1、1第一讲：曲线运动、抛体运动 1一.物体做曲线运动时，在各点的速度方向，曲线运动的条件： .2二.物体在平面上运动的合成和分解： .2三.平抛运动： .2四.斜抛运动： .2五.类平抛运动： .3第二讲圆周运动 4一.质点的运动轨迹是圆，叫做圆周运动。 .4二.向心加速度 .5有关圆周运动的概念的深化理解： 6小结： 7第三讲 向心力 71.向心力的大小： .72.匀速圆周运动和变速圆周运动的向心力： 73.变速圆周运动及一般曲线运动的处理方法： 7第四讲 万有引力与航天 9一.行星的运动：了解人类认识行星运动的过程，到 17 世纪进入科学时代，由开普勒总结出行星运动的三个定律。 9二.中学物
2、理处理天体运动问题的方法：把行星运动近似作为匀速圆周运动，因此关于匀速圆周运动的所有公式都可用，只是增加了以万有引力作为向心力这一新知识。 10三.万有引力定律：这个定律是从对天体运动由运动学和动力学相结合推导出来的结果，但是却适用于一切物体之间。 21rmGF。G 叫做引力常量，可取 G=6.6710-11N.m2/kg2。 10四.万有引力定律的应用： 10五.宇宙航行 .10第五讲 万有引力与航天练习.11-142第一讲：曲线运动、抛体运动一.物体做曲线运动时，在各点的速度方向，曲线运动的条件：物体做曲线运动时，正是由于速度不断改变才形成曲线的轨迹。各点的速度方向是曲线上该点的切线方向。
3、不论速度的大小发生变化还是速度的方向发生变化，都是需要外力作用在物体上迫使它产生加速度，要使物体改变速度方向，外力（合力）方向不能与速度在同一直线上（即必须有垂直于速度方向的分力） 。或者说，质点所受合力与速度方向不在一直线上，质点才能做曲线运动。二.物体在平面上运动的合成和分解：高中物理研究的曲线运动，仅限于在一平面中的曲线运动。在数学上，平面上的一个点可以用X、Y 的坐标值来表示。物理上表示质点（物体）的位置也可以用 X、Y 的坐标值。在物理上，X、Y 坐标的方向总是根据问题的实际情况来确定的，例如 P.5 图 5.2-1 的运动可用图 5.2-2 的坐标并写出 x=vxt； y=vyt。
4、表达质点在 t 时刻时位置。作为物理题，至此已满足要求。这两个方程式叫做“参数方程式” ，t 叫做参变量，由于 x、y 两个分运动是同时进行的，t 是相等的。只要给出各个t 值就可以得到相应的 x、y 值，画出质点的运动轨迹。但是在数学上，我们更希望看到 y=f（x）的函数方程式，这样可以直接看出轨迹的种类。为此，由一式解出 t，代入另一式消 t 即可。在上例中，质点在 x 方向和 y 方向的运动是各自独立的，叫做 x 方向的分运动和 y 方向的分运动，它们同时进行，产生的结果就是合运动。已知分运动中的 vx、v y 及 t，不但可以求分运动中的x、y，还可以求合运动中的位移 X 及速度 V用
5、矢量和的方法。这就是运动合成。相反，把一个合运动的位移、速度分解到 x、y 方向，就是运动分解。已知分运动矢量（例如 vxvy）求合矢量用勾股定理及合矢量与 x 分矢量夹角的正切表示。已知合矢量求分矢量实际就是求在 x、y 方向的投影，用夹角的余弦及正弦。三.平抛运动：只受重力作用（空气阻力可以忽略时） ，物体以水平方向的初速度抛出后所做的运动，叫做平抛运动。平抛运动实际是水平方向以 v0 作匀速直线运动、同时竖直方向作自由落体运动。因此 x= v0t，y= ； vx= v0， vy=gt，显然合速度的大小和方向是随时间变化的。当已知 y 时可用 vy 21gt2=2gy 直接求 vy。四.斜
