奇点理论历史发展及现状研究 .doc

1、 -1-北方工业大学 本科毕业设计（论文）题 目： 奇点理论历史发展及现状研究 指导教师 ： 专业班级： 学 号： 姓 名： 日 期： 2010 年 6 月 13 日奇点理论历史发展及现状研究 摘要奇点理论是一门年轻的数学分支，属于微分拓扑学中一个重要研究领域。它是把一些映射利用条件在局部给出适当的等价关系（例如，右等价） ，在这些等价关系下分成适当的等价类。只要在这个等价类（芽coran）下挑出一个具有最简单形式的代表元就可以近似研究具有复杂形式的映射，从而达到简化的目的的理论。莫尔斯提出临界点理论，惠特尼发表了关于把平面映射到平面的映射奇点论文，是奇点理论提出与形成的重要时刻。奇点理论对偏

2、微分方程解的个数判断和定性、给出微分流形的微分结构的分类和反例、描述微分流形上特定位置的几何性质等等上应用。它是解决很多问题的一种方法。在人们应用奇点理论的过程中，奇点理论发展会更加完善。关键词：奇点理论，发展，现状The historical developing and current situation research of Singularity TheoryAbstractSingularity Theory is a young maths embranchment.it is the important one of differential coefficienttopolo

3、gy.it is use condition some mappingpart give some equipollenceconnection（ex，right equipollence） ，in those equipollenceconnections separate intoappropriateequipollencespecies.so far as in those equipollenceconnections（coran）seek out a having most simplenessformalrepresentation,then mayapproximately s

4、tudy mapping with complex form，reaching predigest aim。Morse put forwardcriticalpoint theory，whitney publishpaper about planemapping plane，they are the important time of daySingularity Theorybring forward and form.Singularity Theory is partialdifferential coefficientequationestimation,differential co

5、efficientrheologyclassify、descriptiondifferential coefficientrheologyapplication.it is a meanssolving question.with applicationSingularity Theory，it will developat very fast speed。Key words:Singularity Theory,developing ，current situation目 录1、绪论 111 课题背景112 奇点理论基本知识 3121 奇点理论研究对象5122 奇点理论研究手段72、 历史发

6、展2021 奇点理论的产生及发展进程2022 惠特尼对奇点理论的研究成果233、 现状研究2031 奇点理论所研究的内容及其重要性（研究现状）2032 奇点理论的应用（应用现状）及发展前景23321 应用奇点理论的几种情形322 发展前景结论50致谢51主要参考文献52附录54外文资料翻译及原文561 绪论 1.1 课题背景奇点理论是微分拓扑学中的一个重要研究领域，属于拓扑、代数和几何的交叉学科。它是一门年轻的数学分支，也是现代数学中得到蓬勃发展的领域之一。20 世纪 30 年代 H.M.莫尔斯提出临界点理论，40 年代 H.惠特尼研究微分流形嵌入、浸入有关的奇点问题，以及庞特里亚金与惠特尼等

7、人开展的与示性类有关的奇点方面的工作。这一时期是奇点理论的萌芽时期。奇点理论在数学中开始作为一门独立的分支的标志是 1955 年惠特尼发表了关于把平面映射到平面的映射奇点的工作。1956 年 R.托姆发表论文可微映射的奇点 ，这对以后整个奇点理论的发展提出了一个纲领式的描述。1960年 R.托姆通过一系列的演讲把他的纲领式的描述更加具体化。从此以后，在这个基础上奇点理论得到了蓬勃的发展。一方面是理论本身取得了重大发展，如 J.N.马瑟关于稳定性方面的一系列工作，以及阿诺尔德等人关于奇点分类方面的工作；另一方面是奇点理论在自然科学中的应用也取得了出人意料的突破，如 60 年代末托姆提出的突变理论

8、，70 年代阿诺尔德把奇点理论分类应用在物理学中的振荡积分的计算上。 当前在纯数学理论中，奇点理论可以对偏微分方程解的个数判断和定性；可以给出微分流形的微分结构的分类和反例；能描述微分流形上特定位置的几何性质等。奇点理论中的有限决定性、通用开折、Thom-Boardman 奇点和分类理论值得研究，并且它在曲线、曲面构型和计算机辅助几何设计上有很大应用。奇点理论在当前仍是数学领域中重要分支，我们要学习和研究它，使其理论得到发展和更好的应用。提到奇点理论就不能不说一下微分拓扑的一个重要分支莫尔斯理论。莫尔斯理论通常是指两部分内容：一部分是微分流形上可微函数的莫尔斯理论，即临界点理论；另一部分是变分

