第三章 效用论5.doc

1、第三章 效用论1根据基数效用论的消费者均衡条件，若 ，消费者应如何调整12MUP两种商品的购买量？为什么？若 ，i=1、2，又应如何调整？为什么？i解答：要点如下：（1）对消费者均衡问题的讨论，主要是研究在消费者的收入和商品价格给定的条件下，消费者如何选择最优的水平组合，以实现最大的效用。基数效用论者研究的结果是：以两种商品为例，消费者效用最大化的均衡条件是 ，其中， 为常12MUP数，表示不便的货币的边际效用。其经济含义是：消费者应选择最优的商品组合，使得最后一单位的货币支出无论用来购买哪一种商品，其带来的边际效用都1,2x相等，且等于所付出的最后一单位货币的边际效用。（2）必须指出，以上消

2、费者均衡条件成立的基础是边际效用递减规律。该规律的内容是：在一定时期内，在其他条件不变的前提下，随着消费者对某一种商品消费数量的连续的、等量的增加，消费者从每一单位的消费增量中所得到的效用增量即边际效用是递减的。（3）若 ，例如 时，表示消费者用相同的最后12MUP12MUP一元钱购买商品 1 所获得的边际效用大于购买商品 2 所获得的边际效用。于是 ，追求效用最大化的消费者必然就会增加对商品 1 的购买，而减少对商品 2 的购买，或者说，用商品1 来代替商品 2。在这一调整过程中，一方面，该消费者的总效用是不断增加的；另一方面，在边际效用递减规律的作用下，商品 1 的边际效用会因其消费量的增

3、加而递减，而相反，商品 2 的边际效用会因其消费量的减少而递增，最后达到 。此时，消费12P者获得了他所能获得的最大效用。当然，若 时，则是消费者减少对商品 1 的购买和增加对商品 212MUP的购买这样一个与上面分析相反的调整过程。最后同样在 时实现消费者2MUP的效用最大化。（4）若 时，例如 时，表示消费者用最后一元钱购买商iPi品 i 所得到的边际能够大于他所付出的最后一元钱的货币的边际效用。于是，追求效用最大化的消费者必然会继续增加对商品 i 的购买。在对商品 i 增加购买的过程 ，一方面，该消费者的总效用是不断增加的，另一方面，在商品的边际效用递减规律的作用下，商品 i的边际效用会

4、递减。最后，当消费者达到 时，他便实现了最大化的效用。iMUP当然，当 时，则是消费者减少对商品 i 的购买这样一个与上面分析相iP反的调整过程。最后，同样在 时实现消费者的最大化效用。i2根据序数效用论的消费者均衡条件，在 或 时，12PMRS12S消费者应如何调整两种商品的购买量？为什么？解答：要点如下：（1）序数效用论者分析消费者行为的主要工具是 无差异曲线和预算线。无差异曲线的斜率的绝对值可以用两种商品的边际替代率 来表示，预算线的斜率为两种12S商品的相对价格即 。在利用几何图形的分析中，消费者效用最大化的均衡点发生在12P无差异曲线与预算线的相切点，于是有消费者效用最大的均衡条件为

5、： ；12PMRS其经济含义为：在消费者的均衡点上，消费者愿意用一单位的商品 1 去交换商品 2 的数量（即 ） ，应该恰好等于该消费者能够在市场上用一单位商品 1 去交换商品 2 的数量12MRS（即 ） 。2P2xAa212xaE1U b2b 30 B 1x2 1x图 110（2）在 时，消费者对商品购买组合的调整可以用图 1-10 来说明，12PMRS在图中的 a 点上有 ，且 a 点的商品组合为 ，相应的效用水平12 1,2x以无差异曲线 表示。但在收入和价格给定的条件下，或者说，在预算线 AB 给定的条3U件下，a 点的商品组合所带来的效用水平并不是最大的。消费者只要由 a 点出发，