6、抛运动：斜抛可分为斜向上抛及斜向下抛，初速度方向在第一、二象限为斜向上抛，初速度方向在第三、四象限为斜向下抛。处理斜抛的方法是把初速度 v0 分解为 v0x 及 v0y，于是变为水平方向以 v0x 作匀速直线运动，竖直方向以 v0y 作上抛或下抛运动。3五.类平抛运动：设想物体在竖直方向除受到重力外，还受到一个与重力方向相反并且比重力大的一个恒力时物体将怎样运动？例如飞机起飞的过程就是这种情况。我们叫做类平抛运动。在这种运动中，是合力产生加速度，它的大小可以用牛顿第二定律求出。合力为恒力并与初速度垂直的运动是类平抛运动。例 1 河水向东流速为 2m/s，河宽为 400m，若船相对于水的航速是
7、4m/s，船向什么方向航行过河时间最短？船被冲向下游的距离是多少？若船垂直于岸过河，应向何方向航行？航行时间是多少？例 2.图1A 汽车经过两个定滑轮牵引物体 M，图 1B 仅用一个定滑轮牵引物体，若车的速度相同，物体上升的速度各是多少？绳的拉力是否等于物重？忽略绳子质量及摩擦。分析：A 装置物体上升的速度与车速大小相等，当车匀速前进时，物体以相同的速率上升，物体受到的合力为 0，T-Mg=0，T=Mg；B 装置物体上升的速度大小仅是 v车速的一个分速度的大小，如图 C 所示 ， C vcos物体上升的速率小于车速。由于随着车的移动， 角变小，COS 变大，物体必产生加速度。 A B答；A 装
8、置物体上升速率等于车速， T=Mg。 图 1 B 装置物体上升速率小于车速为 vcos，T=Mg+Ma例 3 如图 2 所示，工人通过定滑轮拉物体，已知物体质量为 100kg，与地面间的摩擦因数为0.1。1.当 =30 0时工人要用多大的拉力才能拉动物体？g=10m/s 22.若此时拉绳的速度是 v，物体移动的速度是多少？3.若拉绳的速度是不变的，物体移动的速度是否变化？ v工人应当怎样用力才能使物体继续移动？ F FN 解：1.对物体做受力分析如图， f物体受到重力 mg，支持力 FN ，拉力 F，摩擦力 f， 图 2把拉力 F 分解为竖直向上和水平向左的两个分力 ， mg分别列 y 方向及
9、 x 方向的平衡方程：F N +Fsin=mg，F N =mg-Fsin；Fcos=f=F N =（mg-Fsin）=mg-Fsin解之得 F=mg/cos+sin=100/0.866+0.05=109.2N。要拉动物体，用力要大于 109.2N。2 对物体的运动进行分析，当物体向左运动时绳子头部同时有两个互相垂直的分运动，一个是绳子的 v，另一个是垂直于 v 的 v1，车的速度实际是它们的合速度 v2。 （注意：这和力的分析方向不同）v= v 2cos，v 2=v/cos。3.随着物体左移 角变大，cos 变小，则 v2变大。物体做加速运动，工人用力必须随着增大。例 4.山高 45m，山顶离
10、山脚的水平距离 9m，若想水平投出的手榴弹在到达山脚时爆炸，则投4出的速度必须是多少？经过的时间是多少？到达落点时速度是多少？（为计算方便 g 取 10m/s2）解：1.竖直方向作自由落体运动， y= ，t= =3s。 （答 2） vy=gt=103=30m/s，21gty2.水平方向作匀速运动，x= v 0t，v 0=x/t=9/3=3m/s（答 1）3.v2 = v02 + vy 2，v y= （答 3）sm/.39例 5.平抛运动和自由落体有什么相同？有什么不同？斜抛（通常指斜向上抛）与平抛有什么相同？有什么不同？说“平抛运动是加速度恒为重力加速度的曲线运动” ；说“加速度恒为重力加速度
11、的曲线运动是平抛运动”都对吗？练习 1.如图三所示，一个物体自倾角为 的固定斜角顶端沿水品方向抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角 满足A、tan=sin B、tan=cos （2011 北京西城）C、tan =tan D、tan =2tan 图 3练习 2.如图 4 所示，飞机在离地面高 H 的 A 点，以水平方向的速度 v1 投下炸弹，欲轰炸地面的目标 C 点，地面的拦截系统发现后，经 0.1s 由 B 点竖直向上以 v2 的速度发射炮弹拦截。试问：1.要投弹命中目标，v 1=？2.要拦截成功 v2=？（不计空气阻力）AH0 B C x2 x1月份 图 4第二讲圆周运动一
