1、2017-2018 学年度第一学期高三期末自主练习理科数学一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为 ,集合 , ,则 ( )R1,24M230NxRMCNA. B. C. D.1,2, 412x2.已知 ,则下列不等式成立的是( )01baA. B. C. D.112ab22lglab1lgab3.已知函数 ,则 ( )1,0sin,2xef0fA.0 B.1 C. D.e1e4.已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则数列 的公差为( )nanS2315SnaA.3 B. C. D.645.若将函数 的
2、图象向左平移 个单位长度,所得图象关于原点对称,si2fx0则 的最小值是( )A. B. C. D.8438346.在区间 上随机取一个数 ,则事件“ ”发生的概率为( )0, x2sincoxA. B. C. D.12137137.函数 的图象大致为( )2cosyxA B C D8.在 中,已知 , , , 分别为 的三等分点,BC AC1AB3,MNBC则 ( )MNA. B. C. D.10920989839.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于( )A. B.18 C.20 D.241210.已知 , 为双曲线 的两个焦点,若双曲线上存在点1,0Fc2, 210,xy
3、ab使得 ,则双曲线的离心率的取值范围为( )PA. B. C. D.1,2,2, 3,11.数列 , 的前 项和分别为 , ,记 ,若nabnnST*nnnncaTbSaN, ,则数列 的前 2018 项和为( )2018S2018TcA.2017 B.2018 C. D.2018201912.定义在区间 上的函数 , 是函数 的导函数,若存在 ,使,abyfxffx,ab得 ,则称 为函数 在 上的“中值点”.下列函数:fbfff,ab; ; ; .其中在区间 上至sinfxxfeln3fx31fx2,少有两个“中值点”的函数的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题(每题 5
4、 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13. 的展开式中 的系数是_.(用数字作答)2xy3xy14.设变量 满足约束条件 ,则 的最小值为_.,203xy2zxy15.中国古代数学经典九章算术中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鐅臑.若三棱锥 为鐅臑,且 平面 , , , ,该鐅臑的外接球的PABCPABC2PA3BAC表面积为 ,则该鐅臑的体积为_.2916.过抛物线 的焦点 的一条直线交抛物线于 , 两点,给0ypxF1,xy2,Bxy出以下结论: 为定值;12y若经过点 和抛物线的顶点的直线交准线于点 ,则 轴;ACBx存在这样的抛物线和直线 ,使得 ( 为坐标原点);ABO若
5、以点 , 为切点分别作抛物线的切线,则两切线交点的轨迹为抛物线的准线.B写出所有正确的结论的序号_.三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知函数 .22133cossin42fxxx(1)求函数 在区间 上的最大值及相应的 的值;f0,(2)在 中,若 ,且 ,求 的值.ABC 12fAfBCA18.某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 依次为X1,2,3,8,其中 为标准 , 为标准 .已知甲车间执行标准 ,乙车间执5X3XA行标准 生产该产品,且两个车间的产品都符合相应的执行标准.B(1)已知甲车间的等级
6、系数 的概率分布列如下表,若 的数学期望 ,求 的1 116.4EX,ab值;1X5 6 7 8P0.2ab0.1(2)为了分析乙车间的等级系数 ,从该车间生产的火腿中随机抽取 30 根,相应的等级系数2X组成一个样本如下:3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7用该样本的频率分布估计总体,将频率视为概率,求等级系数 的概率分布列和均值;2X(3)从乙车间中随机抽取 5 根火腿,利用(2)的结果推断恰好有三根火腿能达到标准 的概率.A19.已知四棱锥 , 平面 ,底面 为直角梯形, ,SABCDSABCDBDC, ,
7、 , 是 中点.90DAB 23MS(1)求证: 平面 ;CM SAD(2)若直线 与平面 所成角的正切值为 , 是 的中点,求二面角 的B32FSCCAFD余弦值.20.已知点 是椭圆 的左右顶点,点 是椭圆的上顶点,若该椭圆,A2:10xyLab的焦距为 ,直线 , 的斜率之积为 .23CB14(1)求椭圆 的方程;(2)是否存在过点 的直线 与椭圆 交于两点 ,使得以 为直径的圆经过点 ?1,0MlL,PQC若存在,求出直线 的方程,若不存在,说明理由.l21.已知函数 .nafxxR(1)求函数 的单调区间;f(2)若存在 ,使 成立,求整数 的最小值.1x1xfa22.已知曲线 的参
