1、陕西理工学院毕业论文第 1 页 共 11 页非周期函数的 Fourier展开方法及其应用刘兴坤(陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学 092班,陕西 汉中 723000)指导教师:王树勋摘要主要讨论如何将定义在a,b满足 Dirichlet条件的非周期函数展成 的 Fourier级数.在不同的方法()fx中加以利用.关键词函数;Fourier 级数;Dirichlet 条件；延拓引言通过对周期函数的 Fourier展开的学习,对周期函数的 Fourier展开进行研究,发现对于非周期函数并没有展开式,所以,运用周期延拓,变换等手段给出在任意区间上的函数的 Fourier展开方法与公式.
2、1引 理若在整个数轴上=()fx01(cosin)2naxb且等式的右边级数一致收敛，则有如下关系式： ()s,01,2nfd， ，1inbx， ，2定理 1设 的周期为 ,在区间 上作变换 ,则()fx2T,xTTxt()(tftf所以定义在 上的周期为 的函数.就有(,)t2,t01(cosin)natbt代回变量,即陕西理工学院毕业论文第 2 页 共 11 页()fx01(cos)sin)2naxxbT相应的 Fourier系数为= = (n=0,1,2,)，na()costndt-()cos,Txfd= = ，(n=1,2，).b1i1inT例 1 将 = 展开为 Fourier级数.
3、()fx20-,，解 令 ，计算 的 Fourier系数：T()f= =0-1()Tafxd120x3对 n=1,2,，利用分部积分法= = =n-()cosnfTT120cosnd2-1n（ ） ，= = = ，nb1()iTxfd120ix13()1nn（ -）于是得到 的 Fourier级数()fx+ .f 21-cos6nx（ ） 1321-sinnn x（ ） （ ）3定 理 13.1设 , ,且 满足 Dirichlet条件，则 可以展成 Fourier级数：()fxab()fx()fx其中 为常数000122(cossin2-nuuba0u(n=0,1,2,)，0()()bnax
4、fd(n=1,2,).2sinua当 为 的连续点时，该级数收敛于 ；当 为 的间断点时，x()f ()fx()fx该级数收敛于 ;(0)(2fxf当 时，ab、陕西理工学院毕业论文第 3 页 共 11 页该级数收敛于 .(0)()2fxf证明 作变换 ,则 ,当 时, ,且：0ut0utxab0,tub01(cossin)2-naba其中:=na2()csbatGtd= ontt= 2()csbatdta=-202()obantfutb= (n=0,1,2,)，0)cs-baxfda同理可得：= (n=1,2,).n 02()2()in-bauf由于当 为 的连续点时， = = ,x()fx
5、f()fx故当 为 的连续点时该级数收敛于 ;当 为 的间断点时，该级数收敛于 ;x()f (0)()2ff当 时，由于 ,ab、 (0),fafafb,()(b故此时该级数收敛于 .()2fxf3.1.1 该定理把定义在 上的非周期函数 展成了 Fourier级数，且给出了它的展开公式。,a()fx3.1.2 公式中的 为任何一个常数，当 取不同的值时，可以得到 的无穷多个展开式，从而0u0u()fx说明：定义在 上的函数 的 Fourier展开式不是唯一的。,ab()fx3.1.3 特别的,取 的一些特殊值,可得 的一些常见的展开式:0()f陕西理工学院毕业论文第 4 页 共 11 页 令
6、 = 得 的 Fourier展开式为:0u()fx012cossin)2-nattbaa其中:= (n=0,1,2,)，n()s-baxfd= (n=1,2,).22ina令 = 得 的 Fourier展开式为：0ua()fx0122cossin2nxxaab （ ） （ ）其中: = (n=0,1,2,)，n -)()s-baafxdx（= (n=1,2,).22in（ 令 ,得 的 Fourier展开式为：0ub()fx0122cossin2naxbxbaa（ ） （ ）其中:= (n=0,1,2,)，n )()sbafxdx（= (n=1,2,).22inba（ 令 = ，得 的 Fou
7、rier展开式为：0ua()fx0122cossin2nbxaba（ ） （ ）其中:= (n=0,1,2,)，na)()sbaxfdb（= (n=1,2,).22ina（3.1.4 定理中的区间还可以为开区间或半开区间，也可以为无穷区间。当区间为无穷区间时要求在该区间上绝对可积。()fx陕西理工学院毕业论文第 5 页 共 11 页4 定理 24.1 设非周期函数 在 上有定义，则函数()fx-，= ， ，k=0 F2k(21)()xk， 12， ，称为非周期函数 的周期延拓，()fx延拓后的函数 在 上是周期为 2 的周期函数，并且在 上有 =)， ()， ()Fxf端点处收敛 (0)(2f
8、f例 2 将函数 展开为 Fourier级数.,0()xf解 所给函数满足 Dirichlet条件.拓展周期的函数的 Fourier级数展开式在 收敛于 .， ()fx= = =0a1()fxd0011()fxddcosnn= 0()()cosfxfxn= 2cs -1n= ()n= 24,1,2,(1)0kkn()sinbfxd= 0011()sinfxd(n=1,2，),y陕西理工学院毕业论文第 6 页 共 11 页所求 Fourier级数为:214()cos(1)2()nfxnx()x推广:利用 Fourier展开式求出几个特殊级数的和因为 21()cs()()nfxx当 时， 0x,0