12、.质点的运动轨迹是圆，叫做圆周运动。1.线速度：表示质点在圆周上移动的快慢，即移动的弧长与经过时间之比。方向为切线方向。V=l/t，单位为 m/s。2.匀速圆周运动：如果质点的线速度大小是不变的，则叫做匀速圆周运动。质点转动一周的弧长为 2r ，所用时间为一周期（用 T 表示） ，故 V=2r/T 。3.角速度：表示质点转动的快慢，即质点到圆心的转动半径转过的角度与经过时间之比。方向用“右手螺旋法”表示。用 表示角速度，=/t。对于匀速圆周运动，质点转动一周的角度是 2 弧度，所用的时间是 T，故 =2/T。对于匀速圆周运动角速度大小和方向都是不变的。54.线速度与角速度的关系：比较线速度与角
13、速度的公式，可以看出 V=r。5.转速：这是一个技术上用来表示物体转动快慢的物理量，转速 n=转/秒（r/s）或 n=转/分（r/min）实际上转速就是物理学中的频率，知道了 n 取其倒数就得到周期。描述圆周运动为什么要用这么多物理量？因为它们各有各的用处。在分析不同问题时就需要选用不同的概念。例 1.摩削用的砂轮，都有规定的最大工作线速度，实际使用的线速度要小于此值。否则，使用时砂轮可能崩裂并飞向四方，这将发生伤害事故。试分析，在相同的转速下大砂轮和小砂轮哪个更容易坏？如果直径是 200mm 的砂轮能工作在 n=3000r/min 以下，那么直径是 400mm 的砂轮的转速不得达到多少？解：
14、1.V=2r/T=2rn，当 n 相同时则 Vr ，大砂轮边缘的线速度比小砂轮边缘的线速度大，因此大砂轮更容易坏。2.由题意，V 1=V2，2r 1n1=2r 2n2，n 2/n1= r1/ r2n 2= r1n1/ r2=2003000/400=1500r/min。例 2 在各种机械传动上常常使用齿轮传动来改变转速，例如钟表的分针转动一周时针转动 1/12周。它是在安装分针齿轮轴上安装一个半径较小的“分轮” ，让分轮带动旁边的一个半径较大的齿轮， （叫做“过轮” ）它们的半径比是 13（齿数比也是 13 ，例如 1236） ，显然，分轮转动一周，过轮只转动 1/3 周。过轮是一大一小固定在一
15、起同轴转动，用小过轮再带动时针轮，它们的半径比是 14（齿数比相同，例如 1040） ，这样，经过两次“ 小轮带大轮”传动过程，达到了分针转一周时针转 1/12 周的目的。 （时针轮轴是空心的管形轴，套在分针轴的外边，所以时针和分针轴心是相同的）请你打开一个钟表，观察并记录你所看到的数据。例 3.图 5 设 A 轮带动 B 轮及 C 轮，B 轮与 C 轮是固定 在一起的， BrA= rC，r B=3 rC 试比较 A，B ， C 三个轮缘的线速度和角速度大小。解：A 与 B 比较：V A VB， A B （自己填写） C AB 与 C 比较；V B VC， B C C 与 A 比较；V C V
16、A， C A 图 5 二.向心加速度1.向心加速度：我们知道，当加速度的方向和速度的方向相同时，质点的运动速度增大，反之，当加速度的方向和速度的方向相反时，质点的运动速度减小。由此可断定，质点做匀速圆周运动时，加速度的方向必然指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。2.向心加速度的大小：如图 6 所示，设想一个质点由 A 点到 B 点经过弧长 ，时间 t，同A时半径转过 角。质点的线速度分别为 VA 、V B，它们大小相等， VA VA 方向有变化，为了找到速度的变化量，可以把 VA 平移到 B 点， V B A从 VA 的矢尖到 VB 的矢尖作一矢量，即是速度变化量 V 。 VB （符合 的矢量