8、数方程为 ( 为参数),以直角坐标系的原点为极点,C15cos2inxy轴正半冷眉冷眼为极轴建立极坐标系.x(1)求曲线 的极坐标方程,并说明其轨迹;(2)若曲线 的极坐标方程为 ,曲线 与 相交于 两点,求线段 的1C3sincoC1,ABAB长度.23.已知函数 , .21fx123gxax(1)当 时,求 的解集;5af(2)若存在实数 使得 成立,求实数 的取值范围.xfgxa2017-2018 学年度第一学期高三期末自主练习理科数学参考答案一、 选择题C D B C C C A B D C B B二、 填空题13. 14. 15. 16.1204三、 解答题17. 解:(1) 1co
9、s21cos(2)133xxfx . sin2cosin由于 , ,所以当 即 时,0x233x32x51x取得最大值,最大值为 1. f(2)由已知, 、 是 的内角, ,且 ,ABCAB2ffB可解得 , . 4712所以 , 6C得 . sinBA18. 解:(1) 即 1()502780.164EXab74.6ab又 ,即 0.2.ab.联立得 ,解得 . 674.0304b(2)由样本的频率分布估计总体分布,可得等级系数 的分布列如下:2X2X3 4 5 6 7 8P0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1,8.410.71.062.5.043.)(2 XE即乙车间的等级系数的
10、均值为 . 8(3) . 3251()PC(4)19. (1)证明:取 中点 ,连接 ,SANDM,在 中, , , ,SABM/B21CN,/四边形 为平行四边形. CDN/又 平面 , 平面SSAD平面 . /A(2)由已知得: 两两垂直 , 以 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,ABDS,ABDSxyz建立如图所示的空间直角坐标系, 平面 ,,S就是 与平面 所成的角. MASAB在 中, ,即 ,RtD3tan232DM设 ,则 , 2B1C中, 为斜边 中点,SAtSB4. 342则 , , ,(0,)(,0)(1,),(03,)CD(0,23)S1(,3)2F所以 , . (0,3)
11、,(1,30)ADC13(,)2AF设 是平面 的一个法向量,则1,xyzm,令 ,得 .113002AyFxz1y(3,10)m设 是平面 的一个法向量,则2(,)yznADF,令 . 22300130ADFxyz21z23,01n.6cos,mn二面角 的余弦值为 . EAFC3120. 解:(1)由题意可知, , ,c,ACBbka有 , 24ba即 ,又 ,222bc解得 ,所以椭圆 的方程为 . ,1C214xy(2)存在;以 为直径的圆经过点 可得, ,若直线 的斜率为 ,则 为点 ,此PQPQl0,AB,PQ时 ,此时 不垂直,不满足题意,可设直22(3)45cos 03ACB,
12、CP线 的方程为: ,联立 ,消 可得, ,l1xmy21xyx2(4)30my则有 . 1243y设 ,由题意可知 ,因为 ,12(,)(,)PxyQ120xCPQ则 ,即 ,Ck12yx整理可得: , 2112()()0m将代入可得: ,234m整理得 ,解得 或者 ,250153所以直线 的方程为: 或 . lxy0xy21. 解:(1)由题意可知, , ,022()1axaf 方程 对应的 ,20xa14a当 ,即 时,当 时, ,4(,)x()0fx 在 上单调递减; ()fx,)当 时,方程 的两根为 ,104a20xa142a且 , 14此时, 在 上 ,函数 单调递增,()fx
13、+2a( , ) ()0fx()fx在 上 ,函数 单调递减;14140,( , ) , ff当 时, , , a02a02a此时当 , 单调递增,14(0,),(xfx()f当 时, , 单调递减; ,2a0ffx综上:当 时, , 单调递增,当 时, 014(,)2ax(f 14(,)2ax单调递减;()fx当 时, 在 上单调递增,104a()fx14+12a( , )在 上单调递减;,)2( , ) ,当 时, 在 上单调递减; 14a()fx0,)(2)原式等价于 ,1ln21ax即存在 ,使 成立x设 , ,ln2()1gx则 , 2l()x设 ,)lnh则 , 在 上单调递增1(
14、0xx()hx1,)又 ,根据零点存在性定理,3)l2l3,4ln2ln0可知 在 上有唯一零点,设该零点为 , 则 ,且(h,)0x0(3,4)x,即 ,00)lnxx02lx mi 1(g由题意可知 , 又 , , 的最小值为 . 0ax0(3,4)aZ522. 解:(1)曲线 的普通方程为 所以曲线 是以 为圆心,C)2(12yxC)2,1(为半径的圆。将 代入式并化简得 所以曲线 的极5sincoyx sin4co坐标方程为 . 42(2)由题意得,曲线 的直角坐标方程为 .所以圆心 到直线 的距离为1C03yxC1所以 . d25|AB23. 解:(1)当 时,原不等式可化为 ,等价于a6|32|1| x