9、问题的莫尔斯理论，即大范围变分法。确切地说,假设 是 n 维微分流形 M 上的实值可微函数， 的临界点 p 是指梯度向量场 grad 的零点，即在局部坐标下使得 的点。 的全部临界点的性态与流形 M 本身的拓扑结构有密切的关系，探索这些关系就是临界点理论的主要任务。例如，著名的莫尔斯不等式就是这样一种关系： M0 R0M1-M0 R1-R0， Mk-Mk-1+M0 Rk-Rk-1+R0， Mn-Mn-1+M0=Rn-Rn-1+R0，式中 Rk是 n 维闭流形 M 的 k 维模 2 贝蒂数,即同调群 hk(M， Z2)的秩,M k是 M上非退化函数 的指数为 k 的临界点的个数。这里说 是非退化

10、函数,是指 的任何临界点 p 均非退化，即在局部坐标下 在 p 处的黑塞矩阵之秩为 n；这个矩阵的负特征值的个数称为临界点 p 的指数。莫尔斯不等式是 H.M.莫尔斯本人在 20 世纪 20 年代建立的基本结果，后来有了远为一般的结果。例如，考虑图 1 中环面 M 关于水平切面 V 的高度函数:M R，其中 p,q,r,s 是 的四个非退化临界点，其指数分别为 0,1,1,2,因为可以适当选择局部坐标,使得在 p 的邻近 =(p)+x2+y2(旋转抛物面),在 q的邻近 =(q)-x2+y2(鞍面)，在 r 的邻近 =(r)-x2+y2（鞍面）,在 s 的邻近=(s)-x2-y2(旋转抛物面)

11、。命 不难看出，当 由小变大经过各个临界值时,M 的同伦型发生表中所列的变化。 可见,当 从小变大经过指数为 的临界点时,M 的同伦型变化相当于粘上一个 维胞腔,从而整个环面 M 的同伦型相当于由一个 0 维胞腔、两个一维胞腔以及一个二维胞腔组成的 CW 复形，这样就把 M 的同伦型与 的临界点的性态联系起来了。如果把这个事实推广到一般情形就是： 临界点理论的基本定理 命 M 是微分流形, :M B 是非退化函数，并且任何 M 都是紧致集。于是，每个 M 都具有一个有限 CW 复形的同伦型,从而整个 M 具有一个至多是可数的 CW 复形的同伦型：对于指数为 的每个临界点，这个复形有一个 维胞腔

12、。 临界点理论的应用中最完美的是对测地线问题的应用，这就是变分学的莫尔斯理论。例如，考虑完备黎曼流形 M 上两个固定端点 p 和 q 之间的测地线问题,即是使弧长为极小的变分问题： 式中 :【0，1】M 表示 M 上的逐段光滑道路， (0)=p， (1)=q；这个变分问题的泛极线就是所谓测地线。于是，从 p 到 q 的所有光滑测地线的性态与流形 M 的拓扑结构之间是否有什么关系，这就是大范围变分学要研究的主要问题，可以应用临界点理论的框架得到相似的结果。命 = (M； p,q)表示 M 上从 p 到 q 所有逐段光滑道路组成的空间，具有尺度拓扑。 式中 表示 M 上由黎曼尺度导出的距离函数；表

13、示 上的弧长。 大范围变分学基本定理 命 M 是完备黎曼流形， p， qM 沿任何测地线不共轭，则 (M； p， q)具有可数 CW 复形的同伦型：对于从 p 到 q 每条指数为 的测地线,这个复形有一个 维胞腔。 随着拓扑学的发展，莫尔斯理论本身也有很大的飞跃。例如,由于临界点定义为梯度向量场 grad 的零点，自然可以考虑 n 维闭流形 M 上一般向量场 X 的零点与 M 的拓扑结构之间的关系，即 M 上的动力系统 的奇点与 M 的拓扑结构的关系。S.斯梅尔在某些假设下得到了形式相同的莫尔斯不等式,不过这时 Mk= k+bk+bk+1, k表示向量场 X 的 k 型零点的个数, bk表示

