有当函数的 x 的系数相等时，直线是平行的，否则，就一定相交，在这里 x 的系数分别是 0.2 和 0.5，所以，两条直线一定相交，所以，一直追下去 B 一定能追上 A。（5）当 A 逃到离海岸 12 海里的公海时， B 将无法对其进行检查，照此速度，B 能否在 A逃入公海前将其拦截？对于这一问，我们应该这样去理解，就是求出交点的坐标，比较交点坐标的纵坐标与 12 的大小，如果交点坐标的纵坐标小于 12，说明能拦截；用心 爱心 专心如果交点的纵坐标大于等于 12，说明正好不能拦截。因此，问题的关键，就转换成求直线的交点坐标问题了。因为，y 1=0.5x，y 2=0.2x+5，所以，0.5x=0.2x+5 ，解得：x= ，所以，y= 0.5x=0.5 = =12，35035026所以，照此速度，B 能在 A 逃入公海前将其拦截。希望以上的看法，能对同学们学习一次函数的知识有所帮助。