17、和的三角形定则，参看必修 1，P.65）在圆心角有 = /r（参看教材 P.15） ，当 很小时，AB 弧与 AB 弦近似相等，这个三角形与速度三角形相似， （形成角的两边相互垂直）得：6。 图 6rVtABa。rVABrV 2需要注意的是，a 是瞬时加速度，所以 AB 两点极近，a 的方向即 V 的方向必指向圆心。 （式中 VA =VB=V，故以 V 表示）a=V2/r 表示： “当线速度一定时，向心加速度大小和半径成反比；当半径一定时，向心加速度大小和线速度的平方成正比” 。 V=r ，a= V2/r= 2r。a= 2r 表示： “当角速度一定时，向心加速度大小和半径成正比，当半径一定时，
18、向心加速度大小和角速度的平方成正比” 。以上的两个表述，后半句容易理解，因为半径一定的一点，线速度和角速度是成正比的，两个说法是一致的。而对于前半句就难以理解，因为从字面表述上似乎是矛盾的。要想真正弄清楚必须结合具体条件才能理解。例 1.轮 A 与轮 B 啮合传动，如图 7，设 rA=2rB，试分析 A、B 轮缘 A B向心加速大小。此题的条件是线速度相等，应当用 a=V2/r 分析，故得 aB=2aA。 图 7 这个结果很容易理解，小轮比大轮转得快，速度方向变化的快，因此加速度大。如果硬要用a= 2r 来分析，由于小轮的角速度是大轮的 2 倍，平方后是 4 倍，而半径是大轮的二分之一，结果小
19、轮的加速度仍然是大轮的 2 倍。不过这要用双变量的式子来分析，就比较费事了。由此可见，两个表达式都是正确的。但是选择单变量的公式，分析时较简便。例 2 如果在上题的 A 轮上再安装一个同轴的 C 轮，r A=2rC，试分析 A、C 轮缘向心加速度的大小。（自己做）有关圆周运动的概念的深化理解：1.圆周运动并不一定是匀速的，如果是变速圆周运动，则切线方向还有加速度，叫做切向加速度，由于 V 是变化的，向心加速度大小也随之变化。中学只限于掌握匀速圆周运动。2.描述（匀速）圆周运动，给出了 线速度 V； 角速度 ； 半径 r； 周期 T； 转速（频 1 2 3 4 5率）n（f） ； 向心加速度 a
20、； 角度 或 。仅是物理量就有七个，有的物理量是第一次接触， 6 7有的物理量是用了新的单位，每个物理量都有与其它量的关系式，这么多东西都要掌握吗？是的，都是必须的。但是又各有侧重，必须在多次不同的应用中进行对比才能深化理解，逐渐掌握练习 1.弧度法是怎样定义角度单位的？V=r 是怎样导出的？如果角度仍沿用“度”作单位能导出这个关系式吗？练习 2.已知轮子的转速 n 能求出角速度大小吗？（理解：它们的名子不同，表示的实质是相同的，可以直接换算。又，能求出线速度大小吗？（理解：不指定 r 值无法求，可见，它们的实质是不同的，角速度的定义式是 表示的是 ，线速度的定义式是 ，表示的是 ） 。练习
21、3.周期 T，转速 n 各是怎样定义的？能直接换算吗？（理解：它们只是逆向表述而已，实质是相同的。 ）练习 4.向心加速度有两个基本公式，引入 n 或 T 又可各导出两个导出式，试推导之。7小结：1.了解一个概念产生的必要性，就容易记住它，为什么周角等于 2rad？（rad 通常不写出来）2.把实质相同、名称不同的概念配对记忆。既好记又容易联想换算。3.记住一、二个最基本的公式，其它的关系式通过联想导出，可以提高学习效率。第三讲 向心力我们已经知道，做圆周运动的物体有向心加速度。根据牛顿第二定律，外力是使物体产生加速度的原因。要产生向心加速度必有力作用在物体上这个力可能是一个力，也可能是几个力