14、k 型闭轨线的条数。斯梅尔正是在这个基础上完成了他关于高维庞加莱猜想的卓越工作，这是微分拓扑学的重大成就之一。其次，由于测地线问题是一维变分问题，本来是无限维的空间 才能化为有限维流形应用临界点理论来处理。但一般的多维变分问题就无法做到这一点，因而要求发展无限维流形上的临界点理论，直接处理相应的无限维空间 ，从而把原来的两个方面统一起来。莫尔斯继承了 G.D.伯克霍夫在动力学上的工作，1925 年推广其极小极大原理，第一次得出莫尔斯不等式，以后形成了莫尔斯理论。这一理论是把拓扑学与分析学结合成为大范围分析的开端。莫尔斯还先后和其他数学家合作研究动力学及测地流、极小曲面和单复变函数论的拓扑方法、

15、积分表示、伪调和函数和微分拓扑学。70 年代以来，基于莫尔斯工作的临界点理论在偏微分方程研究中发挥了重要作用。20年代末，江泽涵在国外跟随莫尔斯研究临界点理论。他把莫尔斯理论直接应用到分析学中，得到许多关于调和函数的结果。如对于三维空间中总质量不为零的S个质点的牛顿位势函数，他证明了在没有退化临界点的情况下，至少有S-1个临界点；他还就总质量为正、负和零的情况，系统地研究了各种分布类型的牛顿函数的临界点组成与定义区域的拓扑特征的关系；他用莫尔斯理论研究了多重连通的情形以及三维情形；他对于一个同胚于球体的区域，证明了该区域上的以一个内点为极点的格林函数在它的内部存在临界点；对于平面上有光滑边界的

16、m重连通区域R，他证明了R上的以任一内点为极点的格林函数在内部的临界点的重数之和等于(m-1)。1.2 奇点理论基本知识1.2.1奇点理论研究对象局部上一阶导数为零的点称为奇点。奇点理论是把一些映射利用条件在局部给出适当的等价关系（例如，右等价）在这些等价关系下分成适当的等价类。只要在这个等价类（芽）下挑出一个具有最简单形式的代表元就可以近似研究具有复杂形式的映射，从而达到简化的目的的理论。正常点、奇点，无穷多次可微的映射简称为可微映射。设 :Rn Rm是可微映射, =(1,2,m),点 Rn，矩阵 的秩称为 在点 的秩，记作 rank。如果 rankmin( n, m),称 是 的正常点；若

17、 rankn， m)，就称 为 的奇点。 奇点的研究有着广阔的背景。首先，微积分学的基本任务之一是研究函数在一点附近的性态，即所谓局部性质。在微积分中，对可微函数 y=(x)，有下面的结果。 如果 (x)在点 的导数 ( )0,即 是 的正常点，则在点 附近 有反函数存在(即反函数定理)。这时 在点 附近的性态很简单,甚至可以在点 附近另选局部坐标 t,x= (t)，使得在这个新坐标系中 的分析表达式为： ( (t)=t。 如果 ( )=0，即 是 的奇点,那么这时 在点 附近的性态就比较复杂。可分为三种情况:如果 ( )=0，但 ( )0,则 ( )是 在 附近的极小值；如果 ( )=0，

18、( )0，则 ( )是 在 附近的极大值；如果 ( )=0，但 ( )=0，而 冺( )0，则 是 的拐点。 由此可见,正是在奇点附近函数 有着丰富多彩的性质。对于多元可微函数以及微分流形之间的可微映射，情况又如何呢？奇点理论研究这些问题。在数学的许多分支中都要研究各种方程的解集合。例如，在代数学中要研究多项式的零点集，在代数几何中要研究多变量的多项式方程组的解集，即代数簇。像上面这些学科一样，局部分析中最一般的问题是研究下面方程组的解集： (1)这里 gi是实值无穷次可微的函数。在这里由于已知的信息很少，即仅知道这些函数 gi是无穷多次可微的，因此情况更复杂，事实上惠特尼证明了欧氏空间 Rn

19、中的任意闭子集都可是可微函数的零点集。 Rn中的闭集可以很复杂，以至难以研究它。究竟是可微映射的什么性质影响着它自身的零点集的性态呢?例如，考虑方程组(1)，以 A 记这个方程组的解集。如果在点 A，矩阵 (2)的秩为 k,则由隐函数定理就知道在点 附近方程组(1)可解出为显函数。如设矩阵 为满秩的，那么在点 附近，由方程组(1)就确定出函数 这就是说在点 的一个领域里点集 A 是 Rn中的微分子流形，即 Rn中的 n k维光滑曲面。而使得矩阵(2)的秩为 k 的点就是映射 g:Rn Rk,g=(g1,g2,gk)的正常点。这说明如果点 是映射 g=(g1,g2,gk)的正常点,那么方程 g=

