高考题汇编立体几何.doc

1、12010 年高考数学试题分类汇编 立体几何（2010 浙江理数） （6）设 l， m是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（A）若 l， ，则 （B）若 l， lm/，则 （C ）若 /， ，则 l/（D）若 /， ，则 l/解析：选 B，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题（2010 全国卷 2 理数） （11）与正方体 1ABCD的三条棱 AB、 1C、 D所在直线的距离相等的点（A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个 （D）有无数个【答案】D【解析】

2、直线 上取一点，分别作 垂直于 于 则分别作，垂足分别为 M，N，Q，连 PM，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN PM ；PQAB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，PM=PN=PQ，即 P 到三条棱 AB、CC 1、A 1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选 D.（2010 全国卷 2 理数） （9）已知正四棱锥 SABCD中， 23S，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1 （B） 3 （C）2 （D）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为 a，则高 所以体积2，设 ，则 ，当 y 取最值时， ，解得

3、a=0 或 a=4 时，体积最大，此时 ，故选 C.（2010 陕西文数）8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 B（A）2 （B）1（C） 3（D） 3解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为 1212（2010 辽宁文数） （11）已知 ,SABC是球 O表面上的点， SABC平 面 ， A，1SAB， 2C，则球 的表面积等于（A）4 （B）3 （C）2 （D）解析：选 A.由已知，球 的直径为 2RSC， 表面积为 24.R（2010 辽宁理数）(12) (12)有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条，使这六根铁条

4、端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a 的取值范围是(A)（0, 62） (B)（1, ）(C) ( , ） (D) （0, 2）【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。【解析】根据条件，四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为 2 的正三角形，三条侧棱长为 2，a，a，如图，此时 a 可213以取最大值，可知 AD= 3，SD= 21a，则有 21a0;综上分析可知 a（0, 62）（2010 全国卷 2 文数） （11）与正方体 ABCDA1B1C1D1 的三条棱 AB、CC

5、 1、A 1D1 所在直线的距离相等的点（A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个（C ）有且只有 3 个 （D ）有无数个【解析】D：本题考查了空间想象能力到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，三个圆柱面有无数个交点，（2010 全国卷 2 文数） （8）已知三棱锥 SABC中，底面 为边长等于 2 的等边三角形，SA垂直于底面 BC， SA=3，那么直线 与平面 所成角的正弦值为（A） 34 (B) 54(C) 7 (D) 3【解析】D：本题考查了立体几何的 线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于

6、E，连结 SE，过 A 作 AF 垂直于 SE交 SE 于 F，连 BF，正三角形 ABC， E 为 BC 中点， BCAE，SABC， BC面 SAE， BCAF，AFSE， AF面SBC，ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角，由正三角形 边长 3，3AE，AS=3， SE= 23，AF= ，sin4BF（2010 江西理数）10.过正方体 1ACD的顶点 A 作直线ABCSEF4L，使 L 与棱 AB, D, 1所成的角都相等，这样的直线 L 可以作A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一

7、类：通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1， 第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2 条棱夹角相等，有 3 条，合计 4 条。 （2010 安徽文数） （9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A）372 （B ）360 （C ）292 （D）2809.B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。2(1082)(682)360S.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧

8、面积之和。（2010 重庆文数） （9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A）只有 1 个 （B）恰有 3 个（C）恰有 4 个 （D）有无穷多个解析：放在正方体中研究,显然，线段 1O、EF、FG、GH、HE 的中点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离都相等，所以排除 A、B、C，选 D亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD 的距离相等（2010 浙江文数） （8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（A） 352cm3（B ） 0cm3（C ） 4cm3（D） 16cm3解析：选 B，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的

9、计算，属容易5题（2010 山东文数）(4) 在空间，下列命题正确的是A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行答案：D（2010 北京文数） （8）如图，正方体 1ABCD-的棱长2，动点 E、F 在棱 1AB上。点 Q 是 CD 的中点，动点P 在棱 AD 上，若 EF=1，DP=x， 1E=y(x,y 大于零)，则三棱锥 P-EFQ 的体积：（A）与 x，y 都有关； （B）与 x，y 都无关；（C）与 x 有关，与 y 无关； （D）与 y 有关，与 x 无关；答案：C（2010 北京理数）(8)如图，正方

