1、1超市收银员合理排班摘 要本文通过对超市中出现的收银员合理安排的问题的研究，通过对给定的数据进行分析，发现工作日和周末有着不同规律的客流量，故将工作日和周末时间段的数据分别进行分析处理。通过自己的实际调查，来确定顾客接受服务时间在一定时间范围内的频率分布。在模型中，我们参照分析了泊松分布、负指数分布、爱尔朗分布等的理论，构建排队系统状态处于稳态的这个假设。在总工时不大于原来排班的前提下和在顾客排队等候忍受时间范围内，通过对顾客排队等待的平均时间的大小进行研究对比，并把等待时间的长短作为评判标准，来验证这个超市收银员的排班计划是否合理。通过分析对比, 证明这个模型是切实可行的。优化的结果表明,
2、此模型可以使得消费者的满意度提高，超市的成本不会增高，而收银员得到最好的安排。关键词：顾客耐受时间、比重、排队最短时间2一 问题的提出超市的顾客数受收银员数量的影响，如果收银员数量偏少，会使等待排队交费的人数偏多，顾客看到收银处排队人数很多就会放弃进入超市的意愿，甚至在超市内只购买一两件商品的顾客也会放弃购买意愿。表 1 是调查员对某一超市七天实际调查到的不同时刻收银员数量和正在排队等待交费的顾客人数，收银员每天工作时间不超过7 小时及顾客接受服务的时间约 0.8 分钟到 5 分钟。为使顾客等待交费时间不宜过长，同时又要考虑超市企业聘用收银员的成本，请根据调查数据，建立数学模型，验证这个超市收
3、银员的排班计划是否合理？如果安排不合理，请给该超市安排一份收银员的排班计划。表 1：收银员与排队顾客数据表星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日时间 收银员顾客数收银员顾客数收银员顾客数收银员顾客数收银员顾客数收银员顾客数收银员顾客数8:00 6 8 6 9 6 5 6 10 6 4 6 8 6 99:00 8 21 8 19 8 40 8 22 8 25 10 42 10 4610:00 8 27 8 16 8 28 8 39 8 29 10 44 10 4011:00 6 24 6 15 6 20 6 20 6 19 8 35 8 3212:00 2 16 2 8 2 13
4、 2 10 2 9 2 15 2 1213:00 2 8 2 4 2 5 2 6 2 3 2 14 2 1014:00 4 16 4 13 4 10 4 10 4 9 4 17 4 1415:00 4 20 4 17 4 15 4 16 4 10 4 18 4 1516:00 6 17 6 18 6 18 6 17 6 15 6 16 6 1317:00 6 10 6 12 6 11 6 17 6 16 6 22 6 2418:00 6 9 6 10 6 10 6 10 6 13 8 32 8 3619:00 8 12 8 12 8 13 8 15 8 13 8 29 8 2020:00 8
5、20 8 30 8 21 8 19 8 32 10 33 10 3821:00 8 14 8 20 8 18 8 15 8 18 10 26 10 2522:00 4 11 4 9 4 13 4 14 4 12 4 16 4 18二、 问题的假设1、假设在某段时间内顾客到达参与排队的过程是平稳的，即队长基本保持不变。2、超市的服务时间为 8：00 到 22：00，且以一个小时为一个单位时间。3、周一至周五每日的人流量可以看同等分布，周末的流量又看成另一个分布。4、顾客接受服务的时间服从统计规律。5、超市实行先到先服务的原则，即每个时刻顾客都会到队长最短的地方排队，不会离开。6、顾客对于收银窗口
6、 没有特别的偏好，即每一个窗口对顾客来讲都是一样的。7、顾客中没有插队现象的发生。3三、 符号说明(1) Xai: 工作日第 i 个时间段的收银员的数目,(2) Xbi : 周末日第 i 个时间段的收银员的数目,(3) xai : 调整排班后工作日第 i 个时间段的收银员的数目,(4) xbi : 调整排班后周末第 i 个时间段的收银员的数目,(5) t : 顾客接受服务时间，(6) Maij : 工作日第 i 个时段第 j 天正在排队的顾客人数,(7)mai :工作日第 i 个时间段在排队的平均顾客人数，(8) Mbij : 周末第 i 个时段第 j 天正在排队的顾客人数,(9) mbi :
7、 周末第 i 个时段第 j 天正在排队的顾客人数(10) Taj: 工作日第 j 天平均每个顾客等待时间，(11) taj : 重新排布后工作日第 j 天平均每个顾客等待时间，(12) Tbj : 周末第 j 天平均每个顾客等待时间，(13) tbj : 重新排布后周末第 j 天平均每个顾客等待时间，(14) Paij : 工作日第 i 个时段第 j 天接受服务顾客人数占第 j 天接受服务总顾客人数的比重，(15) Pbij : 周末第 i 个时段第 j 天接受服务顾客人数占第 j 天接受服务总顾客人数的比重，(16) Ga : 工作日一天的收银员的总工时，(17) ga : 工作日重新排布后