9、)(f22835,413122设),8(521,61422 ,4132123,212,126212134.2 非周期函数的奇偶延拓设 定义在 上,延拓为 为周期的函数()fx0 ()Fx令 (),0fxFg且 ,(2)(x则有如下两种情况 .偶 延 拓奇 延 拓4.2.1 奇延拓 ()gxf则 0)(0)(xfF的 Fourier 正弦级数)(xf陕西理工学院毕业论文第 7 页 共 11 页)(xfnxbnsi1)0(4.2.2 偶延拓 )(gf则 0)()xFf的 Fourier 余弦级数(xf)f02a1sinbx)0(例 3 将函数 分别展开成正弦级数和余弦级数 .(xf解 (1)求正弦
10、级数.对 进行奇延拓,)(f02()sinnbfxd= 1= (cos)n=,6422,531n当 当(0x )1()sii()sin3xxx (2) 求余弦级数对 进行偶延拓,)(f=0)1(2dxa,2cosnn)(2,531464202n当当陕西理工学院毕业论文第 8 页 共 11 页22411(cos3cos52xxx例 4 把 (0x2)展成f)(（1）正弦级数； （2）余弦级数 解 （1）将 作奇周期延拓,则有)(xf),210(nan20sixbd220cosinxn4s1()(,2)n(0x2)14()sinxfx(2)将 作偶周期延拓,则有)(f=220dxa20cosnn2
11、20icosxnx24(1)n= (k=1,2,)12(,)k(802k所以 = (0x2)xf)(122cos)(k x说明: 此式对 也成立，据此有021()k陕西理工学院毕业论文第 9 页 共 11 页由此还可以导出12n21()k12)(k= 1248n所以 612n4.3 任意区间上非周期函数的 Fourier展开方法方法 1 ,)(baxf令 即,2z2abxz)()(afxzF,周期延拓 在 上展成 Fourier级数,b将 带入展开式 在a,b上的 Fourier级数2abxz)(xf方法 2 ,)(f令 ,即za()(),Ffx0,zb奇偶式周期延拓 在 上展成正弦或余弦级数
12、z0b将 代入展开式a在 上的正弦或余弦级数)(xf,b例 5 将函数 展开成 Fourier级数 .)15(10)(xf解 作变量代换 ，z,-z=)10()fx)(F补充函数 的定义，zF5令 然后将 作周期延拓(5),()10T（ ）其拓展的周期函数满足收敛定理的条件，且展开式在 内收敛于 .）（ 5,()Fz陕西理工学院毕业论文第 10 页 共 11 页),210(,nan50sidzzb,)(n),(,5si)1(0)(nzzF)5(z所以 1()0si(10)nxx1()i.5n)5(一般的，奇延拓的收敛域不包括端点，偶延拓的收敛域包括端点参考文献1 陈纪修、于崇华、金路数学分析下
13、册，M北京:高等教育出版社;2 沈满昌 数学分析M 北京:高等教育出版社;3 高尚华 数学分析M(第三版). 北京:高等教育出版社;4 王树勋 非周期函数展成 Fourier级数的方法J陕西:陕西理工学院学报第 4期.5 华东师范大学数学系.数学分析上册M.高等教育出版社.6 梁昆淼.数学物理方法M.北京:人民教育出版社.7 楼建华,李晓波,毕成良.关于周期函数的傅里叶级数的一个注记J. 数学的实践与认识. 8 赵世安.函数的周期性J. 广西右江民族师专学报. 9 史颐庆.有关周期函数一个定理的改进J. 安徽教育学院学报(自然科学版). 10 熊元新,刘涤尘.傅里叶级数的收敛性与吉伯斯现象J.
14、 武汉大学学报(工学版). 11 James S Walker.Fourier series. “Encyclopedia of PhysicalScience and Technology“ . 陕西理工学院毕业论文第 11 页 共 11 页The method of Fourier expansion for apeiriodic function and applicationLiuXingkun（Grade09,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics,School of Mathematics and Computer Sci
15、ence,Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723001，Shaanxi）Tutor: Wang ShuxunAbstract: The article mainly discusses how to expand aperiodic function that defined in a, b Dirichlet conditions into Fourier series. Use them in different ways.key words: function; Fourier series; Dirichlet conditions; continuation