10、体 ABCD- 1AC的棱长为 2，动点 E、F 在棱 1AB上，动点P，Q 分别在棱 AD，CD 上，若EF=1， 1AE=x，DQ=y，D（，大于零） ，则四面 体PE的体积 （）与，都有关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关答案：D（2010 北京理数） （3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 6答案：C（2010 广东理数）6.如图 1， ABC 为三角形， A/B /C , 平面 ABC 且3 A= 2B= =AB,则多面体ABC - BC的正视图（也称主视图）是6 D（2010 福建文数）

11、3若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )A B2 C D6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为1 的正三棱柱，所以底面积为 324，侧面积为 316，选 D【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。（2010 全国卷 1 文数） （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面7A BCDA1 B1C1D1O体 ABCD 的体积的最大值为(A) 23 (B) 43 (C) 23 (D) 8312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直

12、线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h,则有ABCD12233Vh四 面 体,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, 2max13h,故max4（2010 全国卷 1 文数） （9）正方体 ABCD- 1中， 1B与平面 1ACD所成角的余弦值为（A） 23 （B） 3 （C） 23 （D） 69.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1的距离是解决本题的关键所在 ,这也是转化思想

13、的具体体现.【解析 1】因为 BB1/DD1,所以 B 1与平面 AC 1D所成角和 DD1 与平面 AC 所成角相等,设 DO平面 AC ，由等体积法得1DACADV,即 1 133ACACDSOS.设 DD1=a,则 1 221 3sin60()2Saa:, 21CDSa:.所以 132ACDO,记 DD1 与平面 AC 1所成角为 ,则1sin3,所以 6cos3.【解析 2】设上下底面的中心分别为 1,O； 1与平面 AC 1D所成角就是 B 1与平面 AC81D所成角， 1136cos/2OD（2010 全国卷 1 文数）(6)直三棱柱 1ABC中，若 90BAC， 1AC，则异面直

14、线 1BA与 C所成的角等于(A)30 (B)45(C)60 (D)906.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱 1ABC的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长 CA 到 D，使得 ，则 1D为平行四边形， 1DAB就是异面直线1BA与 C所成的角，又三角形 1AB为等边三角形， 016（2010 全国卷 1 理数） （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为(A) 23 (B) 43 (C) 3 (D) 83（2010 全国卷 1 理数） （7）正方体 ABCD- 1ABCD中， B 1与平面

15、AC 1D所成角的余弦值为（A） 23（B） （C） 23（D） 69（2010 四川文数） （12）半径为 R的球 O的直径 AB垂直于平面 a，垂足为 B， CD是平面a内边长为 R的正三角形，线段 C、 D分别与球面交于点 M、 N，那么 、 两点间的球面距离是（A） 17arcos25（B） 18arcos25（C） 3R（D） 4解析：由已知，AB2R ,BCR,故 tanBACcosBAC 25连结 OM，则 OAM 为等腰三角形AM2AOcosBAC 45R，同理 AN 45R，且 MNCD而 AC 5R,CDR故 MN：CDAN:ACMN 4，连结 OM、ON，有 OMONR于

16、是 cosMON22175OMN:所以 M、N 两点间的球面距离是 arcos答案：A（2010 湖北文数）4.用 a、 b、 表示三条不同的直线， y表示平面，给出下列命题：若 a b， c，则 ；若 a b， c，则 a ；若 y， ，则 ；若 y， ，则 b.A. B. C. D.10（2010 山东理数）(3)在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C ）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。【命题意图】考查空间直线与平面的位

17、置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。（2010 福建理数）所以 EH FG，故 1BC，所以选项 A、C 正确；因为 1AD平面 1BA， 1AD，所以 平面 A，又 EF平面 1B， 故 EHF，所以选项B 也正确，故选 D。【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。112010 年高考数学试题分类汇编 立体几何（2010 上海文数）6.已知四棱椎 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 底面PABCD PA，且 ，则该四棱椎的体积是 96 。ABCD8P解析：考查棱锥体积公式 96831V（2010 湖南文数）13.图 2 中

18、的三个直角三角形是一个体积为 20cm2 的几何体的三视图，则 h=4 cm（2010 浙江理数） （12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是_ .3cm解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为 144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题（2010 辽宁文数） （16）如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为.解析：填 画出直观图：图中四棱锥 即是，23PABCD所以最长的一条棱的长为 23.B PDCBA12（2010 江西理数）1