22、的合力，我们把产生向心加速度的力叫做向心力。这是从作用效果上命名的，它是由具体的力来充当的。例如，要使一个小球在光滑的水平面上以 O 点为圆心做匀速圆周运动，你可以用一条细绳在 O点系住小球，或者以 O 为圆心放一个圆环把小球档住，让小球以绳长为半径或圆环的半径做圆周运动。前者是细绳的拉力提供了向心力，后者是圆环对小球的压力作为向心力。又如，用细线吊一小球，当小球以一定速率在水平面做圆周运动时，细线必偏离竖直方向一个角度，此时正是小球受到细线的张力与重力的合力作为向心力。从这三个例子中你可以体会到：向心力是产生向心加速度这个效果的力，在具体问题中是由一个具体力或几个具体力的合力充当的。前面已经
23、知道向心加速度和线速度及半径的关系式，如果又知道质点的质量，你能求出向心力表达式吗？1.向心力的大小：根据牛顿第二定律，F n=mv2/r，这是一个基本公式。引入 、n、T，又可得到几个导出式2.匀速圆周运动和变速圆周运动的向心力：匀速圆周运动切向速度大小不变，没有切向加速度，只有向心加速度及向心力，并且大小不变；变速圆周运动切向速度变化，有切向加速度又有向心加速度及向心力，且大小是变化的。3.变速圆周运动及一般曲线运动的处理方法：在变速圆周运动的具体位置，质点 m 有一定的速度，可以计算出它需要的向心力的大小，再根据质点的受力情况就可以分析出各个具体力的大小和方向。对于一般曲线运动，质点 m
24、 在曲线上各个位置，也各有一定的速度，并且各有一定曲率半径，因此也可以计算向心力，再分析质点受力情况也可以确定各个具体外力的大小和方向。8例 1 如图 8（1）所示，质量为 m 的小球用细线系于 O 点，当小球以速度 V O做圆周运动时，细线偏离竖直线 300。已知 m=0.1kg，O 点到球心距离 l=0.4m。求：1.细线中的张力 T；2.小球的线速度；3.小球的运动叫圆锥摆，求周期。 h解： 分析：将张力 T 分解为竖直分力 F1 及水平分力 F2，当 F1=mg 时，竖直方向 o受力平衡，此时 F2 充当向心力。如图 8（2） （1） 1.Tcos300=mg ，T=mg/cos30
25、0=0.19.8/0.866=1.13N。 T F 1 T 12.Tsin300=m v2/r ， / ：v 2 /rg=tan 300。v 2=rg tan 300。 2 2 1v2 =0.29.81.73/3=3.39/3=1.13，V=1.06m/s F 2 Fn3.V=2r/T，T（周期）=2r/V=23.140.2/1.06=1.19s 另解：也可以认为张力与重力的合力作为向心力。设偏角为 ，如图 8（3） mg mg1.cos=mg/T. ，T=mg/cos （同上） （2） 1（3）2.tan= F n/mg. ，F n =mg tan=m v2/r ，v 2 =grtan（同上
26、） 图 8 2 33.T=2r/V（同上）推论：1.T=mg/cos，当 =0 0 时，cos 0 0=1，此时 T=mg，当 90 0 时，cos 0，T ；2. v 2=gr tan，当 =0 0 时， r=0，tan=0，则 V=0，和 T=mg 是一致的，当 900 时，tan ，r l，V ，这是理论的推论，但是实际上由于线的承受力有限，V 达到某一速度时就断了，推论的结果也就不能成立了。在解物理题时，先根据题意写出一般表达式，不但可以代入具体条件求出具体结果，还可以通过讨论得到更全面的了解。这是物理学的重要方法。不过，推论时要注意边界条件。例 2.发电机转子的半径为 1m，当转速是
