1、2012-2013 第一学期数学建模试题卷班级：2010 级 统计姓名：石光顺学号：20101004025成绩：一、用Matlab求解以下优化问题（10分）用Matlab 求解下列线性规划问题：解：首先化Matlab标准型，即 123minwx，2314x12201T然后编写Matlab程序如下：f=-3,1,1;a=1,-2,1;4,-1,-2;b=11,-3;aeq=-2,0,3;beq=1;x,y=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1);x,y=-y运行结果：x =0.00002.33330.3333y =-2.6667即当 时， 。1230,.,0.xxmax
2、2.67z二、求解以下问题，列出模型并使用Matlab求解（20分）某厂生产三种产品 I，II ，III 。每种产品要经过 A, B 两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成 A 工序，它们以 A1, A2 表示；有三种规格的设备能完成 B 工序，它们以 B1, B2, B3 表示。产品 I可在 A, B 任何一种规格设备上加工。产品 II 可在任何规格的 A 设备上加工，但完成 B 工序时，只能在 B1 设备上加工；产品 III 只能在A2 与 B2 设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表 1，求安排最优的生产计
3、划，使该厂利润最大。表 1解：（1）根据题意列出所有可能生产产品 I、II、III 的工序组合形式，并作如下假设：按(A1，B1)组合生产产品 I，设其产量为 ;1x按(A1，B2)组合生产产品 I，设其产量为 ;2按(A1，B3)组合生产产品 I，设其产量为 ;3x按(A2，B1)组合生产产品 I，设其产量为 ;4按(A2，B2)组合生产产品 I，设其产量为 ;5x按(A2，B3)组合生产产品 I，设其产量为 ;6x按(A1，B1)组合生产产品 II，设其产量为 ;7按(A2，B1)组合生产产品 II，设其产量为 ;8x按(A2，B2)组合生产产品 III，设其产量为 ;9则目标函数为： 1
4、2345678912374568917259max(.50)().(.03()6120()()7830Zxxxxx约束条件为： 1237456892936()07120(4.()0,1ixxstx目标函数整理得： 1234567890.37.00.3.40.5.60.MaxZxxx（2）用 Matlb 程序求解目标函数，编写程序如下：f=-0.37;-0.31;-0.40;-0.34;-0.34;-0.43;-0.65;-0.86;-0.68;a=5,5,5,0,0,0,10,0,00,0,0,7,7,7,0,9,126,0,0,6,0,0,8,8,00,4,0,0,4,0,0,0,110,0
5、,7,0,0,7,0,0,0;b=6000;10000;4000;7000;4000;x,y=linprog(f,a,b,zeros(9,1);x,y=-y输出结果为：x =0.0000762.7155437.28450.000095.9051134.14410.0000500.0000324.1379y =1.1521e+003即当 1234567890,76.,47.,91,0,2.;xxx可以获得最大利润 1152 元。三、使用图论知识求解下面问题，并使用 Matlab 求解（20 分）北京（Pe）、东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa)各城市之间的航线距离如表
6、2。表2由上述交通网络的数据确定最小生成树。解：（1）根据表2得北京（Pe）、东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa)之间的无向连线图如下：（2）用prim算法求上图的最小生成树用 的第一、二、三行分别表示生成树边的起点、终点、权集合。nresult3Matlab 程序如下：a=zeros(6);a(1,2)=56;a(1,3)=35;a(1,4)=21;a(1,5)=51;a(1,6)=60;a(2,3)=21;a(2,4)=57;a(2,5)=78;a(2,6)=70;a(3,4)=36;a(3,5)=68;a(3,6)=68;a(4,5)=51;a(4,6)=61
7、;a(5,6)=13;a=a+a;a(a=0)=inf;result=;p=1;tb=2:length(a);while size(result,2)=length(a)-1temp=a(p,tb);temp=temp(:);d=min(temp);jb,kb=find(a(p,tb)=d);j=p(jb(1);k=tb(kb(1);result=result,j;k;d;p=p,k;tb(find(tb=k)=;endresult输出结果为：result =1 1 3 1 54 3 2 5 621 35 21 51 13由输出结果可知最小生成树的边集为 ,且有1432156,vv。14133