20、0 的解集 A 在点 邻近就是一微分流形。 再如，设 (x1,x2,xn)是可微函数，如果在点 Rn有 就称 为 的临界点；如果此外还有矩阵 是满秩的，就称 为 的非退化的临界点。 考虑方程 (x1,x2,xn)=0 解集 A, A,集 A 在点 的局部性态如何？30 年代 M.莫尔斯证明了下述定理：如果点 是 (x1,x2,xn)的非退化临界点,则可在点 附近选取适当的坐标系( y1,y2,yn),使得在坐标系(y1， y2,yn)中 的分析表达式为： 由此可见,如果 A 是 的非退化临界点,则在点 邻近点集 A 就是一个二次锥面。临界点就是奇点。非退化临界点是一种特殊类型的奇点。 在点 的

21、奇点性质影响着点集 A 在点 附近的性态。因此要研究函数方程的解集的性态就必须研究可微映射的奇点。由此也可以看到研究奇点的必要性。 可微映射的芽 设 Rn，考虑确定在点 附近的所有映入 Rm的映射作成的集合，在其中引进等价关系如下： :U Rm,g:V Rm是两个可微映射,U、 V 是点 的两个邻域，如果存在点 的邻域 W， W 嶅 U V，使得当 x W 时有 (x)=g(x),则说 和 g 是等价的。在这个等价关系下的等价类就称为可微映射在点 的芽。 映射的 C 等价 设 M、 N 是两个微分流形, 、 g:M N 是两个可微映射,如果存在微分同胚 h:M M， k:N N，使得 g=kh

22、-1，就说 和 g 是 C 等价的。对可微映射的芽也可类似地定义 C 等价性。 分类问题 以 C (M,N)记为把 M 映入 N 的所有可微映射作成的集合,并以适当的方式赋以拓扑。同样地,以 ( n,m)记从 Rn到 Rm的所有可微映射在原点的芽构成的集合,也可以适当的方式引入拓扑。 C (M,N)称为映射空间,( n， m)称为映射芽空间。奇点理论的基本问题之一就是确定出空间 C (M,N),( n,m)在所引进的 C 等价关系下的所有等价类，这就是所谓的分类问题。对映射芽希望能在每个类里选一个代表元，并选取适当的坐标系，使得这个代表元在所选的坐标系里有简单的表达式，这就是所谓求标准型的问题

23、。 C 等价的映射具有微分同胚的奇点集。按前述惠特尼定理可以推出 Rn中的任何闭集都可以是某个可微映射的奇点集，因此可微映射的分类是这样广泛，它比 Rn的所有闭集的分类还要广，这样的分类问题显然难以解决。而从实际背景来讲，并不是对所有映射都有兴趣，重要的是那些所谓稳定的映射及稳定的映射芽，因此可限于研究稳定的映射。定义:可微映射的 :M N 称为 C 稳定的，如果存在 在 C (M,N)里的领域 U，使得 U 里的每个映射都 C等价于 。 对可微映射芽也可以类似地定义 C 稳定性。 例如, :R R,y=(x)=x2,考虑 在原点的芽。如果稍微扰动一下 ,这里“稍微”的含义不仅要求其函数值变动

24、很小，而且要求各阶导数变动也很小，那么可以看出扰动后的映射与原来的映射 的拓扑图像是一样的,即它们是等价的,所以函数 y=x2在原点是稳定的（图 1，其中虚线表示扰动后的映射）。 再如， :R R,y=(x)=x3，考虑 在原点的芽。给函数 y=x3以一个小扰动 ux（ u 为很小的实数），就得函数 x3+ux,当 u0 时它在原点附近有两个临界点,当 u0 时它在原点附近没有临界点。因此它们与 x3是不等价的，所以函数 y=x3在原点是不稳定的(图 2)。 从稳定性的定义可见所有稳定映射在 C (M， N)里作成开集。 既然只限于研究稳定映射，因此重要的问题是：它们是否有普遍的意义，即它们是

