1、上海 数学试卷（文史类）考生注意：1 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。2 本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。一.填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。1函数 f(x)=x3+1 的反函数 f-1(x)=_.2已知集体 A=x|x1,B=x|a,且 AB=R，则实数 a 的取值范围是_.3. 若行列式 中，元素 4 的代数余子式大于 0，则 x 满足的条件是4175x389_.4.某算法的程序框如右图所示，则输出量
2、 y 与输入量 x 满足的关系式是_.5.如图，若正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面边长为 2， 高为 4，则异面直线 BD1 与 AD 所成角的大小是_ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (结果用反三角函数值表示).6.若球 O1、O 2 表示面积之比 ，则它们的半径之比421S=_.2R7.已知实数 x、 y 满足 则目标函数 z=x-2y 的最小值是_. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 23x8.若等腰直角三角形的直角边长为 2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9过点 A（1 ，0）作倾斜角为 的直线，
3、与抛物线 交于 两点，则 = 42yxMN、。10.函数 的最小值是 。2()cosinfxx11.若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于 1 名的概率是 （结果用最简分数表示） 。12.已知 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，且12F、 2:1(0)xyCabpC。若 的面积为 9，则 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12P12P13.已知函数 。项数为 27 的等差数列 满足 且公差()sintafxxna,2n,若 ，则当 k= 时， 。0d1227.()0faff()0.kfa14.某地街道呈现东西、
4、南北向的网络状，相邻街距都为 1，两街道相交的点称为格点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2） ， （3，1 ） ，（3 ， 4） ， （-2，3） ， （4，5 ）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使 5 个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。二。 、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4 分，否则一律得零分。15已知直线 平行，则 K 得值是1 2:(3)(4)10,:(3)20,lkxkylkxy与（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （A） 1
5、 或 3 （B）1 或 5 （C）3 或 5 （ D）1 或 2 16，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为 3 和 4，过直角顶点的侧棱长为 4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）17点 P（4，2）与圆 上任一点连续的中点轨迹方程是 答（ ）24xy（A） （B）()(1)x 22()(1)4xy（C ） （D）22(4)()4xy22()(1)xy18在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”. 根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 答（
6、）（A）甲地：总体均为 3，中位数为 4 . （B）乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0 .（C）丙地：中位数为 2，众数为 3 . （D ）丁地：总体均值为 2，总体方差为 3 .三解答题（本大题满分 78 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19 （本题满分 14 分）已知复数 （a、b ）(I 是虚数单位) 是方程 的根 . 复数ziR2450x（ ）满足 ，求 u 的取值范围 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3wui 25wz20 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分
7、 .已知 ABC 的角 A、B、 C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 ，(,)mab， .(sin,)(,)pb（1） 若 / ，求证：ABC 为等腰三角形；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m m（2） 若 ，边长 c = 2，角 C = ，求 ABC 的面积 .321 （本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 10 分 .有时可用函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0.15ln,6,()4,axfx 描述学习某学科知识的掌握程度.其中 表示某学科知识的学习次数（ ） ， 表示x *xN()fx对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与