8、一天的收银员的总工时，(18) Gb : 周末一天的收银员的总工时，(19) gb : 周末重新排布后一天的收银员的总工时。四、模型的分析与建立基于以上假设，我们得出不同的顾客与服务组成了 S 个队列S 个服务台的并联排队系统，如下图:一、用 lingo 求解收银员的排班安排表（1）工作日的情况 1、顾客接受服务时间 t:4服务时间区间0.8，1.41.4,2.0 2.0,2.6 2.6,3.2 3.2,3.8 3.8,4.4 4.4,5.0频数29 47 11 8 2 2 1用 matlab 数学软件求 t:a=1.1 1.7 2.3 2.9 3.5 4.1 4.7 ;b=0.29 0.47
9、 0.11 0.08 0.02 0.02 0.01;t=a*bt= 1.8020。2、工作日第 i 个时间段的等待交费的平均人数 mai,由 mai= ，求得 ma15=7.4 19 23.8 16.8 9 4.6 10.4 13.4 14.6 12.2 9.6 51jMai12 21.8 15 10 ;3、在工作日调整排班后第 i 个时间段的收银员的数目 xai：用第 i 个时间段的收银员数目 Xai 乘以第 i 个时间段第 j 天的排队顾客数，再除以重新排布后的第 i 个时间段的收银员数目 ，表示重排后第 i 个时间段第 j 天的*XaMjxi排队顾客数。而顾客的最大忍受时间除以顾客接受服
10、务的时间 t 即为排队顾客数的上限。重排后的总工时 gaGa；由此得:；*30XaiMjxt。1515ii5根据 lingo 限制 x 为整数的求解的 xa15=3 10 12 7 2 1 3 4 6 5 4 6 11 8 3 ;（2） 、周末的情况1、顾客接受服务时间 t:2、工作日第 i 个时间段的等待交费的平均人数 mbi,由 mbi= ，求得 mb15= 8.5, 44, 42, 33.5, 13.5, 12, 15.5, 16.5, 14.5, 21jMbi23, 34, 24.5, 35.5, 25.5, 17;3、在周末调整排班后第 i 个时间段的收银员的数目 xbi：用第 i
11、个时间段的收银员数目 Xbi 乘以第 i 个时间段第 j 天的排队顾客数，再除以重新排布后的第 i 个时间段的收银员数目 ，表示重排后第 i 个时间段第 j 天的*XbMjxi排队顾客数。而顾客的最大忍受时间除以顾客接受服务的时间 t 即为排队顾客数的上限。重排后的总工时 gaGa；由此得:；*58XbiMjxt。1515ii根据 lingo 限制 x 为整数的求解的 xb15=3 14 14 9 1 1 2 3 3 5 9 7 12 8 4 ;二、验证这个超市收银员的排班计划的合理性1、工作日第 j 天平均每个顾客等待时间 Taj(1)、工作日第 i 个时段第 j 天接受服务顾客人数占第 j
12、 天接受服务总顾客人数的比重Paij 乘以工作日第 i 个时段第 j 天正在排队的顾客人数 Maij,然后求总和*t，即是第 j 天平均每个顾客等待时间 Taj。15*iPajMi6Ta5= 18.401117.946322.668421.158321.2019*t；(2)、类似的，收银员重排后，第 j 天平均每个顾客等待时间 taj。ta5=16.786116.6695 19.732018.755718.4382 *t通过对比易于发现，收银员重新排班之后，顾客的等候时间总是小于之前的等候时间，而总工时 ga=85 小于之前的 Ga=86.因此本模型对工作日的收银员重新排布是合理的。2、周末第
13、 j 天平均每个顾客等待时间 Taj(1)周末第 i 个时段第 j 天接受服务顾客人数占第 j 天接受服务总顾客人数的比重Pbij 乘以工作日第 i 个时段第 j 天正在排队的顾客人数 Mbij,然后求总和*t，即是第 j 天平均每个顾客等待时间 Tbj。15*iPajMiTb2= 32.1171 32.5738*t；(2)、类似的，收银员重排后，第 j 天平均每个顾客等待时间 tbj。Tb2= 29.6482 29.1323 *t同样的，通过对比易于发现，收银员重新排班之后，顾客的等候时间总是小于之前的等候时间，而总工时 gb=95 小于之前的 Gb=96.因此本模型对在周末的收银员重新排布
14、也是合理的。五、模型的优缺点分析优点：对建立的数学模型给出了具体的解法，给出了顾客排队模拟的进程流程图。经过合理的数据处理，将问题转化为对顾客排队等待时间的考虑，这样很好地简化了问题。由结果可知，本模型对题目的问题能够较好地实现解答。而且，模型本身简单易懂，便于验证，形式灵活，能够很好地应对当超市出现不同客流时的问题。由模型的运算结果知，超市每天的总工时总是小于原来的排班总工时，这对超市方面无疑是值得接受的；顾客方面，新排班后的等候时间，相比于原来排班，有一个较大幅度的减少，无疑，这可以较大程度的提高顾客对超市的满意度。如此一来，在不考虑其他因素的前提下，顾客会更愿意来到该超市，从而增加超市收