25、否足够多，使得任何一个映射都可以用稳定的映射来逼近它？对稳定的映射是否能够分类？ 精确地说即：所有稳定映射在映射空间 C (M,N)里是否构成稠密集？是否存在有限多个可微映射芽愝:( Rm，0)( Rn,0),这里 m=dimM,n=dimN,使得如果 :M N 是稳定的，那么 在任何点 p M 的芽都等价于这有限多个芽中的一个? 关于第一个问题，J.N.玛瑟在 1971 年证明了下面重要定理:设 Mm,Nn是两个微分流形。所有逆紧的稳定映射在 C (Mm,Nn)里作成稠密子集的充要条件是 m,n 满足下面条件： n7s+8，当 s4， n7s+9，当3 s0， n8，当 s=-1, n6，当

26、 s=-2, n7,当 s-3。这里 s=n-m。 第二个问题也是玛瑟解决的，但在这里只提出两个在特殊情况下的著名结果。 其一，设 Mm是紧致的微分流形，则有下面结果。 所有稳定映射 :Mm R 在 C (Mm， R)里作成稠密子集。 在点 p M 是稳定的充要条件是可以分别在点 p M 和 (p) R 的邻域里引进局部坐标( x1,x2,xm)和 y，使得在此坐标系中 为下面 m+2 个映射之一： :M R 是稳定的充要条件是： 在每点都是稳定的，即 的所有临界点都是非退化的； 的临界值两两皆不相同。 其二，设 M2是紧致曲面，则有下面结果。 所有稳定映射 :M2 R2在 C (M2,R2)

27、里作成稠密子集。 在点 p M 是稳定的充要条件为可分别在 p 和 (p)的邻域里引进局部坐标( x,y)和( u,v)使得 在此坐标系中为下面三个映射之一： u=x， v=y(正常点)， u=x， v=y2(折叠点)， u=x, （尖点）。 :M2 R2是稳定的充要条件是： 在每点 p 都是稳定的，折叠点在 下的像仅成双地相交成非零角,而且尖点在 下的像不与折叠点的像相交。 1.2.2奇点理论研究手段众所周知, 1956 年 J. Milnor 证明了 7 维球面上存在“怪异的”微分结构.这一结果导致了现代微分拓扑学的迅速发展. Milnor 所用的方法本质上是具体构造,这个构造是相当复杂的

28、.十年之后, E. Brieskorn 给出了 7 维怪球的另一个例子.这个例子非常清楚简明,下面我们就来加以描述:考虑解析函数f(z1,z2,z3,z4,z5) = z31+ z52+ z23+ z24+ z25,方程 f(z1,z2,z3,z4,z5) =0 的解集合组成通过原点的超曲面 M C5.再假设 S9 C5 是 9 维标准球面,考虑它与 M 的交集 K7= MS9.不难证明 M 与 S9 横截相交,因而 K7 是一个 7 维光滑流形. Brieskorn 证明了,K7 拓扑同胚于标准球面 S7,然而并不微分同胚于 S7.因此,K7 就是一个“怪异的”7 维球面.由于这个例子有出乎

29、意外的简单性,所以从其一出现就引起大家极大的兴趣.请注意,超曲面 M 不是处处光滑的,它在原点 OC5 有一个孤立奇点,正是这个奇点导致了 K7 的怪异性.这说明,在超曲面的奇点附近存在非常有趣的拓扑结构.这引起许多优秀数学家,如 Brieskorn,Hirzebruch,Milnor,Thom 以及 Arnold 对奇点的强烈兴趣.他们的工作迅速推动了有关研究的进展,最终形成了今天称为“奇点理论”(singularity theory)的数学分支.当然,在这里我们还应当提到 H. Whitney在 1955 年的开创性工作,以及其后 R. Thom 与 J. N. Mather 关于稳定映射

30、及其奇点的基本工作.他们的工作都是针对实光滑映射的,与前面所说的复全纯映射不同,但他们考虑的问题和研究方法与复奇点研究有共通之处,都是奇点理论的重要组成部分.限于篇幅,本文将不涉及实奇点,而仅对复奇点研究作一初步介绍.本文的目的是对奇点理论作一个非正式的介绍.主要想介绍一些基本的问题、方法和结果.我们将特别突出一个例子,那就是简单奇点及其与Lie 代数的关系.我们希望能从这个例子中看到奇点理论的丰富与深刻,从而引起读者深入研究这一分支的兴趣.设 f(z1,z2,zn)是在点 pCn 的一个邻域内有定义的解析函数.我们要考察由 f 所确定的经过 P 的超曲面,也就是方程f(z) = f(p)的解