8、学科知识有关.（1 ）证明：当 x 7 时，掌握程度的增长量 f（ x+1） - f(x)总是下降；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2 ）根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为（115，121,(121,127,(127,133.当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科.22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 8 分.已知双曲线 C 的中心是原点，右焦点为 F ，一条渐近线 m: ,设过点 A0， x+0y的直线 l 的方向向量 。(32,0)(1,)ekv（1） 求
9、双曲线 C 的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 若过原点的直线 ，且 a 与 l 的距离为 ，求 K 的值；/l 6（3） 证明：当 时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 .2k 623.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分.已知 是公差为 d 的等差数列， 是公比为 q 的等比数列nanb（1）若 ，是否存在 ，有 ？请说明理由；31*,mN1mka（2）若 （a、q 为常数，且 aq 0）对任意 m 存在 k，有 ，试求 a、qnb1mkb满足的充要条件；（3
10、）若 试确定所有的 p,使数列 中存在某个连续 p 项的和式数列中1,3nnn的一项，请证明.a2009 年高考上海卷 数学试卷（文史类）全解全析考生注意：3 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。4 本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。一.填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。1函数 的反函数 _.1)(3xf )(1xf【答案】 ),3R【解析】由 ，又原函数的值域为 R，则反合适的定义331yxyxy域为 R，反函
11、数是 )(1f )(,3R2已知集体 A=x|x1,B=x|a,且 AB=R，则实数 a 的取值范围是_.1 已知集合 ， ，且 ，|1Ax|BxaABR则实数 的取值范围是_ .【答案】 a【解析】由图示知， 时成立3. 若行列式 中，元素 4 的代数余子式大于 0，则 x 满足的条件是4175x389_.【答案】 3x【解析】 （余子式：把行列式中某元素 所在的行与列划去后，a剩下的元素按原行列顺序排列所组成小行列式，叫元素 a的余子式， ）元素 4 的余子式是 ，8x9324x由题意 029x【高考考点】本题属课改区内容4. 某算法的程序框如右图所示，则输出量 y 与输入量 x 满足的关
12、系式是_.【答案】 )1(,2xy【高考考点】本题属课改区内容算法初步.5. 如图，若正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面边长为 2， 高为 4，则异面直线 BD1 与 AD 所成角的大小是_ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (结果用反三角函数值表示).【答案】 5arctn【解析】连接 ，因 BCAD，所以 为所求.1CDBCD1xO 1a又 ， S 是 Rt，52421CDCBD1 52tan11BCD6. 若球 O1、O 2 表示面积之比 ，则它们的半径之比 =_.42 2R【答案】2【解析】 4212121 RRS7. 已知实数 x、 y 满足 则目标函数 z=x-2y
13、的最小值是_. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3x【答案】9【解析】作出可行域如图，解得 A（3，6 ） ，B（3，6） ，02Oz15)(3A96Bz目标函数经过 B 点时取得最小值为98. 若等腰直角三角形的直角边长为 2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】 38【解析】旋转一周所成的几何体是其个圆锥，其底面半径为 2，高为 2。体积 21V389 过点 A（1，0）作倾斜角为 的直线，与抛物线 交于 两点，则42yxMN、= 。MN【答案】 26【解析】直线方程是 ，代入抛物线方程得： ， 4，1xy 014
14、2x21x12x 62)(4)(221212xxkMN3O xyBA10. 函数 的最小值是 。2()cosinfxx【答案】1【解析】 ，)42sin(12sinco12sic2 xxx 21miny11. 若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于 1 名的概率是 （结果用最简分数表示） 。【答案】 7【解析】解法一：男女生均不少于 1 名即“1 男 2 女，或 2 男 1 女” ， 概率 75303725215CP解法二、 “男女生均不少于 1 名”的互斥事件是“3 名都是男生 ”，概率 7520137512. 已知 是椭圆
15、 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，且12F、 2:1(0)xyCabpC。若 的面积为 9，则 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12P12P【答案】3【解析】 =2 （1） ， 2 918 （2 ） ，1F2a1FP.（3）214)(c将（1）两边平方，得： ，将（2 ） 、 （3）代入上式，21221 4aF得：394362222 bcac13. 已知函数 。项数为 27 的等差数列 满足 且公差()sintfxxna,2n,若 ，则当 k= 时， 。0d1227.()0faffa()0.kf【答案】14【解析】易知，当 时， ，由诱导公式知0k)(kf)tan(si)tan)s