6、沿着给定的预算线 AB 向均衡点 E 靠拢，比如说由 a 点运动到 点，则消费者就可以在不改变收入的条件下将商品的组合调整到 ，从而达到更高的效用水平，此效用水平用(12,)x过 点的无差异曲线 （虚线）来表示。很清楚，只要消费者由 a 点出发，沿着既定的a2预算线 AB，按箭头所示方向往下均衡点 E 靠拢，最后就可以在预算线 AB 和无差异曲线的相切点 E 上实现最大化的效用水平。此时，在均衡点 E 上，有 。1U 12PMRS（3）相类似地，在 ，例如在图 1-10 中的 b 点时，只要消费者由12PMRSb 点出发，沿着既定的预算线 AB，按箭头所示方向往上向均衡点 E 靠拢，最后同样就

7、可以在预算线 AB 和无差异曲线 的相切点 E 实现最大的效用水平。此时，在均衡点 E，有1U。12PRS3已知一件衬衫的价格为 80 元，一份肯德基的价格为 20 元，在某消费者关于这两种商品的效用最大化的均衡点上，一份肯德基对衬衫的边际替代率 MRS 是多少？解答：按照两商品的边际替代率 MRS 的定义公式，可以将一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率写成：XYMRS其中：X 表示肯德基快餐的份数； Y 表示衬衫件数； 表示在维持效用水XYMRS平不变的前提下，消费者增加一份肯德基快餐消费时所需要放弃的衬衫的消费数量。在该消费者实现关于这两种商品的效用最大化时，在均衡点上有 XYPRS即有 20

8、.58XM它表明：在效用最大化的均衡点上，该消费者关于一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率 为 0.25。RS4，假设某消费者的均衡如图 1-11（即教材中第 118 页的图 3-22）所示。其中，横轴 和纵轴 分别表示商品 1 和商品 2 的数量，线段 AB 为消费者的预算线，曲1OX2线 U 为消费者的无差异曲线， E 点为效用最大化的均衡点。已知商品 1 的价格 元。12P（1）求消费者的收入；（2）求商品 2 的价格 ；2P（3）写出预算线方程；（4）求预算线的斜率；（5）求 E 点的 的值。12MRS2X20 A10 E B 0 10 20 30 1X解答：（1）图中的横截距表示消费者的

9、收入全部购买商品 1 的数量为 30 单位，且已知 元，所以，消费者的收入 M=2 元 30=60 元。2P（2）图中的纵截距表示消费者的收入全部购买商品 2 的数量为 20 单位，且由（1）已知收入 M=60 元，所以，商品 2 的价格 元。2603MP（3）由于预算线方程的一般形式为：12Px所以，由（1） 、 （2）可将预算线方程具体写为： 。12360x（4）将（3）中的预算线方程进一步整理为 。很清楚，预算2线的斜率为 。（5）在消费者效用最大化的均衡点 E 上，有 ，即无差异曲线的12PMRS斜率的绝对值即 等于预算线的斜率的绝对值 。因此，在此 。MRS121235已知某消费者每

10、年用于商品 1 和商品 2 的收入为 540 元，两商品的价格分别为元和 元，该消费者的效用函数为 ，该消费者每年购买这120P23213UX两种商品的数量应各是多少？每年从中获得的总效用是多少？解答：根据消费者的效用最大化的均衡条件：12UPM其中，由 可得：13X21226dTU于是，有：21306X整理得 2143X将（1）式代入预算约束条件 ，得：1203540X120解得 *9X以 ， 代入（1）得：1*2因此，该消费者每年购买这两种商品的数量应该为：*129X将以上最优的商品组合代入效用函数，得：*2213()138U它表明：该消费者的最优商品购买组合给他带来的最大效用水平为 38

11、88。6假设某商品市场上只有 A、B 两个消费者，他们的需求函数分别为和 。204dAQP05dB（1）列出这两个消费者的需求表和市场需求曲线。（2）根据（1） ，画出这两个消费者的需求曲线和市场需求曲线。解答：（1）由消费者 A 的需求函数 ，可编制消费者 A 的需求204dAQP表；由消费者 B 的需求函数 ，可编制消费者 B 的需求表。至于市场的需35dB求表的编制可以使用两种方法，一种方法是利用已得到消费者 A、B 的需求表，将每一价格水平上两个消费者的需求数量加总来编制市场需求表；另一种方法是先将消费者 A 和 B的需求函数加总来求得市场需求函数，即市场需求函数，然后，运用所得到的市

