1、1國中幾何研習資料 台中縣順天國中賴文宗人是視覺的動物，為了生存，人類天賦的形或幾何直覺，遠比一般人所想像要豐富堅實。典型的視覺影像處理如直線、圖形的邊緣、平行與垂直、對稱、全等操作、放大縮小、圖形識別等，對人類大腦輕而易舉，卻是電腦處理的重大挑戰。因此，幾何不但是數學教育中的重要課題，而且也是較易學習、較有趣的教學單元。圖形與空間的了解可分為知覺性的了解、操弄性的了解、構圖性的了解、論述性的了解。小學教師在從事幾何教學時，最要避免的是來自本身歐氏公設幾何訓練的干擾，處處受制於定義的認定與邏輯順序。由歷史來看，人類是先由應用、操作、實踐中，認識各種幾何要素與性質，彼此之間並沒有一定的先後關係。
2、歐氏幾何的價值，首先是對這些先民知識的歸類與整理，其次才是作為知識典範的演繹系統。因此小學的幾何教學，可以參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展階段，盡量讓學童發揮、拓展其幾何直覺。在操作中，認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢慢加入簡單的推理性質與彼此之間的關係，為以後銜接國中幾何的教學，打下良好的基礎。推理能力的培養是國中數學教育的重點之一。國中階段的學習仍舊以學生已有的幾何直覺經驗為前導，但強調主體或觀念的明確定義，及幾何量的代數運算。因此，學習的內容是由非形式化的推理逐漸提昇至形式化的推理。在國中階段，對於幾何推理的形成，僅強調幾個簡單步驟的推理。幾何推理：是以已知條件及已知為正確的幾何性
3、質 ，推導出結論，這個過程稱為證明 。我們引用來做為推理過程的基礎幾何性質：一部份是利用實驗歸納的方法得來的，另一部份則是利用已知的幾何性質進行推論而導出的結果。證明過程中，除了已教過的性質和定義及已知條件可利用外，沒教過的不可引用。教學時可利用填充證明題開始，進而慢慢獨立完成推理幾何證明的寫作，這對於日後數學邏輯推理能力及以抽象為主的高中數學學習皆有很大的影響。幾何課程可概分為四階段：（1 ） 階段一（一年級到三年級）：較強調幾何形體的認識、探索與操作，學生對幾何形體中的幾何要素，也許能指認，但尚不清楚其結構意義。（2 ） 階段二（四年級到五年級）：由於數與量的發展逐漸成熟，學生開始結合數與
4、形兩大主題，學習運用幾何形體的構成要素（如角、邊、面）及其數量2性質（如角度、邊長、面積） 。（3 ） 階段三（六年級到七年級）：透過形體的分割、拼合、截補、變形及變換等操作，來了解形體的性質與幾何量的計算及非形式化推理。透過方位描述及立體模型的展開與組合以培養空間能力及視覺推理。（4 ） 階段四（八年級到九年級）：開始由具體操作情境進入推理幾何情境中，最終目標是學會推理幾何證明。學習內容採漸進式安排，由基本幾何概念進入較深入的幾何推理領域中。學習方式最開始可由填充式推理幾何，慢慢養成完整能力，讓學生有能力及信心，快樂地學習幾何學領域的知識。教材內含有認識生活中的平面圖形，如三角形、四邊形、多
5、邊形、圓形；認識點、線、角、符號及幾何相關名詞；使用基本性質描述某一類形體；能以最少性質對幾何圖形下定義、並熟練定義的相關操作；體會邏輯概念：包含關係、敘述及逆敘述、推理幾何；求角度問題、長度問題、面積（表面積）問題、體積問題；推理證明、尺規作圖、全等性質、相似性質、平行性質的應用、圓的相關性質。認識、理解、熟練本次綱要修訂，指標以數學內涵為主體，簡明扼要為目標。因此看似與認知有關的三個名詞認識、理解與熟練其實只是描述學習可能的不同階段。認識強調的是觀察、個例、經驗、歸納的學習初期階段，理解強調的是概念形成、練習、驗證、推廣的中期階段，熟練則在於形式與解題程序之流暢。認識與理解在具體情境中進行
6、，理解與熟練在抽象情境中進行。理解本身則在具體與抽象情境間來回練習。如果一個數學概念在一個階段或一個學年中可完成，指標以較成熟的學習階段來描述。因此如果指標只有理解沒有認識，則表示認識與理解必須在同一階段或學年度完成。3小學六年級至高( 中、職)一年級的課程內容年級 課 程 內 容小六質數( 小於 20)，合數，質因數( 小於 10) ，最大公因數，最小公倍數，約分，最簡分數，直式除法(除數為小數) ，分數四則混合計算，比與比例，速度的概念，正比的概念；面積估算，圓面積，圓周長，扇形面積，直立柱體體積，圖形放大、縮小，認識圓錐、圓柱、角柱；使用未知數符號列式、運算、解題，透過列表方式認識變數；