16、i()()()()()(11 dddffdaffaff kkkk .同理， ，0tnsitnsidd 0)()(22kkaff当 是 至 的中间项，即 14 时，ka127k )(271 f14. 某地街道呈现东西、南 北向的网络状，相邻街距都为 1，两街道相交的点称为格点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2） ， （3，1 ） ，（3 ， 4） ， （-2，3） ， （4，5 ）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使 5 个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。【答案】 （3，3）【解析】设格点为（ ， ） ，因为总可以把各零售点平移到横向或纵向线上研究，所以
17、对xy于横向有： 2 2 3 3 4 6 ，显然，xt xxx且 是整数，当 依次取1。0 ，1，2 ，3，4 ，5 时， 依次等于6xx xt22， 20， 18，16，14 ，16，18.故当 3 时， 最小；xt同理， 1 2 3 4 5 6 ytyyyyy当 依次取 2，3 ，4，5 时， 依次等于 11，9， 9，11.yt故当 3 或 4 时， 最小.yyt当格点取（3，3）时，路程 14923 最小。txyt二。 、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4 分，否则一律得零分。15
18、已知直线 平行，则 K 得值是1 2:(3)(4)10,:(3)20,lkxkylkxy与（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （A） 1 或 3 （B）1 或 5 （C）3 或 5 （ D）1 或 2 【答案】C【解析】当 3 时， 30，此时两直线都平行于 轴，平行； k x当 3 时， ， 5k 1412)3(4kkk综上， 3 或 5【易错提醒】注意直线平行于坐标轴的情况16， 如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为 3 和 4，过直角顶点的侧棱长为 4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）【答案】B【解析】在 坐标平面后边“放堵墙”xoz【易错提醒】 是直角，所
19、以不能选 Dy17 点 P（4，2）与圆 上任一点连续的中点轨迹方程是 答（ ）24xy（A） （B）()(1)x 22()(1)4xy（C ） （D）22y【答案】A【解析】 （典型的代入法求轨迹） 。设中点坐标 ，圆上的动点 ，则有),(yxQ),(0yxP，代入圆的方程 整理得：242400yxyx242()(1)x18 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”. 根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 答（ ）（A）甲地：总体均为 3，中位数为 4 . （
20、B）乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0 .（C）丙地：中位数为 2，众数为 3 . （D ）丁地：总体均值为 2，总体方差为 3 .【答案】D344Ozyx44 4334 45(D)(C)(B)(A)【解析】甲地：总体均值为 3，中位数为 4，不能保证某些数据不超过 7，例如：0，0，0 ，2，4，4，4，4 ，4，8. （A）不符合乙地：例如，十个数据是：0，0 ，0，0 ，0，0，0 ，0，0 ，10 满足总体均值为 1，总体方差大于 0，但不能保证某些数据不超过 7，（B）不符合丙地：中位数为 2，众数为 3 ，不能保证某些数据不超过 7，例如0， 0，1，1，2 ，2 ，3 ，3
21、，3，10 ；（C）不符合故选 D 三解答题（本大题满分 78 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19 （本题满分 14 分）已知复数 （a、b ）(I 是虚数单位) 是方程 的根 . 复数ziR2450x（ ）满足 ，求 u 的取值范围 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3wui 25wz【解析】原方程的根为 1,2xi ,Rba、 iz 524)()(3( uuw 6220 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 .已知 ABC 的角 A、B、 C 所对的边分别是 a、b、c
22、，设向量 ，(,)mab， .(sin,)(,)pb（3） 若 / ，求证：ABC 为等腰三角形；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m m（4） 若 ，边长 c = 2，角 C = ，求 ABC 的面积 .3【解析】（1 ） ，nbsiBAai即 ，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径，2baR ab为等腰三角形ABC解（2）由题意可知 0，即mp0)2()(abab由余弦定理可知， 224()3ab2()30即 1)ab舍 去1sin4si32SC21 （本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 10 分 .有时可用函数w.w.w.k.s.5.
23、u.c.o.m 0.15ln,6,()4,axfx 描述学习某学科知识的掌握程度.其中 表示某学科知识的学习次数（ ） ， 表示x *xN()fx对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关.（1 ）证明：当 x 7 时，掌握程度的增长量 f（ x+1） - f(x)总是下降；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2 ）根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为（115，121,(121,127,(127,133.当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科.【解析】证明（1）当 时，7x04(1)(3)(fxfx而当 时，函数 单调递增，且7x(3)4