31、集.这个解集与方程g(z) = f(z)-f(p) =0的解集是一致的.因此,我们可以一开始就考虑以 p 为零点的解析函数g(z1,z2,zn).并考虑由方程 g(z1,z2,zn) =0定义的超曲面 M.若有某个偏导数不得零。则由隐函数定理可推知 M 在 p 的附近是光滑的.所以,要考虑不光滑的点,很自然地有下面的定义.定义 2.1 设 g(z1,z2,zn)是在 p 附近有定义的解析函数.如果点 p 是下面方程组的一个解，则 p 称为 g 的奇点.如果存在 p 的某个邻域,使得在此邻域内上述方程组仅有唯一一个解 p,则 p 称为 g 的孤立奇点.引言中 Brieskorn 例子里的函数在整

32、个空间 C5 上只有一奇点,所以当然是孤立奇点.请读者注意,本文只讨论孤立奇点,所以下面提到奇点时都要理解为孤立奇点.由上面的讨论可以知道,函数的奇点正好相应于超曲面上的不光滑点.因此,对超曲面奇点的拓扑的研究有一些也可通过对函数奇点的研究来进行.对于函数的孤立奇点来说,我们感兴趣的是它在奇点附近一个任意小邻域中的性态,至于这个邻域是什么并不重要.这时候使用函数芽的语言来讨论问题是最为适当的.所以,下面我们要常常用到它.定义 2.2 设 U 与 V 是 zCn 的两个邻域,f: UC 与 g: VC 为分别定义在 U与 V 上的两个解析函数.f 与 g 称为等价的,如果存在 z 的某个邻域 W

33、 UV,使 f|W=g|W.上述方式在 z 点局部有定义的全体解析函数中引进了一个等价关系.这个等价关系的等价类就称为 z 的一个函数芽.注意,如果 f 与 g 是等价的,则一定有 f(z)=g(z)=c.所以,一个芽也常常记作如下的形式f:(Cn,z)(C,c).这个记号说明 f 是在 z 附近有定义的解析函数且 f(z)=c.函数芽的概念突出了函数在一点的局部性态,用来描述奇点附近局部性质非常方便.我们知道,从拓扑的角度看问题,相差一个同胚的两个对象总是被看作一样的.现在,在解析函数的范畴里,我们要考虑的不仅是拓扑同胚,还要考虑双全纯同胚,就是其本身与逆象都为解析函数的同胚.因此,下面的定

34、义是很自然的.定义 2.3 设 f: (Cn,O)(C,O)与 g: (Cn,O)(C,O)为在 O 点的两个解析函数芽.如果存在一个双全纯映射芽:(Cn,O)(Cn,O)使 f=go,则我们称函数芽 f 与 g 是右等价的.f=go 这个条件等于说下图是交换的。更一般地,对任意两个函数芽 f:(Cn, x)(C, a)与 g: (Cn, y)(C, b)(其中 x 与 y,a 与 b 可能是不同的),我们也可以定义右等价的概念.这时候,f与 g 右等价是说存在一个双全纯映射芽:(Cn, x)(Cn, y).使下图可交换例子 设函数芽 f: (Cn, x)C 的某个偏导数fzj(x)0, 即

35、x 不是f 的奇点.那么由反函数定理容易推出 f 右等价于在原点的典则投影芽: (z1,z2,zn) |z1.所以,在右等价的意义下,不是奇点的芽都是平凡的.小结一下,上面给出了函数奇点的定义,指出在这种情况下考虑函数芽的右等价是很自然的.刚才的例子又说明,只有对奇点而言,右等价才是有趣的.所以,文献中常常将定义了一个奇点的函数芽就称为奇点. (这即是语言的混用 , abuse of language).奇点理论的一个目标,就正是要将所有奇点在右等价下加以分类.这方面大家熟知的一个结果是下面的 Morse 引理.Morse 引理 设奇点 f: (Cn,O)C 在原点的 Hessian 矩阵是非

36、退化的,则 f右等价于下面(在原点)的函数芽g(z1,z2,zn) = z21+ z22+ z2n.上面的奇点也称为 Morse 奇点,或者非退化奇点.这样,非退化奇点就有一典型的标准型.不过,要想对所有奇点都完全分类并给出某种标准型却似乎是不可能的.因此,人们就试图对某一部分奇点来进行分类.这方面最漂亮的工作也许就是 Arnold 对简单奇点的分类了.为了介绍简单奇点的概念,我们首先要了解什么是奇点的形变.定义 2.4 设 f: (Cn,O)C 在原点有一孤立奇点.再设: (CnCk,OO)C为 n+k 个变元解析函数 (z, t)在原点(O,O)CnCk 的函数芽.我们将 t 看作参数.那

