1、北京大学 20032012 学年 量子力学考研真题与原子物理试题答案题号 一 二 三 四 五 总分得分学院： 班级： 学号： 姓名： 可能会有用的公式：薛定谔方程： Hit一维定态薛定谔方程： 2dVxExm动量算符： pix高斯积分：2ed一。30 分 一维无限深方势阱：质量为 的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为：m0;,xaV1。10 分 求解能量本征值 和归一化的本征函数 ；nE()n2。5 分 若已知 时，该粒子状态为： ，求 时刻该粒子的波函数；0t12,0()xxt3。5 分 求 时刻测量到粒子的能量分别为 和 的几率是多少？t124。10 分 求 时刻粒子的平均能量 和
2、平均位置 。Ex解：1）10 分2sinnxaEm2）5 分,niEtnnxte时刻的波函数：12,()()2iEtiEttxexe3）5 分 时刻测量到粒子的能量为 的几率是：t1211,tt时刻测量到粒子的能量为 的几率是：2E2x4）10 分平均能量： 215,4Extttixtma平均位置： 1226,cos9tatt二。30 分 一维线性谐振子：质量为 的粒子在一维线性谐振子势： 中运动。按占有数表象，哈密顿可写为： 。这里m2()mxVA12Ha是湮灭算符， 是产生算符：aA2iaxpmi已知一维线性谐振子基态波函数为：1。10 分 利用产生算符性质： ，求线性谐振子第一激发态在坐
3、标表象下的波函数： ；（01ax1x）1240mxe2。10 分 假设粒子处在基态 ，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为 ，粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是0x2什么？3。10 分 假设这时粒子波函数仍然保持不变（ ） ，此时测量粒子能量，发现粒子能量取新的基态能的几率是124mxxe多少？解：1）10 分A12402mxmixaxpe利用： ， ，其中：A,dpi201/4210 1/4221/42 21/41/43/22 22141/43/214 expexpeexpxpeidxamdd20x2）10 分新基态能： 02E新基态波函数： 1 12 24 40mxmxxee3）10
4、 分测量粒子能量取新基态能的几率： 221/40 0.94283wx 三。40 分 两电子波函数：考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。1。15 分 假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为： 。求： 和 的本征值；12SsSz2。15 分 假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数， 和 的本征值；2Sz3。10 分 假设两电子系统哈密顿量为： ，分别针对（1） （2）两种情形，求系统的能量。2HJs解：1）15 分自旋三重态（spin triplet）空间部分波函数是反对称的，自旋部分应对称： 12s对应总自旋平方 本征值为：S2对应总自旋第三分量 本征值分别为：z,02）15 分 自旋单态（spin singlet）空间部分波函数是对称的，自旋部分应反对称： 12A对应总自旋平方 本征值为：02S对应总自旋第三分量 本征值分别为：0z3）10 分哈密顿： ，利用：12HJs2211Sss针对自旋三重态： ，对应能量：21234s24TJE针对自旋单态： ，对应能量：2212034s23SJ