27、 3000r/min 时，转子外层每 kg 铜线需要的向心力是多少 N？（自己做）例 3 乘坐“过山车”是一项有惊无险运动，如果把自己当做质点，当速度是多大时自己受到的重力刚巧等于过顶点时所需要的向心力？（自己做）例 4.装在水平轴上在竖直面中转动的轮子，如果质量分布不均匀或轴不在轮心，当轮子转动时会带动整台机械上下振动，当转速大到一定值时，甚至能跳起来。试将偏心质量等效为以 r 为半径做圆周运动的质点，说明其中的道理及跳起的条件。 （自己做）练习 1.图 9 为皮带传动的示意图，r 1=20cm， r 2 =30cm，r 3=70cm，n 1=25/s 2则周期 T1= T2= T3= ；角
28、速度 1= 2= 3= ；3 2 1转速 n2= n3= 轮缘线速度 V1= V2= V3= ，向心加速度 a1= a2= a3= 。 图 9练习 2.地球绕太阳公转的周期是一年，近似看成圆形轨道，半径为 1.49108km，地球自转的周期是一天，半径是 6400km，地球公转的角速度是 ，自转的角速度是 ，公转的线速度是 ，自转的线速度在赤道是 在北京（北纬 400）是 。练习 3.为了保护环境，工厂在向空间排放含有灰尘的烟气前，要先经过“旋风除尘器” ，排除颗粒较大颗粒物，图 10 是其示意图，颗粒物从切线方向高速进入漏斗形的管道后，会下沉从下端排出，而烟气则从上端烟囱排出。你可以做一个模
29、拟实验：在脸盆中放半盆水，撒些砂粒，用手快速搅动使水旋转起来，过一会儿你会看到大些的砂粒集中到盆底中央了。用你9学习的圆周运动的知识分析，为什么会是这样？ 图 10练习 4.在以上例 1 中，设半径为 r 圆锥的高为 h，试导出以 h 表达的周期公式。这个公式说明了什么？练习 5.1 当车转弯时，左、右两个车轮的转速相同吗？你知道汽车的前轮和后轮有什么不同吗？你知道火车轮子的特点吗？参看教材 P.23 图 5.8-1、2 指出图的错误；2.参看图 5.8-3，设轨道距离为 L，内、轨高度差 h，研究图形中的边角比例关系，导出线速度的表达式。并结合实际作几点说明。练习 6图 11 所示，在水平圆
30、盘中心 O 点，固定一弹簧并连接一物体（可视为质点）m，设此时弹簧为原长 L。 ，倔强系数 K 质量可不计，物体与圆盘间摩擦因数 。试回答： 1.物体的最大线加速度是多少？ .O2.物体的角速度达到多大时弹簧仍为原长？ 3.物体的角速度在什么范围里，物体能在圆盘边做匀速圆周运动？ 图 11练习 7.图 12 所示，当小球以速度 v 沿圆锥形漏斗内壁水平地运动时，小球可在某一位置作匀速圆周运动。试研究其圆的半径大小与小球的质量及运动速度之间的关系。图 1210第四讲 万有引力与航天一.行星的运动：了解人类认识行星运动的过程，到 17 世纪进入科学时代，由开普勒总结出行星运动的三个定律。1.所有行
31、星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。2.对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 （面速度相等）3.所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。 kTa23有些问题可以用开普勒三定律直接求解，就无须用更麻烦的理论推导去解。二.中学物理处理天体运动问题的方法：把行星运动近似作为匀速圆周运动，因此关于匀速圆周运动的所有公式都可用，只是增加了以万有引力作为向心力这一新知识。三.万有引力定律：这个定律是牛顿对天体运动，以运动学和动力学相结合的方法，导出的结果，但是却适用于一切物体之间。 。G21rmF叫做引力常量，由卡文迪许测出，可取 G
