1、1直线与圆、圆与圆的位置关系知识能否忆起一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r)相离 相切 相交图形方程观点 0 0 0量化 几何观点 d r d r d r二、圆与圆的位置关系( O1、 O2半径 r1、 r2， d| O1O2|)相离 外切 相交 内切 内含图形量化 d r1 r2 d r1 r2|r1 r2| d r1 r2d| r1 r2| d| r1 r2|小题能否全取1(教材习题改编)圆( x1) 2( y2) 26 与直线 2x y50 的位置关系是( )A相切 B相交但直线不过圆心C相交过圆心 D相离解析：选 B 由题意知圆心(1，2)到直线 2x y5
2、0 的距离 d ，0 d ，故5 6该直线与圆相交但不过圆心2(2012银川质检)由直线 y x1 上的一点向圆 x2 y26 x80 引切线，则切线长的最小值为( )A. B27 2C3 D. 2解析：选 A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小圆x2 y26 x80 可化为( x3) 2 y21，则圆心(3,0)到直线 y x1 的距离为 2 ，切线长的最小值为 .42 2 22 2 1 723直线 x y10 与圆 x2 y2 r2相交于 A， B两点，且 AB的长为 2，则圆的半径为( )A. B.322 62C1 D2解析：选 B 圆心(0,0)到直线 x y10 的距
3、离 d .则 r2 2 d2 ， r12 (12|AB|) 32.624(教材习题改编)若圆 x2 y21 与直线 y kx2 没有公共点，则实数 k的取值范围是_解析：由题意知 1，解得 k .21 k2 3 3答案：( ， )3 35已知两圆 C1： x2 y22 x10 y240， C2： x2 y22 x2 y80，则两圆公共弦所在的直线方程是_解析：两圆相减即得 x2 y40.答案： x2 y401.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为1 列方程来简化运算2对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况直线与圆的位置关系
4、的判断典题导入例 1 (2012陕西高考) 已知圆 C： x2 y24 x0， l是过点 P(3,0)的直线，则( )A l与 C相交 B l与 C相切C l与 C相离 D以上三个选项均有可能自主解答 将点 P(3,0)的坐标代入圆的方程，得320 24391230， y00，则切线方程为 x0x y0y1.分7别令 x0， y0 得 A ， B ，则| AB| 2.当且(1x0， 0) (0， 1y0) (1x0)2 (1y0)2 1x0y0 1x20 y202仅当 x0 y0时，等号成立5(2013兰州模拟)若圆 x2 y2 r2(r0)上仅有 4个点到直线 x y20 的距离为 1，则实
5、数 r的取值范围为( )A( 1，) B( 1, 1)2 2 2C(0, 1) D(0, 1)2 2解析：选 A 计算得圆心到直线 l的距离为 1，如图直22 2线 l： x y20 与圆相交， l1， l2与 l平行，且与直线 l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线 l2的距离 1.26(2013临沂模拟)已知点 P(x， y)是直线 kx y40( k0)上一动点， PA， PB是圆 C： x2 y22 y0 的两条切线， A， B是切点，若四边形 PACB的最小面积是 2，则 k的值为( )A. B.2212C2 D22解析：选 D 圆心 C(0,1)到 l的距离 d ，5
6、k2 1所以四边形面积的最小值为 2 2，(121d2 1)解得 k24，即 k2.又 k0，即 k2.7(2012朝阳高三期末)设直线 x my10 与圆( x1) 2( y2) 24 相交于 A、 B两点，且弦 AB的长为 2 ，则实数 m的值是_3解析：由题意得，圆心(1,2)到直线 x my10 的距离 d 1，即4 31，解得 m .|1 2m 1|1 m2 33答案：338(2012东北三校联考)若 a， b， c是直角三角形 ABC三边的长( c为斜边)，则圆C： x2 y24 被直线 l： ax by c0 所截得的弦长为_解析：由题意可知圆 C： x2 y24 被直线 l：