24、y故函数 单调递减(1)ffx当 时，掌握程度的增长量 总是下降x(1)(fxf(2)有题意可知 0.5ln0.856a整理得 .6ae解得 .13 分0.52.013.,20(1,71由此可知，该学科是乙学科14 分22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 8 分.已知双曲线 C 的中心是原点，右焦点为 F ，一条渐近线 m: ,设过点 A0， x+0y的直线 l 的方向向量 。(32,0)(1,)ekv（4） 求双曲线 C 的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （5） 若过原点的直线 ，且 a 与 l
25、的距离为 ，求 K 的值；/l 6（6） 证明：当 时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 .2k 6【解析】 （1）设双曲线 的方程为 2(0)xy，解额 双曲线 的方程为3221x（2 ）直线 ，直线:20lkxyk:0aky由题意，得 ，解得2|3|612（3 ） 【证法一】设过原点且平行于 的直线l:0bkxy则直线 与 的距离 当 时，lb23|,1kd6d又双曲线 的渐近线为Cx0y双曲线 的右支在直线 的右下方，b双曲线 右支上的任意点到直线 的距离大于 。l6故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为Ql【证法二】假设双曲线 右支上存在点 到
26、直线 的距离为 ，C0(,)xy6则0220|36(1)12kxyk由（1）得 203261ykxk设 ，3261t当 时， ；k20tkk221326163t k将 代入（2）得0ykxt220()4()0xt，,t2210,4,(1)0ktt方程 不存在正根，即假设不成立，(*)故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为CQl623.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分.已知 是公差为 d 的等差数列， 是公比为 q 的等比数列nanb（1）若 ，是否存在 ，有 ？请说明理由；31*,mN1mka
27、（2）若 （a、q 为常数，且 aq 0）对任意 m 存在 k，有 ，试求 a、qnb1mkb满足的充要条件；（3）若 试确定所有的 p,使数列 中存在某个连续 p 项的和式数列中1,3nnn的一项，请证明.a【解析】 （1）由 得 ，1,mka631k整理后，可得 423、 ， 为整数kN不存在 、 ，使等式成立。n（2 ）当 时，则1m2312,kkbaq即 ，其中 是大于等于 的整数3,kaqc反之当 时，其中 是大于等于 的整数，则 ，c ncbq显然 ，其中1211mcmckbq21m、 满足的充要条件是 ，其中 是大于等于 的整数aa（3 ）设 12mmpkb当 为偶数时， 式左边
28、为偶数，右边为奇数，p(*)当 为偶数时， 式不成立。由 式得 ，整理得(*)13()21mpk13()42mpk当 时，符合题意。p当 ， 为奇数时，31(2)pp0121212pppppCCp 由 ，得13()4mk12221ppCCk 当 为奇数时，此时，一定有 和 使上式一定成立。m当 为奇数时，命题都成立。上海 （数学文）参考答案一、填空题1. 2.1 3. 4.31x 83x2,1xy5 6.2 7.-9 8.arctn 839. 10. 11. 12.326125713.14 14（3，3）二、选择题题号 15 16 17 18代号 C B A D三、解答题19.解：原方程的根为
29、 1,2xi,abRziQ、 2(3)()4526wuu20 题。证明：（1 ） /,sini,maAbBv即 ，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径，2abR ab为等腰三角形ABC解（2）由题意可知 /0,(2)()0pabuv即ab由余弦定理可知， 224()3ab2()30即 1)ab舍 去1sin4si32SC21 题。证明（1 ）当 时，7x0.4(1)(3)(fxfx而当 时，函数 单调递增，且7x34y)故函数 单调递减(1)(ffx当 时，掌握程度的增长量 总是下降x(1)(fxf(2)有题意可知 0.15ln0.856a整理得 .6ae解得 .13 分0.52.013.,
30、20(1,71由此可知，该学科是乙学科14 分22 【 解 】 （1）设双曲线 的方程为C2()xy，解额 双曲线 的方程为3221（2 ）直线 ，直线:20lkxyk:0akxy由题意，得 ，解得2|3|612（3 ） 【证法一】设过原点且平行于 的直线l:0bkxy则直线 与 的距离 当 时，lb23|,1kd6d又双曲线 的渐近线为Cx0y双曲线 的右支在直线 的右下方，b双曲线 右支上的任意点到直线 的距离大于 。l6故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为Ql【证法二】假设双曲线 右支上存在点 到直线 的距离为 ，C0(,)xy6则0220|36(1)12kxyk由（1）
31、得 203ykxk设 ，23261t当 时， ；k20tkk2213261603ktkk将 代入（2）得0yxt220()4()xt，,kt2210,4,(1)0ktt方程 不存在正根，即假设不成立，(*)故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为CQl623 【 解 】 （1）由 得 ，1,mka631k整理后，可得 423、 ， 为整数kN不存在 、 ，使等式成立。n（2 ）当 时，则1m2312,kkbaq即 ，其中 是大于等于 的整数3,kaqc反之当 时，其中 是大于等于 的整数，则 ，c ncbq显然 ，其中1211mcmckbq21m、 满足的充要条件是 ，其中 是大于等于 的整数aa（3 ）设 12mmpkb当 为偶数时， 式左边为偶数，右边为奇数，p(*)当 为偶数时， 式不成立。由 式得 ，整理得(*)13()21mpk13()42mpk当 时，符合题意。p当 ， 为奇数时，331(2)pp0121212pppppCCp 由 ，得13()4mk12221ppCCk 当 为奇数时，此时，一定有 和 使上式一定成立。m当 为奇数时，命题都成立。
