1、第31讲 基本不等式,江苏省如东高级中学,主要内容,一、聚焦重点 基本不等式及其运用,三、廓清疑点如何灵活运用基本不等式,二、破解难点利用基本不等式求函数的最值.,聚焦重点: 基本不等式及其运用,基础知识,基本不等式,重要结论,若aR, bR，则,(当且仅当a=b时取“=”).,若aR, bR，则,(当且仅当a=b时取“=”),若ab，则,(当且仅当a=b时取“=”),问题研究,如何利用基本不等式证明不等式？,经典例题,思路分析,思路1：,由繁到简，从左向右！,左式=,思路分析,思路2：,从右式中数字“8”，猜想左式可能应用三次基本不等式，再同向不等式相乘证得结论.,求解过程,证明 （根据思路
2、2）,当且仅当a=b=c时等号成立.,缺乏依据,回顾反思,由繁到简（由左向右，由右向左） .,依据所要求证的不等式两端的结构特点，抓住系数特征或字母特征，寻找解题突破口.,基本策略：,常用思路：,经典例题2,思路分析,思路1：,由b0,c0,同样,由左向右！,思路分析,思路2：,由右向左！,思路分析,思路3：,比较不等式两边字母特征，由左向右，需要消去字母a,b,c；,又注意到右式中数字“2”，尝试用基本不等式进行论证,左式变形为,求解过程,证明,求解过程,另证,回顾反思,观察比较，分析特征，合理选择，勇于尝试,常用来证明积(ab)与和(a+b)有关联的不等式；,思想方法,常用思路,思维误区,
3、凡是涉及到a+b(或ab)，就用基本不等式,破解难点：求函数的最值.,问题研究,如何利用基本不等式求函数的最值？,基础知识,经典例题3,思路分析,思路1：,由基本不等式，可得,所以函数的最小值为,无最大值,缺少运用基本不等式的条件a,b为正实数,思路分析,思路2：,求解过程,解,所以函数的最大值为,无最小值,从而,各项为正,易错！,拓展延伸,思路：,所以,并非定值,此法错误！,拓展延伸,思路2：,将函数式变形为,积为定值！,拓展延伸,将函数式变形为,解,在定义域中吗？,等号取不到！,思路分析,思路分析,求解过程,解,所以当 x=1时，,回顾反思,利用基本不等式求函数的最值问题时需注意: (1)
4、 “一正、二定、三相等”这三者缺一不可. (2) 注重等价变形，合理“配项、凑项”, 正确 使用均值不等式. (3) 若使用基本不等式，但等号不能取到，则 可考虑利用函数的单调性求解.,廓清疑点：如何灵活运用基本不等式,问题研究,如何灵活、合理地选择基本不等式和相关重要结论解题,经典例题4,例4 已知a,b为正实数，且ab=a+b+3求 （1） ab最小值；（2）a+b的最小值,思路分析,思路1：,由条件可见当a=b=3时，取得最值，故,思路2：,联想到基本不等式,要求ab最值，只需“消去”“a+b”即可.,例4 已知a,b为正实数，且ab=a+b+3求 （1） ab最小值；（2）a+b的最小
5、值,思路分析,思路3：,利用函数思想求解,例4 已知a,b为正实数，且ab=a+b+3求 （1） ab最小值；（2）a+b的最小值,求解过程,解 （按思路2）,所以ab9(当且仅当a=b=3时取等号).,故 ab的最小值等于9.,由 ab=a+b+3，有 a+b=ab3，,求解过程,解（2）,又 ab=a+b+3,例4 已知a,b为正实数，且ab=a+b+3求 （1） ab最小值；（2）a+b的最小值,拓展延伸,思路分析,思路1：,转化为求关于a的函数最值,思路分析,思路2,思路3,求解过程,解（根据思路2）,由a,b为正实数，可得,典例分析,解,求解过程,解,此时,“1”代换法,回顾反思,注
6、重变形：,基本不等式：,变形：,回顾反思,活用结论：,明确目标，灵活选择,特别注意：,多次运用基本不等式及其变形时，各等号成立的条件应该相容,总结提炼,一、聚焦重点 基本不等式及其运用,三、廓清疑点如何灵活运用基本不等式,二、破解难点利用不等式求函数的最值.,总结提炼,掌握知识：,理清方法：,合理选择：,注意变通：,掌握基本不等式及其有关重要变形,不等式证明的各种基本策略；,求函数最值的基本策略,注意各种形式的重要不等式的选择,注意解题思路的变通,再见,1. 若x 1，求y = 的最值,3. 已知正数x、y满足9x+y2xy=0，求x+y的最小值.,同步练习,试比较R , P , Q的大小.,1. ymax = 2，无最小值,参考答案,时, x+y取最小值8.,