7、製作統計圓形圖國一負數，數線，絕對值，質數(100 以內) ，因數，質因數，倍數，最大公因數，最小公倍數，因數分解，指數律；比例，正比，反比，比例式，連比，連比例；符號代表數、一元一次方程式的列式與求解、一元一次不等式的列式與求解；列式、解二元一次方程式，直角坐標系，描繪 y ax b 的圖形；變數，函數的基本概念，線型函數。國二二次方根，近似值，根式運算；觀察有序數列，等差數列，級數；乘法公式，根式的化簡，多項式四則運算，勾股定理；因式，倍式，提公因式，因式分解，分組分解；一元二次方程式的解法：乘法公式因式分解，十字交乘法，配方法，解的公式判別式；平面幾何圖形基本性質：認識點、線、角，圓的定
8、義及相關名詞、尺規作圖、垂直，平行，平面圖形線對稱性質；三角形基本性質，三角形全等，三角形邊角關係；平行公設，平行四邊形，梯形；複合形體國三二次函數圖形,對稱軸、函數的極值；平行線截比例線段，相似形相似性質，相似三角形；直線與圓、兩圓位置關係，圓的相關性質；三角形外心、內心、重心，三角形與圓的幾何推理；統計資料，次數分配表，第 10、25 、50、75、90 百分位數；平均數，中位數，眾數；全距，第一、二、三四分位數，四分位距；機率的基本概念高一簡單的邏輯概念，集合的基本概念，函數的基本概念；整數(因數,倍數)，有理數與實數；平面坐標系，複數與複數平面；等差數列與等比數列，無窮數列與無窮級數，
9、數學歸納法；多項式的四則運算，餘式定理與因式定理，多項函數，多項方程式，最高公因式與最低公倍式；多項不等式；指數對數及其圖形，對數的近似值；銳角三角函數，三角函數的近似值與簡易測量，正弦定理，餘弦定理，三角測量，三角函數的圖形；和角，倍角，半角公式，積與和差互化，正、餘弦函數之疊合，反三角函數；複數的極式，複數與方根，極坐標與複式的極式，棣美弗定理及其應用。4工科直角坐標，距離公式，分點坐標；函數圖形，有向角及其度量，三角函數的定義，任意角的三角函數，三角函數的圖形；複角的三角函數，正弦、餘弦定理，三角形的解法，三角測量；向量的意義，向量的加減法，向量與實數的積，向量的內積、外積；數系的發展；
10、多項式的四則運算，餘式，因式定理，分式及根式；方程式的解法，二次方程式的虛根；複數的四則運算，複數與方根，極坐標與複式的極式，棣美弗定理及其應用；指數函數及其圖形，對數函數及其圖形，常用對數；一次方程組的解，二階行列式，三階行列式。商科多項式的四則運算，綜合除法，餘式，因式定理；方程式的解法；直角坐標，距離公式，分點坐標；函數圖形，指數函數及其圖形，對數函數及其圖形；有向角及其度量，任意角的三角函數，三角測量，三角函數的圖形；等差數列與級數，等比數列與級數，無窮等比級數。綱要幾何課程內容說明簡單的幾何圖形生活中的平面圖形點、線、線段、疊合法比較大小、射線、角、互餘、同角的餘角必相等、互補、同角
11、的補角必相等、對頂角、對頂角必相等。圓、圓心、半徑、直徑、圓心角、弦、直徑是圓中最長的弦、弧、半圓、優弧、劣弧、扇形、弓形。認識三角形的基本名稱、認識四邊形的基本名稱、認識多邊形的基本名稱。圖形全等、圖形的摺疊與線對稱圖形、角平分線意義。三角形 =一一一一一一一一一ABC=一一一一一一一一一一 一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一5=一一一一一一一一一一一一90 一一一一一一一一一一一90一一一180一一一一一一一一一一一90一一一一一一一一四邊形正多邊形圖形全等 如果兩個圖形，經過平移、旋轉或翻轉後，可以完全疊合，我們就稱這兩個圖形為全等。線對 稱圖形線對稱圖形的對稱軸會垂直平分
