1、郴州市 2018 届高三第二次教学质量监测试卷数学（理科）(命题人：2018 届高三数学理科研究专家组审题人:郴州教育科学研究院 汪昌华 桂阳一中 李民忠 宜章一中 朱联春)一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数 满足 ，则 的虚部是（ ）z(1+2)43izizA-1 B 1 C-2 D2 已知集合 ， ，则 （ ）20xR1,BABA B C D,0, 02. 已知 , ,则 （ ）2log(3)xyx24yx()RA. B. C. D.2,31131(,2)33. 甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排
2、在左边的概率是（ ）A. 1 B. C. D. 624.如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的一种运算方法，执行该程序框图，若输入的 ， 分别为 12，20，则输出的 （ ）abaA. 0 B. 14 C. 4 D. 25. 已知数列 的前 项和 ，且 ，则 （ ）na2nnSa15SA. 27 B. C. D. 315327366.函数 (其中 ， )的部分图象如图所示,将函数 的()si()fxAx0A2()fx图象（ ）可得 的图象()sin24gxA向右平移 个长度单位 B向左平移 个长度单位 124C. 向左平移 个长度单位 D向右平移 个长度单位27. 设 ,
3、, 为正实数,且 ，则 ， ， 的大小关系是（ xyz235logllog0xyz2x3y5z）A B C. D325z 23xyz8. 设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， 为整数，且 ，则数列nanS19a25nS前 项和的最大值为（ ）1naA B 1 C. D494181539. 已知 是定义在 上的函数,对任意 都有 ，若函数满()fxRxR(4)(2)fxff足 ，且 ，则 等于（ ）()3f(2019)fA2 B3 C.-2 D-310. 如图， 是抛物线 ( )的焦点，直线 过点 且与抛物线及其准线交F2:CypxlF于 , , 三点，若 , ，则抛物线 的标准方程是（ ）3B
4、F9ACA B C. D2yx24yx28yx216yx11. 三棱锥 的一条棱长为 ，其余棱长均为 2，当三棱锥 的体积最大时, PABCmPABC它的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.214203545312. 已知函数 ， ，若 与 的图像上存在关21()ln()fxxe(1gx()fxg于直线 对称的点，则实数 的取值范围是（ ）1ymA B C. D2,e23,e2,3e32,e第卷（共 90 分）二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题卡上.13. 已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 ab601a23bb14. 某几何体的三视图如图所
5、示，则该几何体的体积为 15. 设 实数 、 满足： ， 实数 、 满足 ，若 是:Pxy02xy:qxy2(1)ymp的充分不必要条件，则正实数 的取值范围是 qm16. 已知双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，点 为双曲线2:1xyCab(0,)bABF的左焦点，过点 作垂直于 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 于 ， 点，F CPQ连接 交 轴于点 ，连接 交 于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为 PByEAQFM2三、解答题：共 70 分.解答应写出文说明、证明过程或演算步骤，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17.在 中，内角 的对边分别为 ，且ABC,abc,23sin
6、cosin()2osinAC（）求角 的大小；（）若 ，求 的面积.B18.如图，在长方形 中， ， ，现将 沿 折起，使 折到D42BACD的位置且 在面 的射影 恰好在线段 上.PACE（）证明： ；P（）求锐二面角 的余弦值.B19.某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响.下面是以往公司对该产品的宣传费用 (单位：万元)和产品营业额 (单位：万元)的统计折线图.xy()根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用 与产品营业额 的关系，请用xy相关系数加以说明；()建立产品营业额 关于宣传费用 的归方程；yx()若某段时间内产品利润 与宣传费 和营业额 的关系为 ，