19、6.如图，在三棱锥 中，三条棱 ， ， 两两垂直，且OABCOABC ,分别经过三条棱 ， ， 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依OABC次为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为。1S231S23【答案】 【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3 得 。321S（2010 北京文数） （14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。设顶点 p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是，则 的最小正周期为；()f()f在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为。说明：“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包

20、含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方向滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动。答案：4 1（2010 北京理数） （14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿x 轴滚动。设顶点 p（x，y）的轨迹方程是 ，则 的最小()yfx()f正周期为； 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所()f围区域的面积为说明：“正方形 PABC 沿 轴滚动 ”包括沿 轴正方向和沿 轴负方向滚动。沿 轴正方向滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在

21、轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形 PABC 可以沿 轴负方向滚动。答案：4 113AB（2010 四川理数） （15）如图，二面角 的大小是 60，线段 . ，ll与 所成的角为 30.则 与平面 所成的角的正弦值是.ABlAB解析：过点 A 作平面 的垂线，垂足为 C，在 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D连结 AD，有三垂线定理可知 ADl ，故ADC 为二面角 的平面角，为 60l又由已知，ABD30连结 CB，则ABC 为 与平面 所成的角AB设 AD2，则 AC ，CD13AB 40sinDsinABC 答案：ACB4（2010 天津文数） （12）

22、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为。【答案】3【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题。由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为 1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为 1+=2（ ） 3【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为 3，宽为 2，高为 1 的长方体的一半。（2010 天津理数） （12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为【答案】 103【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计

23、算，属于容易题。由三视图可知，该几何体为一个底面边长为 1，高为ABCD142 的正四棱柱与一个底面边长为 2，高为 1 的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为 ，所以该几何体的体积 V=2+ =1434310【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉 哦。（2010 湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示） ，则球的半径是_cm.【答案】4【解析】设球半径为 r，则由 可得 ,解3V柱柱3322486r

24、r得 r=4.（2010 湖南理数）13图 3 中的三个直角三角形是 一个体积为 20 的几何体的三视图，则3cmhcm15【解析】设球半径为 r，则由 可得 ,解得 r=4.3V柱柱3322486rr（2010 福建理数）12若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于【答案】 6+23【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为 ，所以其表面积为 。43166+23【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。2010 年高考数学试题分类汇编 立体几何（2010 上海文数）20.（本大题满

25、分 14 分）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，再用 S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径 r取何值时， 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到 0.01 平方米）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为 0.3 米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为 l，则 l1.22r(0r0.6)，S3(r0.4)20.48，所以当 r0.4 时，S 取得最大值约为 1.51 平方米；(2) 当 r0.3 时，l0.6 ，作三视图略（2010 湖

26、南文数）18.（本小题满分 12 分）如图所示，在长方体 1ABCD中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱 CC1 的中点16（）求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值；（）证明：平面 ABM平面 A1B1M1（2010 浙江理数） （20） （本题满分 15 分）如图，在矩形 ABCD中，点 ,EF分别在线段 ,ABD上，243.沿直线 EF将 V翻折成 V，使平面 平 面 .（）求二面角 AFDC的余弦值；（）点 ,MN分别在线段 ,B上，若沿直线 MN将四边形 CD向上翻折，使 与重合，求线段 的长。解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应

27、用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。（）解：取线段 EF 的中点 H，连结 A，因为AE= F及 H 是 EF 的中点，所以 EF,17又因为平面 AEF平面 B.如图建立空间直角坐标系 A-xyz则 （2，2 ， ） ，C（10，8 ，0） ，F（ 4，0，0 ） ，D（10，0 ，0）. 故 A=（-2，2，2 ） ， F=（6，0 ，0）.设 n=（x,y,z）为平面 的一个法向量，-2x+2y+2 z=0所以6x=0.取 2z，则 (0,2)n。又平面 BEF的一个法向量 (,1m，故 3cos,n:。所以二面角的余弦值为 3（）解：设 ,FMx则 (4,0)，因为翻折后， C与