15、益。这些体现了模型的优越性和实用性。缺点：收银员服务时间 t 的样本容量不够大，有可能与真实的情况存在着微小偏差。在假设中没有考虑如不同收银员之间的服务效率之间的差异等因素。六、参考文献1、周义仓，赫孝良数学建模实验 西安交通大学出版社 2、 运筹学 （修订版） 清华大学出版社3、陆传赉排队论 北京邮电学院出版社4、孙荣恒，李建平排队论基础 科学出版社5、郑欢，古福文大超市顾客缴费排队系统优化分析J 管理学报 2005，2(2):171173 7附录1、 工作日对收银员重新排班的 lingo 程序代码：sets:bian/115/:t;yizhi/115/:x,y;endsetsdata:x
16、y=6 7.48 198 23.86 16.82 92 4.64 10.44 13.46 14.66 12.26 9.68 12 8 21.88 154 10;enddatamin=sum(bian(i):t(i);for(yizhi(i):x(i)*y(i)/t(i)30/w);for(yizhi(i):t(i)/(x(i)*y(i)1/w);for(bian:gin(t);w5;1/w1/1.8;注：程序中 t 工作日表示有待重排的在各个时间段的收银员数目。x 表示工作日原来的在各个时间段的收银员数目，y 工作日顾客在各个时间段的平均队长。Local optimal solution fo
17、und.Objective value: 85.00000Extended solver steps: 51Total solver iterations: 16808Variable Value Reduced CostW 1.800000 0.000000T( 1) 3.000000 1.000000T( 2) 10.00000 1.000000T( 3) 12.00000 1.000000T( 4) 7.000000 1.000000T( 5) 2.000000 1.000000T( 6) 1.000000 1.000000T( 7) 3.000000 1.000000T( 8) 4.0
18、00000 1.000000T( 9) 6.000000 1.000000T( 10) 5.000000 1.000000T( 11) 4.000000 1.000000T( 12) 6.000000 1.000000T( 13) 11.00000 1.000000T( 14) 8.000000 1.000000T( 15) 3.000000 1.0000002、周末对收银员重新排班的 lingo 程序代码sets:bian/115/:t;yizhi/115/:x,y;endsetsdata:x y=6 8.510 4410 428 33.52 13.52 124 15.54 16.56 14
19、.56 238 348 24.5 10 35.510 25.54 17;enddata!min=t1+t2+t3+t4+t5+t6+t7+t8+t9+t10+t11+t12+t13+t14+t15;min=sum(bian(i):t(i);for(yizhi(i):x(i)*y(i)/t(i)58/w);for(yizhi(i):t(i)/(x(i)*y(i)1/w);9for(bian:gin(t);w5;1/w1/1.8;注：程序中 t 周末表示有待重排的在各个时间段的收银员数目。x 表示周末原来的在各个时间段的收银员数目，y 周末顾客在各个时间段的平均队长。Local optimal s
20、olution found.Objective value: 95.00000Extended solver steps: 35Total solver iterations: 1830Variable Value Reduced CostW 1.800000 0.000000T( 1) 3.000000 1.000000T( 2) 14.00000 1.000000T( 3) 14.00000 1.000000T( 4) 9.000000 1.000000T( 5) 1.000000 1.000000T( 6) 1.000000 1.000000T( 7) 2.000000 1.000000T( 8) 3.000000 1.000000T( 9) 3.000000 1.000000T( 10) 5.000000 1.000000T( 11) 9.000000 1.000000T( 12) 7.000000 1.000000T( 13) 12.00000 1.000000T( 14) 8.000000 1.000000T( 15) 4.000000 1.000000