12、兩對稱點連線段。=一一一一一一一 一一一一 一一一一一一一一一一一一一 =和和和:和和A和和B 和E和和F 和G和和H和和和:和AC和BC AD和BD和和和:和A和B 1和2 3和4A E G =3 41 2DBFCHBNCAHFDMGE6尺規作圖等線段作圖、等角作圖、菱形對角線互相垂直平分、角平分線作圖、作線段中點、中垂線、認識三角形的中線、過線上一點作垂線、過線外一點作垂線、認識三角形的高。例如：複製三角形（SSS） 、複製三角形（ SAS） 、認識平行定義、三角形的內角和 。180三角形的全等全等的意義、全等的記法、SSS 三角形作圖與全等性質、 SAS 三角形作圖與全等性質、角平分線性
13、質、中垂線性質、ASA 三角形作圖與全等性質、AAS 三角形全等性質、RHS 作圖與全等性質、SSA 不一定全等、AAA 不一定全等的說明。三角形的內角與外角三角形的內角和性質、三角形的外角意義、三角形的性質、三角形的外角和性質。三角形內角和180已知 、 同時垂直 於 D、F 兩點。 為銳角三角形、 為PRQSABCDEFA直角三角形、 為鈍角三角形。 （利用第五公設：平行公設）GHIA151413121110987654321SRQPFB C H IEA GD銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形7多邊形的內角與外角認識三角形、四邊形、五邊形、六邊形內角和與外角和。n 邊形內角和定理：n 邊形
14、內角和 。(2)180nn 邊形外角和定理：n 邊形外角和 36三角形 四邊形 五邊形 六邊形三角形數目 1 2 3 4內角和 80360540720外角和 3666正三角形 正四邊形 正五邊形 正六邊形 正 n 邊形內角和 180360540720(2)180每個內角 69181每個外角 272636n特殊三角形正三角形三邊長相等，或三內角相等的三角形，皆為正三角形=6030a3a2a2313060CAB M8直角三角形斜邊中點：直角三角形斜邊中點到三頂點等距離等腰直角三角形：等腰三角形等腰三角形，必為兩底角相等的三角形。兩內角相等的三角形，必為等腰三角形。等腰三角形頂角平分線垂直平分其底邊
15、等腰三角形頂角平分線和底邊的中垂線都在同一直線。三角形的邊角關係兩邊和大於第三邊： 4545aa2a2114545c B b a EDMACDEDMACEDMACB BB10兩邊和大於第三邊、若三線段組成三角形時，則兩邊差的絕對值第三邊兩邊的和。 FAB C等邊對等角： 大邊對大角： 11大角對大邊：平行線生活中的平行、垂直於同一直線定義兩直線互相平行、過線外一點作平行線、截線、截角、平行線與同位角相等、同側內角互補、內錯角相等、利用平行線的截線性質判別平行線。垂直於同一直線定義兩直線互相平行： M若 、 ，則 。1LM212LA12尺規作圖：過線外一點作平行線平行與四邊形1. 平行四邊形性質
16、：任一對角線可將其分割成兩個全等三角形。兩雙對邊相等。兩組對角相等。兩對角線互相平分。2. 平行四邊形判別性質：兩雙對邊相等的四邊形，必為一平行四邊形。兩組對角相等的四邊形，必為一平行四邊形。兩對角線互相平分的四邊形，必為一平行四邊形。一雙對邊平行且相等的四邊形，必為一平行四邊形。123. 其他四邊形： 矩形的兩對角線等長。 具有一內角為直角的的平行四邊形，必為一矩形。 菱形的兩對角線互相垂直平分。 具有一組鄰邊相等的平行四邊形，必為一菱形。 正方形的兩對角線互相垂直平分且相等。 具有一組鄰邊相等的矩形，必為一正方形。 具有一內角為直角的菱形，必為一正方形。 尺規作圖一正方形。 等腰梯形的兩底
17、角相等。 等腰梯形的兩對角線等長。 對角線等長的梯形為一等腰梯形。 梯形中線與上底、下底均平行。 梯形中線長等於上底、下底和的一半。 梯形面積為中線與高的乘積。周長與面積平面圖形的性質解決周長、圓的性質解決扇形周長與面積、複合平面圖形的周長及面積。長方形面積公式、平行四邊形面積公式、三角形面積公式、梯形面積 ()2上 底 下 底 高菱形面積 、圓面積公式、扇形弧長與面積公式。()2對 角 線 相 乘生活中的立體圖形認識重要的立體圖形：直角柱、直角錐、直圓柱、直圓錐及直立柱體的邊、角、面。能計算直立柱體柱體的體積、表面積及直立圓錐的表面積、複合立體圖形。平 行 四 邊 形一 內 角 為 直 角