28、A重合，所以 CMA，故， 2222(6)8=x（ ） （ ） ，得 14x，经检验，此时点 N在线段 B上，所以 14FM。方法二：（）解：取线段 E的中点 H, AF的中点 G,连结 ,AGH。因为 A= 及 是 的中点，18所以 AHEF又因为平面 平面 B，所以 平面 ,又 平面 ,故 AHF，又因为 G、 是 、 E的中点，易知 B，所以 ，于是 AF面 H，所以 G为二面角 ADC的平面角，在 Rt:中， = 2， G=2， A= 23所以 3cos.故二面角 ADFC的余弦值为 3。（）解：设 Mx,因为翻折后， 与 重合，所以 A，而 2228(6)CDx， HMGH2()得

29、14x，经检验，此时点 N在线段 BC上，所以 2FM。19（2010 全国卷 2 理数）（19）如图，直三棱柱 1ABC中， ABC， 1A，D为 1B的中点， E为 1AB上的一点， 3E（）证明： 为异面直线 1与 D的公垂线；（）设异面直线 1与 C的夹角为 45，求二面角 11ACB的大小【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.【参考答案】(19)解法一：（I）连接 A1B，记 A1B 与 AB1的交点为 F.因为面 AA1BB1为正方形，故 A1BAB 1，且 AF=FB1，又 AE=3EB1，所以 FE=EB1，又 D 为 BB

30、1的中点，故 DEBF，DEAB 1. 3 分作 CGAB，G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点.又由底面 ABC面 AA1B1B.连接 DG，则 DGAB 1，故 DEDG，由三垂线定理，得 DECD.所以 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线.（II）因为 DGAB 1，故CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角，CDG=45设 AB=2，则 AB1= ，DG= ，CG= ，AC= .作 B1HA 1C1，H 为垂足，因为底面 A1B1C1面 AA1CC1，故 B1H面 AA1C1C.又作 HKAC 1，K 为垂足，连接 B1K，由三垂线定理，得 B1KAC 1，因此

31、B 1KH 为二面角 A1-AC1-B1的平面角.2122【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.（2010 陕西文数）18.(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形 PA平面 ABCD， AP=AB， BP=BC=2， E， F 分别是23PB,PC 的中点.()证明： EF平面 PAD；()求

32、三棱锥 EABC 的体积 V.解 ()在 PBC 中， E， F 分别是 PB， PC 的中点， EF BC.又 BC AD, EF AD,又 AD平面 PAD,EF 平面 PAD, EF平面 PAD.()连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG PA 交 AB 于点 G,则 BG平面 ABCD,且 EG= 12PA.在 PAB 中， AD=AB,PAB,BP=2, AP=AB= 2,EG= . SABC = 12ABBC= 22= , VE-ABC= 3SABC EG= = 13.（2010 辽宁文数） （19） （本小题满分 12 分）如图，棱柱 1ABC的侧面 1B是菱形，1B（）证明：

33、平面 1平面 1A；（）设 D是 AC上的点，且 /B平面 1CD，求1:的值.解：（）因为侧面 BCC1B1 是菱形，所以 11又已知 CAC1,且所又 平面 A1BC1，又 平面 AB1C ，所以平面 B平面 A1BC1 .（）设 BC1 交 B1C 于点 E，连结 DE，则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线，因为 A1B/平面 B1CD，所以 A1B/DE.24又 E 是 BC1 的中点，所以 D 为 A1C1 的中点.即 A1D：DC 1=1.（2010 辽宁理数） （19） （本小题满分 12 分）已知三棱锥 PABC 中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N

34、 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点.（）证明：CMSN ；（）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.证明：设 PA=1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系如图。则 P（0,0,1） ，C （0,1,0） ，B（ 2,0,0） ，M （1,0, 12） ，N （ ,0,0） ，S（1, 12,0）.4 分（） 1(,),(,0)2MSN,因为 ，所以 CMSN 6 分（） 1(,0)2C,设 a=（x，y，z ）为平面 CMN 的一个法向量，则,10.2xxy令 ， 得 a=(,1-2).9 分25因为12cos

35、,3aSN所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45。 12 分（2010 全国卷 2 文数） （19） （本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 ABC-A1B C 中，AC=BC，AA 1=AB，D 为 BB 的中点，E 为 AB 1上的一点，AE=3 EB（）证明：DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线；（）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45,求二面角 A1-AC -B1的大小【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直 线所成角与二面角的基础知识。（1）要证明 DE 为 AB1 与 CD 的公垂线，即证明 DE 与它们都垂直，由 AE=3EB1，有 DE 与 B

