1、第28讲 余弦定理及其应用,江苏省南通中学,主要内容,一、聚焦重点 利用余弦定理解三角形,二、廓清疑点 如何利用余弦定理判断三角形的形状,三、破解难点 求三角函数值与证明三角函数恒等式,聚焦重点：利用余弦定理解三角形,基础知识,已知两边及其夹角，求第三边,已知三边求角,边,角,问题研究,如何利用余弦定理解三角形？,经典例题1,思路分析,太烦琐！,求解过程,易错,思路分析,思路1：利用正弦定理,思路2：利用余弦定理,求解过程,注意解的个数,求解过程,方程思想，知三求一,为什么要说明x是正数？,回顾反思,方法比较,思路1：依据条件特征，选用正弦定理， 体现通法，但计算繁琐,思路2：依据条件与目标的
2、联系，选用余 弦定理，体现方程思想,思维瑕点：忽略三角形内的角的范围,思路分析,思路1：由和角公式展开，先求A、B，再求C,没有必要！,思路2：应用正弦定理,不妥！,思路3：应用余弦定理,求解过程,注意三角形中的角的关系,整体代换,回顾反思,思维误区：孤立看条件，盲目套用公式,廓清疑点：判断三角形的形状,问题研究,如何利用余弦定理判断三角形的形状？,基础知识,经典例题2,思路分析,求解过程,易错点,关键：边化角,求解过程,关键：角化边,易漏解,回顾反思,（1）解题策略：统一边角关系.,（2）思想方法：化归思想.,（3）思维瑕点：方程漏解.,经典例题3,思路分析,思路1：利用余弦定理, 证明三个
3、角的余弦 值都大于0,没有必要！,思路2：不妨设C为最大角, 证明角C的余弦 值大于0,求解过程,回顾反思,证明三条线段能构成锐角三角形，需考虑两个方面.,（1）这三条线段能够成三角形.,（2）最长边所对的角是锐角.,破解难点：求三角函数值与证明三角恒等式,问题研究,如何处理三角形中的三角函数的求值与证明问题,基础知识,经典例题4,思路分析,只含正弦函数的齐次分式,求解过程,解（思路1）在ABC中，,求解过程,解（思路2）,三角恒等变换是基础,回顾反思,（1）解题策略：边角互化，统一形式.,（2）思想方法：化归转化 ，整体代换.,（3）方法比较： 思路1、思路2都反映了三角形中的求 值问题，是
4、通性通法. 从边的角度处理要注意整体思想， 从角的角度处理则利用三角变换,例5 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 求证：a22abcos(60C)=c22bccos(60A),经典例题5,思路分析,例5 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 求证：a22abcos(60C)=c22bccos(60A),求解过程,证法1（角化边）,根据三角形的面积公式消项,注意分析法证明的格式,求解过程,证法2（边化角）,变形方向,思路分析,例5 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 求证：a22abcos(60C)=c22bccos(60A),求解过程,证法3（构造图形）,回顾反思,（1）解题策略：边角互化，统一形式.,（2）思想方法：化归转化 ，数形结合.,（3）方法比较 思路1、思路2的分析法证明要注意书写格式. 思路3 构造图形，数形结合，方法巧妙，但 有局限性,总结提炼,一、聚焦重点 利用余弦定理解三角形,二、廓清疑点 利用余弦定理判断三角形的形状,三、破解难点 求三角函数值与证明三角函数恒等式,知识内容,总结提炼,思想与方法,（1）化归转化，方程思想，数形结合 ,（2）利用正、余弦定理实现边角关系 的相互转化是解题关键.,再见,同步练习,参考答案,