18、的平 行 四 邊 形 為 矩 形 鄰 邊 等 長 的平 行 四 邊 形 為 菱 形 鄰 邊 等 長 的矩 形 為 正 方 形 一 內 角 為 直 角 的菱 形 為 正 方 形 13BABA1. 線與面的垂直：我們要判斷線與面是否垂直時，可將一正方體放在此平面上，若正方體的一邊和所給的直線重疊，如(圖一) ，我們就說 和平面垂直。若不重疊，如(圖二)，就說 和平面ABB不垂直。2. 面與面垂直：若一正方體放在兩個平面之間，正方體的相鄰兩邊和平面交接處完全密合，如(圖一)，就說兩平面互相垂直。若正方體和兩平面交接處無法密合，而產生如圖(二)、圖( 三)的空隙，我們就說此兩平面不垂直。平行與比例四個
19、全等三角形拼圖實驗：（一）1. 經過三角形一邊的中點且平行於另一邊的直線，一定通過第三邊中點，且此線段長為底邊長度的一半。2. 平行線截等線段性質、尺規作圖截等線段、平行線截比例線段性質。3. 計算公式：在ABC 中 在 上， 在 上，且 平行於 ，則DABECDEBC， ，CEBA:AB:垂 直 平 面 A不 垂 直 平 面,兩 平 面 與 正 方 體 間 有 空 隙 所 以兩 平 面 不 垂 直 ,兩 平 面 與 正 方 體 間 有 空 隙 所 以兩 平 面 不 垂 直,兩 平 面 與 正 方 體 間 沒 有 空 隙 所 以兩 平 面 垂 直 (圖 二 )(圖 三 )(圖 一 )14， 。
20、ECADB:BCDEA:（二）1. 連接三角形兩邊中點的線段必平行於第三邊，且長度等於第三邊的一半。2. 計算公式：在ABC 中 在 上， 在 上，若 ， 或 BECA:，ACEBAD:或 ，則 平行於 。但若 ，ECD:DBCBD:則 不一定平行於 。相似形一般相似形、相似多邊形：對應角相等及對應邊成比例（缺一不可） 、相似符號、影印放大縮小、利用坐標放大、相似三角形：AAA（AA）三角形相似性質、SAS 三角形相似性質、SSS 三角形相似性質。利用相似三角形對應邊成比例的觀念應用於實物的測量。利用坐標、比例線段來做相似形的圖形。兩相似三角形中，對應邊長之比對應邊高之比對應分角線之比對應中線
21、之比，及對應面積之比對應邊長平方比。圓形直線與圓及兩圓的關係理解點與圓的位置關係、直線與圓的位置關係。切線性質：圓心與切點的連線必垂直此切線。圓心到弦的距離稱為弦心距，且該線段垂直平分此弦。兩圓的位置關係及公切線。圓的相關性質圓心角、圓周角、弦切角等定義。圓內接四邊形的對角互補。圓內接三角形的一邊為直徑時，此三角形必為直角三角形。15幾何推理證明幾何推理：是以已知條件及已知為正確的幾何性質 ，推導出結論，這個過程稱為證明 。教學時可利用填充證明題開始，進而慢慢可獨立完成推理幾何證明的寫作，但推理步驟不宜過多。三角形外心的定義和相關性質1. 證明 （1）中垂線上任一點到此線段兩端等距離。（2）到
22、線段兩端等距離的點必在此線段的中垂線上2. 三角形三條中垂線交於一點。3. 過三角形三頂點的外接圓圓心稱為三角形的外心。4. 三角形的外心至三頂點等距離。5. 直角三角形斜邊中點到三頂點等距離。6. 學習推導三個內角分別為 30 度、60 度、90 度及 45 度、45 度、90 度的直角三角形邊角關係（證明邊到角：若直角三角形三邊長比 ，則其1:32對應角 、 、 ）3069三角形內心的定義和相關性質1. 證明 （1）角平分線上任一點到此角兩邊等距離。（2）到角兩邊等距離的點必在此角的平分線上2. 三角形三條角平分線交於一點。3. 三角形內切圓的圓心稱為內心。4. 三角形的內心至三邊等距離。
23、5. 設ABC 周長 ，內切圓半徑 ，則ABC 的面積 。sr2sr6. 直角三角形中，內切圓半徑 （兩股和斜邊）2。三角形重心的定義和相關性質1. 三角形三條中線必相交於一點，這個點稱為三角形的重心。2. 三角形的重心到一頂點距離等於它到對邊中點距離的兩倍。3. 三角形三條中線將三角形面積六等份。54. 正三角形的高與面積公式。平行與比例 證明：1. 兩個等高的三角形面積比，等於其底的比。2. 經過三角形一邊的中點且平行於另一邊（底邊）的直線，一定通過第三邊中點，且此線段長為底邊長度的一半。3. 連接三角形兩邊中點的線段必平行於第三邊，且長度等於第三邊的一半4. 在ABC 中 在 上， 在 上，且 平行於 ，則DABECDEBC， ，:AA:， 。