8、21562,5,vv最小生成树的值为sum= 。432156vvv该图的最小生成树如下图：四、综合题（50分）飞机降落曲线在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线（图 1）. 根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条五次多项式. 飞行的高度为 ，飞机着陆点h为原点，且在这个降落过程中，飞机的水平O速度始终保持为常数 . 出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝u对值不得超过 ，此处 是重力加速度. 1.若飞机从距降落点水平10g距离 处开始降落，试确定出飞机的降落曲线. 2. 求开始下降点s所能允许的最小值. 图 1关于飞机降落曲线的研究摘要飞机的降落过程是飞机技术人员十分
9、关注的一个问题，为了能够实现飞机安全降落着地，本文采用待定系数法首先对飞机的降落曲线作出相应的假设，然后对飞机在降落过程中作出合理的假设，利用微分学复合函数的求导法则，确定出了符合实际的飞机降落曲线以及飞机在一定的高空中开始降落时距离着地点的最小水平距离。关键词：微分学 复合函数求导 竖直加速度1、问题重述经验表明，水平飞行的飞机，其降落曲线为一条五次多项式. 飞机的飞行高度为 ，着陆点为原点 ，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始终保持hO为常数 . 现考虑飞机能够安全着陆，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过u，其中 是重力加速度 .若飞机从距降落点水平距离 处开始降落，试解决以10g s下
10、两个问题：问题一：确定出飞机的降落曲线. 问题二：开始下降点 所能允许的最小值。s2、模型假设与符号约定2.1、模型假设1.飞机的降落曲线为 ；234501 (0)yaxaxxs2.飞机自身的高度不计；3.飞机降落过程中垂直加速度的最大绝对值不得超过 ；1g4.飞机降落过程中，都保持水平飞行姿态；5.为了能够保证飞机安全着陆，假设有飞机开始降落时竖直方向的加速度与速度大小均为 0，飞机在原点着地时竖直方向上的加速度与速度大小也为 0.2.2、符号说明1. ：飞机开始降落时的竖直高度；h2. ：飞机降落过程中的水平恒定速度；u3. ：飞机开始降落时与着陆点 o 的水平距离；s4. :飞机降落过程
11、中与地面的竖直高度;y5. ：飞机降落过程中与着陆点 o 的水平距离；x6. ：飞机降落过程中竖直方向的加速度；2dyt7. ：飞机降落过程中竖直方向的速度。dyt三、问题分析本模型主要是对飞机降落曲线进行模拟，以便更好的预测飞机开始降落到着陆点的水平距离，为飞机驾驶员提供一定的数据支撑，以此避免发生不必要的危险。飞机降落过程中，都保持水平飞行姿态，能过让乘客感觉不到有任何的不适；在模型中采用待定系数法，列出飞机的飞行曲线，并根据飞机的竖直加速度的最大绝对值不能超过 ，以此求解 s 的最小值。10g四、模型建立与求解4.1、问题一模型建立与求解根据微分学中复合函数求导法则有：飞机在竖直方向的速
12、度大小 ；()dyxyutt飞机在竖直方向的加速度大小 .22()tt由假定飞机降落曲线为 得：234501yaxaxx2345( )dut2 232345610yaxaxt根据模型假设以及飞机从高度为 的高空开始降落时，距降落点（原点 O）h水平距离为 ，飞机在降落的过程中保持水平；有s202(0),|,|,|,|.xsxsxyhdtydty即01234501223345( )06asasshuaass解得： 012345106,.hhaaass因此，飞机的降落曲线为：.3450,yxxs4.2、问题二的模型建立与求解由问题一飞机的降落曲线为 ，则飞机3451060,hhyxxsss在竖直方
13、向的加速度 ；22223345680duut记 .则2()yaxt22234560360()hhaxuxuss令 得：2234560()haxus123,66xsxs当 时， 在 上取得最大值 ；136xs()ax0,s2103hus当 时， 在 上取得最小值 .2(),2即飞机在降落过程中的最大加速度的绝对值 .210|()|3axhus于是根据题目要求有 2103ghus所以 .103hsuug即开始下降点 所能允许的最小值为 .310hug5、模型检验由上述设计可知在飞机的降落曲线为一个五次多项式与实际相符，飞在机开始降落距离着地点的水平距离 的情况下，竖直方向上的加速度310hsug不
14、超过 （远小于重力加速度 g） ，所以在降落曲线为该五次多项式下飞机的降10g落过程是安全的。6、模型的评价优点：飞机在降落过程中，考虑比较全面，利用微分的知识解决了相关问题；模型假设合理，基本上符合实际，具有可推广型。缺点：不能很直观地看出模型。参考文献：1 欧阳光中 朱学炎 金福临 陈传璋，数学分析3 版，北京：高等教育出版社，2007.4.2 赵静 但琦，数学建模与数学实验3 版，北京：高等教育出版社，2008.1.第四题分以下几部分完成1. 论文题目；2. 论文摘要（不得超过 300 字）3. 关键词（不得少于三个）4. 论文正文：问题提出（按你的理解对所给题目做更清晰的表述） ；问题分析（根具问题的性质，你打算建立什么样的数学模型） ；模型假设（有些假设须作必要的解释） ；模型设计（对出现的数学符号必须有明确的定义） ；模型的解法与结果；模型结果的分析和检验，包括误差分析、稳定性分析等；模型的优缺点及改进的方向；必要的计算机程序。5. 参考文献说明 1. 文件名：学号+姓名+班级.2. 2012 年 12 月 12-13 日上课时以班为单位将电子文档、打印文档统一交给老师.3. 纸质文档从左边装订.4. 将你不做的题目全部删去.5. 电子文档用 Word2003 排版.