12、场(204)()09ddABQPP需求函数 ，来编制市场需求表。这两种方法所得到的市场需求表是系统59的。按以上方法编制的 3 张需求表如下所示。消费者 A 的需求表 消费者 B 的需求表 市场的需求表P dAQ012345201612840（2）由（1）中的三张需求表，所画出的消费者 A 和 B 各自的需求曲线以及市场的需求曲线如图 1-12 所示P5 04dAQ305dBPddABQ43210 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 40 50 60 ABABQ消费者 A 的需求曲线 消费者 B 的需求曲线 市场需求曲线在此，需要特别指出的是，市场需求曲线有一个折点，

13、该点发生在价格 P=5 和需要量 的坐标点位置。关于市场需求曲线的这一特征，可以从两个角度来解释：一5dQ个角度是从图形来理解，市场需求曲线是市场上单个消费者需求曲线的水平加总，即在的范围，市场需求曲线由两个消费者需求曲线水平加总得到，而当 P5 时，只有消P费者 B 的需求曲线发生作用，所以，它的需求曲线就是市场需求曲线。另一角度是从需求函数看，在 的范围，市场需求 成立；而当 P5 时，5509ddABQP只有消费者 B 的需求函数才可以构成市场需求函数，即 。3d7，假定某消费者的效用函数为 ，两商品的价格分别为 ， ，0.512Ux12消费者的收入为 M。分别求该消费者关于商品 1 和

14、商品 2 的需求函数。P dBQ0123456302520151050P ddABQ0123456504132231450解答：根据消费者效用最大化的均衡条件：12MUP其中 ，由已知的效用函数 可得：0.512x.10.5.212dTUx于是，有：0.5121xP整理得 12即有 （1）2xP以（1）式代入约束条件 ，有：12xM12x解得 *1P代入（1）式得 *2x所以，该消费者关于两商品的需求函数为*12MPx8令某消费者的收入为 M，两商品的价格为 、 。假定该消费者的无差异曲1P2线是线性的，且斜率为-a。求：该消费者的最优商品消费组合。解答：由于无差异曲线是一条直线，且其斜率的绝

15、对值 ，211dxMRSa又由于预算线总上一条直线，且其斜率为 ，所以，该消费者的最优商品组合有以下12P三种情况，其中的地一、二种情况属于边角解。E2X2X无差异曲线 预算线预算线 无差异曲线0 E 0 1x1x(a) (b) 2PMRS2PMRS2X预算线无差异曲线 0 1x(c) 12PMRS第一种情况：由 ，即 时，如图 1-13（啊）所示，效用最1212a大化的均衡点 E 的位置发生在横轴，它表示此时的最优解一个边角解，即。也就是说，消费者将全部收入都购买商品 1，并由此达到最大的效用*12,0xP水平，该效用水平在图中以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上

16、其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。第二种情况：当 ，即 时，如图 1-13（b）所示，效用最大12PMRS12a化的均衡点 E 的位置发生在横轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即。也就是说，消费者将全部收入都购买商品 2，并由此达到最大的效用*120,MxP水平，该效用水平在图中以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。第三种情况：当 ，即 时，如图 1-13（c）所示，无差异曲12PRS12a线与预算线重叠，效用最大化的均衡点可以是预算线上

17、的任何一点的商品组合，即最优解为 ，且满足 。此时所达到的最大效用水平在图中以*120,x12xM实线的无差异曲线标出，显然，该效用水平高于其他任何一条在既定预算约束条件下可以实现的用虚线表示的无差异曲线的效用水平。9假定某消费者的效用函数为 ，其中，q 为某商品的消费量，0.53UM 为收入。求：（1）该消费者的需求函数；（2）该消费者的反需求函数；（3）当 时的消费者剩余。,4pq解答：（1）由题意可得，商品的边际效用为：0.5U货币的边际效用为：3M于是，根据消费者均衡条件 ，有：p0.53qp整理得需求函数为 216（2）由需求函数 ，可得反需求函数为：23qp16pq（3）由反需求函