37、么对每个 t 都有一个 n 元函数芽(, t): (Cn,O)C.如果下面两个函数芽相等f() =(,O),则 称为 f 的一个形变.例子 2.5 设 f1(z)=z2 与 f2(z)=z3 为两个一元函数芽.因为 f1 是非退化的,而 f2 是退化的.所以 f1 与 f2 是不右等价的.现在考虑它们的形变1(z,t) = z2+ tz, 2(z,t) = z3+ tz.对于参数 t0,函数 1(,t)总是只有一个奇点,而函数 2(, t)却总有两个奇点.由此即可看出这两个奇点是不等价的.也就是说,通过形变可以将奇点 f1 与 f2 区分开来.这个例子说明了形变概念在奇点研究中的作用,它是一种

38、十分有用的方法.定义 2.6 给定奇点 f:(Cn,O)C.如果存在有限个函数芽 g1, g2, gm: (Cn,O)C 具有下面的性质,则 f 就称为简单奇点.这个性质就是:对任意给定的 f的形变: (CnCk, OO)C2 历史发展2.1 奇点理论的产生及发展进程20世纪30年代H.M.莫尔斯提出临界点理论。40年代H.惠特尼研究微分流形嵌入、浸入有关的奇点问题。庞特里亚金与惠特尼等人开展的与示性类有关的奇点方面的工作。1955年惠特尼发表了关于把平面映射到平面的映射奇点。1956年R.托姆发表论文可微映射的奇点 。1960年R.托姆通过一系列的演讲 把他的纲领式的描述更加具体化。J.N.

39、马瑟关于稳定性方面的一系列工作。阿诺尔德等人关于奇点分类方面的工作。奇点理论在其他领域上的应用：60年代末托姆提出突变理论。70年代阿诺尔德把奇点理论分类应用在物理学中的振荡积分的计算上。 2.2 惠特尼对奇点理论的研究成果奇点理论是惠特尼最重要的创造之一。它来源于微分嵌入及浸入问题，奇点是临界点的推广。1942 年他首先研究 n 维欧几里得空间 En 到 E2n-1 的微分映射 f 的奇点。1955 年，他首先对于平面 E2 到 E 的奇点类型进行分类；结果只有两类，一类是折点，另一类是尖点。通过这篇论文，开创了奇点理论。1956 年他又对 EnEm 的微分映射奇点的一些情形进行分类并得出标

40、准型，其中包括 nm=2，3 以及(n，m)=(4，4)，(5，5)，(5，4)，(n，2n-2)等情形对于其他的 EnEm，其中 n=3，4，m=4，2n-3，在当时所知甚少这个基本的奇点分类问题连同其他问题形成了奇点理论的热门。同年 R托姆运用自己的横截理论以及普遍开折理论首先取得突破，这项研究成为后来他的突变理论的基础。其后 19681971 年 J麦泽建立稳定性理论及决定性理论，1967 年起以苏联数学家 B阿诺尔德为首的苏联学派在理论及应用方面取得辉煌的成就 1948 年他还发表了“论可微函数的理想” ，这开辟了奇点理论另一个新方向。后来 B马格朗日等对这方面有很大突破，包括证明“预

41、备定理” 。3 现状研究3.1 奇点理论所研究的内容及其重要性（研究现状）当前在纯数学理论中，奇点理论可以对偏微分方程解的个数判断和定性；可以给出微分流形的微分结构的分类和反例；能描述微分流形上特定位置的几何性质，等等。奇点理论中的有限决定性、通用开折、Thom-Boardman 奇点和分类理论值得研究，并且它在曲线、曲面构型和计算机辅助几何设计上有很大应用。奇点就是解析函数的临界点,而临界点是用偏导数定义的,所以它应当是与分析密切联系的.其次,我们注意到函数的临界点对应于超曲面的奇点,这样它就与超曲面的拓扑产生了联系.此外,通过简单奇点这个例子,我们还看到它与 Lie 代数之间的密切关系.就