36、A1平行，由 A1ABB1 为正方形，可证得，证明 CD 与 DE 垂直，取 AB 中点 F。连结 DF、FC，证明DE 与平面 CFD 垂直即可证明 DE 与 CD 垂直。（2）由条件将异面直线 AB1，CD 所成角找出即为 FDC，设出 AB 连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。（2010 江西理数）20.（本小题满分 12 分）如图BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD，AB 平面 BCD， 3AB。（1） 求点 A 到平面 MBC 的距离；（2） 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。【解析】

37、本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力解法一：（1）取 CD 中点 O，连 OB，OM，则OB CD，OMCD.又平面 MCD平面 B,则 MO平面 BCD，所以 MOAB ，A 、B、O、M 共面.延长 AM、BO 相交于 E，则AEB 就是 AM 与平26面 BCD 所成的角.OB=MO= 3，MOAB ，MO/ 面 ABC，M、O 到平面 ABC 的距离相等，作 OHBC 于 H，连 MH，则 MHBC，求得：OH=OCsin600= 2,MH= 15,利用体积相等得： 215A

38、BCAVd。（2 ） CE 是平面 ACM与平面 BD的交线.由（1）知，O 是 BE 的中点，则 BCED 是菱形.作 BFEC 于 F，连 AF，则 AFEC，AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角，设为 .因为BCE =120，所以BCF=60.sin603B，ta2AF， 5i所以，所求二面角的正弦值是 2.【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决解法二：取 CD 中点 O，连 OB，OM，则 OBCD，OMCD，又平面 MCD平面 B,则 MO平面 BCD.以 O 为原点，直线 OC、BO、OM 为 x 轴，y 轴，z轴，建立空

39、间直角坐标系如图.OB=OM= 3，则各点坐标分别为 O（0 ，0，0） ，C（1 ，0，0 ） ， M（0，0， ） ，B（0，- 3，0 ） ，A（ 0，- ， 2 ） ，（1 ）设 (,)nxyz是平面 MBC 的法向量，则B=(,3)，0M，由 BC得 30xy；由n得 0yz；取 (,1)(,23)nBA，则距离215BAdyx M DCBOA z27ABCDEFH（2 ） (1,03)CM， (1,32)CA.设平面 ACM 的法向量为 1,)nxyz，由 1nCMA得 302xzy.解得3xz， y，取 1(3,.又平面 BCD 的法向量为 (,1)，则11cos,5n设所求二面

40、角为 ，则 215si().【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎（2010 安徽文数）19.(本小题满分 13 分)如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H 为 BC 的中点，()求证：FH平面 EDB;（）求证：AC 平面 EDB; （）求四面体 BDEF 的体积；【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能

41、力、推理论证能力和运算能力.【解题指导】 （1）设底面对角线交点为 G，则可以通过证明 EGFH，得 FH平面EDB；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明 FH平面 ABCD，得FH BC，FHAC，进而得 EGAC ，AC平面 ；（3）证明 BF平面CDEF，得 BF 为四面体 B-DEF 的高，进而求体积.z28(1) ,/,2,/ /ACBDGACEGHBCGHEFEFHBEDB证 ： 设 与 交 于 点 ， 则 为 的 中 点 ， 连 ， 由 于 为 的 中 点 ， 故又 四 边 形 为 平 行 四 边 形， 而 平 面 ， 平 面【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规

42、则的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积.（2010 重庆文数） （20） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分. ）如题（20）图，四棱锥 PABCD中，底面 AB为矩形， PA底面 BCD，2PAB，点 E是棱 的中点.（）证明： 平面 ；（）若 1D，求二面角 的平面角的余弦值.2930（2010 浙江文数） （20） （本题满分 14 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2BC，ABC=120。E 为线段 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻折成ADE，使平面 ADE平面 BCD， F 为线段 AC 的中点。（）求证：BF平面 ADE；（）设 M 为线段 DE 的中点，求直线 FM与平面 ADE 所成角的余弦值。31（2010 重庆理数） （19） （本小题满分 12 分， （I）小问 5 分， （II ）小问 7 分）如题（19）图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA 底面 ABCD，PA=AB= 6，点 E 是棱 PB 的中点。（I） 求直线 AD 与平面 PBC 的距离；（II） 若 AD= 3，求二面角 A-EC-D 的平面角的余弦值。