18、数 ，可得消费者剩余为：11220 01336qqcsdppq以 代入上式，则有消费者剩余：,42p133CS*10。设某消费者的效用函数为所谓柯布道格拉斯类型的，即 ，商Uxy品 x 和商品 y 的价格分别 和 ，消费者的收入为 M， 和 为常数，且xpy 。1（1）求该消费者关于商品 x 和商品 y 的需求函数。（2）证明当商品 x 和 y 的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。（3）证明消费者效用函数中的参数 和 分别为商品 x 和商品 y 的消费支出占消费者收入的份额。解答：（1）由消费者的效用函数 ，算得：Uxy1xyMy消费者的预算约束方程为

19、（1） xypM根据消费者效用最大化的均衡条件（2）xyxMUp得 （3）1xyxp解方程组（3） ，可得（4）/xM（5）yp关系式（4）和（5）即为消费者关于商品 x 和水平 y 的需求函数。上述需求函数的图形如图 1-14 所示。xPyP0 x 0 y图 114（2）当商品 x 和 y 的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，相当于消费者的预算线变为（6）xypM其中 为一非零常数。此时消费者效用最大化的均衡条件变为（7）1xyxp由于 ，故方程组（7）化为0（8）1xyxpM显然，方程组（8）就是方程组（3） ，故其解就上式（4）和式（5） 。这表明，消费者在这种情况下对两商品的需求

20、关系维持不变。（3）由消费者的需求函数（4）和（5） ，可得（9）/xp（10）y关系式（9）的右边正是商品 x 的消费支出占消费者收入的份额。关系式（10）的右边正是商品 y 的消费支出占消费者收入的份额。故结论被证实。11基数效用论者是如何推导需求曲线的？解答：要点如下：1）基数效用论者提出的商品的边际效用递减规律是其推倒需求曲线的基础。他们指出，在其他条件不变的前提下，随着消费者对某商品消费数量的连续增加，该商品的边际效用是递减的，所以，消费者对每增加一单位商品所愿意支付的最高价格（即需求价格）也是递减的，即消费者对该商品的需求曲线是向右下方倾斜的。（2）在只考虑一种商品的前提下，消费者

21、实现效用最大化的均衡条件是。由此均衡条件出发，可以计算出需求价格，并推导与理解（1）中的消费者MUP的向右下方倾斜的需求曲线。12用图说明序数效用论者对消费者均衡条件的分析，以及在此基础上对需求曲线的推导。解答：要点如下：（1）本题涉及的两个基本分析工具是无差异曲线和预算线。无差异曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的全部组合的，其斜率的绝对值可以用商品的边际替代率MRS 来表示。预算线表示在消费者收入和商品价格给定的条件下，消费者全部收入所能购买到的两种商品的全部组合，其斜率为 。12P2XA1U23价格消费曲线E0 B 1X213 B1X（a） 1Pab12c3P需求曲线 1()dxfP

22、0 1X2131X（b）（2）消费者效用最大化的均衡点发生在一条给定的预算线与无数条无差异曲线中的一条相切的切点上，于是，消费者效用最大化的均衡条件为： ，或者12PMRS。12MUP（3）在（2）的基础上进行比较静态分析，即令一种商品的价格发生变化，这便可以得到该商品的价格消费曲线。价格消费曲线是在其他条件不变的前提下，与某一种商品的不同价格水平相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。如图 1-15（a）所示（4）在（3）的基础上，将一种商品的不同价格水平和响应的最优消费量即需求量之间的一一对应关系描绘在同一坐标平面上，就可以得到需求曲线，如图 1-15（b）所示。显然有：需求曲线一般斜率为

23、负，表示商品的价格和需求两成反方向变化；而且，在需求曲线上与每一价格水平相对应的需求量都是可以在该价格水平给消费者带来最大效用的最优消费数量。13分别用图分析正常物品、低档物品和吉芬物品的替代效应和收入效应，并进一步说明这三类物品的需求曲线的特征。解答：要点如下：（1）当一种商品的价格发生变化时所引起的该商品需求量的变化可以分解为两部分，它们分别是替代效应和收入效应，替代效应是指仅考虑商品相对价格变化所导致的该商品需求量的变化，而不考虑实际收入水平（即效用水平）变化对需求量的影响，收入效应则相反，它仅考虑实际收入水平（即效用水平）变化导致的该商品需求量的变化，而不考虑相对价格变化对需求量的影响