42、这样,奇点这个课题将多元复分析、拓扑、代数几何、Lie 代数等许多理论汇集在一起,得出了许许多多优美的结果.奇点理论目前仍是一个十分活跃的数学分支,还有许多问题尚待研究.有兴趣的读者,可以查阅下面的参考文献,这是关于奇点理论最好的综述,其中不仅可以找到上面所有结果的来源,也可以了解目前正在研究的课题,是值得郑重推荐的。3.2 奇点理论的应用（应用现状） 及发展前景3.2.1应用奇点理论的几种情形余秩不等于2余维为7的可微函数芽的分类：用奇点理论方法对函数芽的分类进行了研究,给出了余维为7余秩不等2的可微函数芽的分类,并指出这种情况下的标准形式为n-1=1ix2ix8n,i=1.映射芽的分类是奇

43、点理论的核心问题,作为其最简单的情况函数芽的分类也有着相当重要的地位,它的分类使我们更容易理解和探讨映射芽的性质,同时也可以对已分类的函数芽进行其开折的讨论1.另外,函数芽的分类与有限决定性也有着密切的联系24.对余维小于等于5的函数芽已经有了确切的分类,文献5中指出对余维等于6的芽也能进行分类,本文利用文献4给出的分类方法,对余维为7余秩不等于2的可微函数芽进行了分类.1 预备知识用n=f:(Rn,0)R|f为C函数芽表示n元可微函数芽构成的环,用M=fn|f(0)=0表示其极大理想.定义1 一个函数芽f:(Rn,0)R被称为有限余维的,如果理想J(f)= f x1,fxnn是有限余维的,即

44、k,其中k=dimRnJ(f)叫做f的余维数,用codimf来表示.定义2 设芽fM2 n,f在0点的Hessian矩阵的秩为r,令p=n-r,则称p为f的余秩,用corankf来表示.定理1 (Nakayama引理)5 设I是n的理想,且Mk Mk+1 +I,则Mk I.定理25 (1)下面的条件是等价的:(a)f是k-开的;(b)MJ(f) Mk.(2)若上面条件之一成立,则f=(jk)-1kf,即f是k-决定的.K等价下相对映射芽的通用形变：利用经典奇点理论中的通用形变理论的方法。通用形变理论是可微映射的奇点理论中非常重要的基本工具之一,它与可微映射的稳定性研究有着非常密切的联系.为了研

45、究带有不同性质的可微映射,我们需要相应的通用形变理论.本文研究的是满足如下条件的可微映射芽的通用形变理论.令 S,T 分别是 Rn,Rm 中包含原点的子流形芽,f:(Rn,S)(Rm,T)是 Rn 中在 0 处的映射芽,且满足 f(S) T,我们称这样的映射芽为相对映射芽.在1中给出了 A 等价意义下相对映射芽的通用开折性质;在2中给出了 A 等价意义下相对映射芽的通用开折与强相对有限决定性之间的关系.本文讨论 K 等价意义下相对映射芽的通用形变的性质.同时,利用类似的方法,我们还研究通用开折的性质,其结果与关于通用形变的结果是相似的.在第二节中,我们将考虑映射芽 f:(Rn,S)(Rm,T)

46、且 f(S)=0.首先我们给出这种映射芽的相对 K 等价的定义和相对 p 参数形变的定义,进而,我们给出了该映射芽的相对 p 参数 K 通用形变存在的充分条件和必要条件,即定理 2.1和定理 2.2.在第三节中,我们将考虑映射芽 f:(Rn,S)(Rm,T)且 f(S)为常向量.类似地,我们给出了该映射芽的相对 p 参数 K 通用形变存在的充分条件和必要条件,即定理 3.1 和定理 3.2.在最后一节中,我们研究了第二节中映射芽的相对 p 参数开折的性质。Z_2 等变奇点理论及参激系统的 1_2 亚谐分叉：建立与此对应的分析方法:乙等变的奇点理论，得到了 1/2 亚谐分叉的全体分叉图，数值计算验证了这些结果。参数激励系统是工程中的一类重要问题.它的控制方程，例如 Mathieu一 D 确 ng 方程，就是周期非自治系统.它不同于自激和强迫系统的困难在于:即使线性参激系统，一般也无法求出解析解.摄动法1以其简单明了的特点，给出了参激系统亚谐分支的近似表达式，但还不能反映参数平面上亚谐分支的全部拓扑结构.另一方面，现有的数学理论 I2把亚谐分支看成扰动 Hopf分叉，给出了存在唯一性证明，但也还难以确定具体的分叉图.Gofubits 幼关于分叉中