7、zy(1.0.9)50zxy应投入宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润.参考数据： ， ， ， ，713.28iy5.3y7160.8ixy721().iiy2.64参考公式：相关系数， ，1 122221()()()()n nii iinii iiii iixyxyr 回归方程 中斜率和截距的最小二乘佔计公式分别为yabx， .(计算结果保留两位小数)1122()nniiiii ii yxbxaybx20.已知椭圆 的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆 与直线 相切于点 .CC24xy3(,1)2P（）求椭圆 的标准方程；（）若直线 与椭圆 相交于 、 两点( ， 不是长轴端点)，且以
8、为:lykxtCABAB直径的圆过椭圆 在 轴正半轴上的顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.21.函数 ，2()ln1)fx（）求函数 在点 处的切线方程；(yf,()f（）若 时，有 成立，求 的取值范围.0m0xem选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为C2413sin轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 （ 是参数）,x l102xty（）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；lC（）设曲线 经过伸缩变换
9、 得到曲线 ，曲线 任一点为 ，求点C2xyC(,)Mxy直线 的距离的最大值.Ml23.选修 4-5：不等式选讲已知 为正数，函数,abc()15fxx（）求不等式 的解集；0f（）若 的最小值为 ，且 ，求证：()xmabc221abc郴州市 2018 届高三第二次教学质量监测试卷数学（理科）参考答案及评分细则一、选择题1-5: BADCC 6-10: DCABC 11、12：BD二、填空题13. 2 14. 15. 16. 5 91421(0,2三、解答题17.解：（）解法一：由 ，得 ，23sincosB23sincos2B因为在 中， ，所以 ，即 .ABCco02i 3ta又因为在
10、 中， ，所以 ， ，(,)263B解法二：由 ，得 ，23sincosB3sin1cos即 ， ， .i1Bi()()2又因为 中， ，所以 ， ，AC0,63B（）由 ，得sin()2cosinACsicosinAC根据正弦定理和余弦定理得， ，即 .222abbac22bac又由（）知 ，所以 .3B222cos3又 ，解得 所以，面积为 .2c1a(1-)18.（）由题知 平面 ，又 平面 ， ；PEACBACPEB又 且 ， 平面 ；ABC又 平面 ， ；又 且 ， 平面 ；PPAPB又 平面 ，所以 .B（）在 中， , 由射影定理知 ， .RtPAB24AB1AE3P以 为原点，
11、建立如图所示空间直角坐标系 .Exyz则 , ， , ， ， ,(0)E(,3)P(0)B(2,30)C(2,3)P(0,3)EPB设 是平面 的一个法向量，(,)mxyzE则 ， ，即 ，PC0(,)2,3)0(xyz即 ，取 ，所以 ；230xyz30yz(,)m设 是平面 的一个法向量，(,)nabcPBC则 ， ，即 ，0n(,)2,3)0(abc即 ，取 ，所以 ；23abc13(,1)n设锐二面角 的大小为 ，BPCE则 213cos, 4mn所以锐二面角 余弦值为 .BPCE13关于 的线性回归方程yx.0.yx（）利用回归方程 得到五组估计数据如图19.（）由折线图中数据和参考
12、数据得： ， ，4x271()8iix160.8437.20.9r因为 与 的相关系数近似为 0.99，说明 与 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回yxyx归模型拟合 与 的关系.（） ， ，715.3iy160.8437.20.1b5.30413.69a所以 关于 的回归方程为 .x.9yx（）由 ，可得 时， .2(1.0)506350z x3xmax54z所以投入宣传费 3 万元时，可获得最大利润 55.4 万元.20.解：法一（）由题意设椭圆的标准方程为 （ ， 且 ）21ymn0n 在椭圆上， 3(,1)2P2914mn由 得2xymn22()6(1)0xn椭圆 与直线 相切，
13、，C4xy222()4()(160mnm即 2416由知 ，n23故所求椭圆方程为 14yx法二：设椭圆为 （ ， 且 ）则它在点 处的切线为2mn0nm3(,1)2P，它与 表示同一直线， ， ， ，231xyn24xy2342n2m24n故所求椭圆方程为 .13()设 ， ，联立1(,)Axy2(,)B2143ykxt得 22(34)63()0kkt得1t2+0kt，122634ktx213(4)txk2212121124(3)()()tkytttx因为以 为直径的圆过椭圆的上顶点AB0,D 即1Dk21yx 12112()40y即 xkxt即2224(3)(4)6403ttktk即 27160t 或当 时，直线 过定点 与已知矛盾2t2ykx(0,)当 时，直线 过定点 满足7724+30kt所以，直线 过定点，定点坐标为l(,)21.（） ()2ln1)2lnfxxx(1)f又 所以在点 处在切线方程为1f,(f 0y()由于函数 定义域为)yx0,)所以 2()0(ln1(ln1)xx x emfeem令 ln1)g则 ，可得当 时， ，当 时，()x (0,)x()0gx(1,)()0gx所以 min()