7、ax by c0 所截得的弦长为 2 ，由于 a2 b2 c2，所以所求弦长为 2 .4 ( ca2 b2)2 38答案：2 39(2012江西高考)过直线 x y2 0 上点 P作圆 x2 y21 的两条切线，若两2条切线的夹角是 60，则点 P的坐标是_解析：点 P在直线 x y2 0 上，可设点 P(x0， x02 )，且其中一个切点2 2为 M.两条切线的夹角为 60， OPM30.故在 Rt OPM中，有 OP2 OM2.由两点间的距离公式得 OP 2，解得 x0 .故点 P的坐标是( ， x20 x0 22 2 2 2)2答案：( ， )2 210(2012福州调研)已知 M： x
8、2( y2) 21， Q是 x轴上的动点， QA， QB分别切 M于 A， B两点(1)若| AB| ，求| MQ|及直线 MQ的方程；423(2)求证：直线 AB恒过定点解：(1)设直线 MQ交 AB于点 P，则| AP| ，又| AM|1， AP MQ， AM AQ，得223|MP| ，12 89 13又| MQ| ，| MQ|3.|MA|2|MP|设 Q(x,0)，而点 M(0,2)，由 3，得 x ，x2 22 5则 Q点的坐标为( ，0)或( ，0)5 5从而直线 MQ的方程为 2x y2 0 或 2x y2 0.5 5 5 5(2)证明：设点 Q(q,0)，由几何性质，可知 A，
9、B两点在以 QM为直径的圆上，此圆的方程为 x(x q) y(y2)0，而线段 AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得 AB的方程为 qx2 y30，所以直线 AB恒过定点 .(0，32)11已知以点 C (tR， t0)为圆心的圆与 x轴交于点 O、 A，与 y轴交于点(t，2t)O、 B，其中 O为原点(1)求证： AOB的面积为定值；(2)设直线 2x y40 与圆 C交于点 M、 N，若| OM| ON|，求圆 C的方程解：(1)证明：由题设知，圆 C的方程为(x t)2 2 t2 ，(y2t) 4t2化简得 x22 tx y2 y0，4t9当 y0 时， x0 或 2t，则 A(2t,
10、0)；当 x0 时， y0 或 ，则 B ，4t (0， 4t)所以 S AOB |OA|OB|12 |2t| 4 为定值12 |4t|(2)| OM| ON|，则原点 O在 MN的中垂线上，设 MN的中点为 H，则 CH MN， C、 H、 O三点共线，则直线 OC的斜率k ， t2 或 t2.2tt 2t2 12圆心为 C(2,1)或 C(2，1)，圆 C的方程为( x2) 2( y1) 25 或( x2) 2( y1) 25，由于当圆方程为( x2) 2( y1) 25 时，直线 2x y40 到圆心的距离 d r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，圆 C的方程为( x2) 2( y1)
11、25.12在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 x2 y212 x320 的圆心为 Q，过点 P(0,2)，且斜率为 k的直线与圆 Q相交于不同的两点 A、 B.(1)求 k的取值范围；(2)是否存在常数 k，使得向量 与 共线？如果存在，求 k值；如果不存OPQ在，请说明理由解：(1)圆的方程可写成( x6) 2 y24，所以圆心为 Q(6,0)过 P(0,2)且斜率为 k的直线方程为 y kx2，代入圆的方程得 x2( kx2) 212 x320，整理得(1 k2)x24( k3) x360.直线与圆交于两个不同的点 A、 B等价于 4( k3) 2436(1 k2)4 2(8 k26 k)
12、0，解得 k0，即 k的取值范围为 .34 ( 34， 0)(2)设 A(x1， y1)、 B(x2， y2)则 ( x1 x2， y1 y2)，O由方程得 x1 x2 .4 k 31 k2又 y1 y2 k(x1 x2)4.因 P(0,2)、 Q(6,0)， (6，2)，P所以 与 共线等价于2( x1 x2)6( y1 y2)，将代入上式，解得OABk .3410而由(1)知 k ，故没有符合题意的常数 k.(34， 0)1已知两圆 x2 y210 x10 y0， x2 y26 x2 y400，则它们的公共弦所在直线的方程为_；公共弦长为_解析：由两圆的方程 x2 y210 x10 y0，