24、。（2）无论市分析正常品，还是低档品，甚至是吉芬品的替代效应和收入效应，需要运用的一个重要分析就是补偿预算线。在图 1-16 中，以正常品的情况为例加以说明。图中，初始的消费者效用最大化的均衡点为 a 点，相应的正常品（即商品 1）的需求为 。1x价格 下降以后的效用最大化的均衡点为 b 点，相应的需求量为 。即 下降的总效应1P2xP为 ，且为增加量，故有总效应与价格成反方向变化。 2xA1U2F a bcG0 B (正常品) 1x213xB1X总效应替代效用收入效用 图 116然后，作一条平行于预算线 且与原有的无差异曲线 相切的补偿预算线AB1UFC（以虚线表示） ，相应的效用最大化的均

25、衡点为 c 点，而且注意，此时 b 点的位置一定处于 c 点的右边。于是，根据（1）中的阐述，则可以得到：由给定的代表原有效用水平的无差异曲线 与代表 变化前、后的不同相对价格的（即斜率不同的）预算线 AB、FGU1P分别相切的 a、 c 两点，表示的是替代效应，即替代效应为 ，且为增加量，故有替13x代效应与价格成反方向的变化；由代表不同的效用水平的无差异曲线 和 分别与两条1U2代表相同相对价格的（即斜率相同的）预算线 FG、 相切的 c、b 两点，表示的是收入AB效应，即收入效应为 ，且为增加量，故有收入效应与价格成反方向的变化。132x最后，由于正常品的替代效应和收入效应都分贝与价格成

26、反方向变化，所以，正常品的总效应与价格一定成反方向变化，由此可知，正常品的需求去下是想右下方倾斜的。（3）关于劣等品和吉芬品。在此略去关于这两类商品的具体的图示分析。需要指出的要点是：这两类商品的替代效应都与价格成反方向变化，而收入效应都与价格成同方向变化，其中，大多数的劣等品的替代效应大于收入效应，而劣等频的特殊商品吉芬品的收入效应大于替代效应。于是，大多数劣等品的总效应与价格成反方向的变化，相应的需求曲线向右下方倾斜，劣等品中少数的特殊商品即吉芬品的总效应有价格成同方向的变化，相应的需求曲线向右上方倾斜。（4）基于（3）的分析，所以，在读者自己利用与图 1-16 相类似的图形来分析劣等品和

27、吉芬品的替代效应和收入效应时，在一般的劣等品的情况下，一定要使 b 点落在a、c 两点之间，而在吉芬品的情况下，则一定要使 b 点落在 a 点的左边。惟有如此作图，才能符合（3）中理论分析的要求。14说明风险回避者、风险爱好者和风险中立者的判断条件。解答：要点如下：（1）分析消费者不同风险态度的判断条件的前提是掌握两个概念：彩票的期望值的效用与彩票的期望效用。具体地说，令一张彩票 ，那么，彩票的期12(,)LpW望值为 ，彩票的期望值的效用为 ，显然，12()pWU彩票的期望值的效用表示消费者关于一笔确定的货币财富量（其恰好等于彩票的期望值）的效用。彩票的期望效应为 ，显然，彩票的期望效用表示

28、消12()()p费者对风险活动本身带来的效用的评价。（2）基于对（1）中提到的两个概念的理解，我们有：若对于一个消费者而言，彩票的期望值的效用大于（小于或等于）彩票的期望效用时，则该消费者为风险回避者（风险爱好者或风险中立者） 。换言之，风险回避者偏好的是一笔稳定的收入（其相对于彩票的期望值）带来的效用。而风险爱好者偏好的是风险活动本身给他带来的效用。（3）基于（2）的分析，三类不同风险态度的消费者的效用函数 U（W）的特征，如图 1-17 所示。在图中，彩票的期望值的效用均用 A 点的高度表示，彩票的期望效用均用 B 点的高度表示，所以在(a)、(b)和(c)三张分图中，分别有 AB、AB 和 A=B，它们分别表示了风险回避者、风险爱好者和风险中立者的效用函数 U（W）的特征，即分别为严格凹的效用函数、严格凸的效用函数和线性的效用函数。