1、立体几何解题基本思路 第 页1立体何几解题基本思路新疆 刘安宁 邮箱：立几解题思路 ：空间几何问题 化归 （构造认定） 平面几何问题计算平面问题的解结论空间问题的解.实现化归的思路与手段：1. 借助公共元素（交点、交线）建立联系的桥梁，畅通渠道，实现化归。例 1. 平行六面体 ABCDA1B1C1D1, 求截面 A1BD 分对角线 AC1 所成的比。 【思 路】：确定 AC1 与截面 A1BD 的交点位置。 （答案 1：2）【分析】:连 AC, 设 连 . AC 1 在对角面 A1ACC1 内,Q1A1ACC1A 1BD=A1Q, 点 G 必定在 A1Q 上, A 1QAC 1=G这样问题化归
2、为平面 A1ACC1 内的问题了.平面问题是:在 A1ACC1 中,Q 为 AC 中点, A1QAC 1=G,求 AG:GC1.取 AC 的中点 Q,连 A1Q, A1QAC 1=G. AC/A 1C1 , AQ= 2CAGQC 1GA1 因此 AG:GC1=AQ:A1C1=1:2.【点评】:本题中是通过确定直线与平面的交点的位置来将立体几何问题化归为平面几何问题的. 练习.1. 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 为 BB1,的中点,求证:截面 A1EC侧面 AC1.（第 1 题） （第 2 题） （第 3 题）2.如图,已知空间四边形 ABCD 及两条对角线 AC、BD,AB=
3、AC=AD= ,BD=BC=CD= ,AH平面abBCD,垂足为 H.求平面 ABD 与平面 BCD 所成角的余弦值. 【答案】 243a3.如图,已知平面 平面 =AB,PC ,PD ,求证:ABCD.例 2.正方体 ABCDA1B1C1D1 中， M 为 AA1 的中点，求平面 B1MD 与底面 ABCD 所成角的正切值。立体几何解题基本思路 第 页2【思 路】：确定交线作出平面角转化为平面问题。 【答案】 tan =1BD22. 借助于辅助平面实现化归。例 3.已知 a，a , ab. b【思路】：作出辅助平面确定交线以交线为桥梁，证明 ab.例 4. 如图，ABCA 1B1C1 是直三
4、棱柱，过点 A1、B 、C 1 的平面和平面 ABC 的交线记作 m ，（1）判定直线 A1C1 和 m 的位置关系，并加以证明。（2）若 A1A = 1, AB = 4 , BC = 3 , ABC = 900 , 求顶点 A1 到直线 m 的距离。【思路】：（构造性解法）画出交线判断证明。【答案】 5133.借助射影实现化归（作出射影的位置，将成为解题的出发点和关键）例 5.在三棱锥 PABC 中, PA平面 ABC, ACBC, PA = 8 , AC = 6 ,AB =9.6, 求 AB 和平面 PBC所成的角。【思路】：面面垂直线面垂直射影位置解直角三角形。 【答案】: 30 0 4
5、. 借助截面实现化归。例 5.斜三棱柱 ABCA1B1C1 中，A A1B1C1 是各棱长为 1 的正三棱锥。 （1）求斜三棱锥的侧面积。立体几何解题基本思路 第 页3（2）若二面角 B1 ABC 为 ，二面角 ABB1C 为 ，求证：= 2.【思路】：作出直截面 【思路】: 1+ 3例 6.圆锥的母线长为 8，母线和底面所成的角为 ，求这个圆锥内接正方体的棱长。【思路】：作出轴截面 转化为平面几何问题。【关键】：选择正方体的对角面用轴截面。【答案】: cos2in85.借助展开图实现化归。例 7.正三棱锥 SABC 的侧棱长 1，ASB = 450 ,M、N 分别是 SB、SC 上的点。求AMN 的周长的最小值 。【思路】：将侧面展开 化为平面几何问题。 【答案】: 2+ 26.借助向量实现化归例 8.如图, 正方体方体 OABCO1A1B1C1 中， B1M = B1O1 , A1N = A1B . （1）证明：MN 是33A1B 与 B1O1 的公垂线；（ 2）求 MN 的长。【思路】：写出各点坐标求出向量 1,N计算证明 及 。 01AM0B【答案】: 3