13、 x2 y26 x2 y400，相减并整理得公共弦所在直线的方程为 2x y50.圆心(5,5)到直线 2x y50 的距离为 2 ，105 5弦长的一半为 ，得公共弦长为 2 .50 20 30 30答案：2 x y50 2 302(2012上海模拟)已知圆的方程为 x2 y26 x8 y0， a1， a2， a11是该圆过点(3,5)的 11条弦的长，若数列 a1， a2， a11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是_解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为 10，最短为 4 ，故公差最大为 610 461
14、0.5 265答案：5 2653.(2012江西六校联考)已知抛物线 C： y22 px(p0)的准线为 l，焦点为 F，圆 M的圆心在 x轴的正半轴上，圆 M与 y轴相切，过原点 O作倾斜角为 的直线 n，交直线 l于点 A，交圆 M于不同的3两点 O、 B，且| AO| BO|2.(1)求圆 M和抛物线 C的方程；(2)若 P为抛物线 C上的动点，求 , ,的最小值；PF(3)过直线 l上的动点 Q向圆 M作切线，切点分别为 S、 T，求证：直线 ST恒过一个定点，并求该定点的坐标解：(1)易得 B(1， )， A(1， )，设圆 M的方程为( x a)2 y2 a2(a0)，3 3将点
15、B(1， )代入圆 M的方程得 a2，所以圆 M的方程为( x2) 2 y24，因为点3A(1， )在准线 l上，所以 1， p2，所以抛物线 C的方程为 y24 x.3p2(2)由(1)得， M(2,0)， F(1,0)，设点 P(x， y)，则 ,(2 x， y)，,(1 x， y)，又点 P在抛物线 y24 x上，所以 , ,(2 x)(1 x)PF PF11 y2 x23 x24 x x2 x2，因为 x0，所以 , ,2，即 , ,的PMFPF最小值为 2.(3)证明：设点 Q(1， m)，则| QS| QT| ，以 Q为圆心， 为半径的圆m2 5 m2 5的方程为( x1) 2(
16、y m)2 m25，即 x2 y22 x2 my40，又圆 M的方程为( x2) 2 y24，即 x2 y24 x0，由两式相减即得直线 ST的方程 3x my20，显然直线 ST恒过定点 .(23， 0)1两个圆： C1： x2 y22 x2 y20 与 C2： x2 y24 x2 y10 的公切线有且仅有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：选 B 由题知 C1：( x1) 2( y1) 24，则圆心 C1(1，1)， C2：( x2)2( y1) 24，圆心 C2(2,1)，两圆半径均为 2，又|C1C2| 4，则两圆相交 只有两条外公切线 2 1 2 1 1 2 132(20
17、12江苏高考)在平面直角坐标系 xOy中，圆 C的方程为 x2 y28 x150，若直线 y kx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C有公共点，则k的最大值是_解析：设圆心 C(4,0)到直线 y kx2 的距离为 d，则 d ，由题意知，问题|4k 2|k2 1转化为 d2，即 d 2，得 0 k ，所以 kmax .|4k 2|k2 1 43 43答案：433过点(1，2)的直线 l被圆 x2 y22 x2 y10 截得的弦长为 ，则直线 l2的斜率为_解析：将圆的方程化成标准方程为( x1) 2( y1) 21，其圆心为(1,1)，半径 r1.由弦长为 得弦心距为
18、 .设直线方程为 y2 k(x1)，即 kx y k20，则222 ，化简得 7k224 k170，得 k1 或 k .|2k 3|k2 1 22 177答案：1 或1774圆 O1的方程为 x2( y1) 24，圆 O2的圆心为 O2(2,1)12(1)若圆 O2与圆 O1外切，求圆 O2的方程；(2)若圆 O2与圆 O1交于 A、 B两点，且| AB|2 ，求圆 O2的方程2解：(1)设圆 O2的半径为 r2，两圆外切，| O1O2| r1 r2， r2| O1O2| r12( 1)，2故圆 O2的方程是( x2) 2( y1) 24( 1) 2.2(2)设圆 O2的方程为( x2) 2( y1) 2 r ，2又圆 O1的方程为 x2( y1) 24，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦 AB所在直线的方程：4 x4 y r 80.2因为圆心 O1(0，1)到直线 AB的距离为 ，|r2 12|42 4 (222)2 2解得 r 4 或 r 20.2 2故圆 O2的方程为(x2) 2( y1) 24 或( x2) 2( y1) 220.