32、=6.6710-11N.m2/kg2。四.万有引力定律的应用：1.对开普勒第三定律做理论研究：开普勒用了 20 年时间研究了第谷的上千个行星观测数据，总结出的第三定律是： ，k 为什么对所有行星都是一个相同的常量？对于中学生，我们暂Ta23且做近似证明，即以 r 替代 a，研究 。从理论上讲，行星做圆周运动所需要的向心力是太阳r23对行星的万有引力设 M 为太阳质量，m 为行星质量：式中 M 是太阳质量，故对（太阳的）所。GTr。TrvrGv 2322 4代 入 化 简 得有行星都是相同的常量。通过以上分析，既复习了圆周运动的知识和万有引力的知识又加深了对开11普勒定律的理解和记忆。2.计算太
33、阳质量：按照以上相同的思路可以计算中心天体的质量；式中 r 及 T 可从天文观测中得到。GM。TrmrMG2322 4代 入 化 简3.计算有卫星的行星的质量：思路与以上完全相同。教材 P38 计算地球质量是一个简便的方法，概念上不确切，误差不大，所以也算作一个方法。4.研究赤道、北极、北京的三点地球对物体的引力、重力、支持力向心力的关系。五.宇宙航行1.第一宇宙速度：近地卫星环绕地球运行的速度叫做第一宇宙速度。V1=7.9km/s2.第二宇宙速度：能克服地球引力，离开地球的速度，叫做第二宇宙速度。V2=11.4km/s3.第三宇宙速度：能克服太阳引力，离开太阳系的速度，叫做第三宇宙速度。V3
34、=16.7km/s+万有引力练习题知识及物理思想准备：一.在地面上的物体，位置在赤道上、任意纬度、两极三种情况下，物体受到的万有引力、向心力、重力、支持力之间的关系：设物体质量均为 m.，地球质量为 M，地球半径为 R.1.万有引力：大小相同、方向指向地心 O 点。 。2RmGF2.向心力：物体随着地球自转做圆周运动时，需要向心力。F 1=m 2r= m 2Rcos，由万有引力的一个分力提供。在赤道上 cos=1 ，物体需要的向心力最大， o在两极，r=0，不需要向心力。向心力的方向垂直于地球自转轴、指向圆心 o。3.重力：万有引力的另一个分力。F 2=mg。方向垂直于水平面、竖直向下。 O
35、4.支持力：物体受到重力向地面挤压，地面反作用于物体支持力 N。当N= F2 时，物体静止在地面上。综合以上可知：物体在赤道上重力最小，mg= G - m 2R，在两极重力最大，方向指向地心。M已知：地球自转的周期 T=24h=8.64104s，地球半径 R=6.4106m，可以算出 图 131Kg 物体向心力大小为 0.034N，而重力为 9.8N。这说明，忽略地球自转的影响，产生的误差仅千分之三。因此，一般计算时可以用重力代替万有引力。我们既要求从力的性质上能够加以区别，又要求在处理问题时能够灵活运用数量的近似关系。二.在低空中的物体，可以认为只受重力作用，使物体产生重力加速度，物体做自由
36、落体运动。但是在低空中物体环绕地球（地心）运动时，实质上是万有引力做为向心力，可以视为重力作为向心力，此时 g 变为向心加速度，不再是重力加速度。低空离地面高度 h 可忽略，以地球半径 R 为圆周运动半径，得到的线速度叫做环绕速度也叫做第一宇宙速度。三.高空中的卫星是一般状态的卫星，其运动规律有普遍性，同步卫星又是一特例，它有五个一定。12四.高中物理，处理行星及卫星运动的思路是相同的，关键是抓住“万有引力等于向心力” ，要善于根据题意及条件列出对应的向心力表达式，例如以 mv2/r 或 m 2r 表达？还是以 m（2/T） 2r 表达？由于天体运动计算中会迂到开平方或开立方，还须善于计算，才
37、能立于不败之地。五.关于月、地运行及探月问题要熟练掌握，因为是热点问题。练习题一.要想测算一个天体的质量，你有几种方法？试以地球为例，请加以说明。答：方法一，测定重力加速度再根据重力等于万有引力计算地球质量。mg=GmM/R2，M=g R 2/G。 式中 R 为地球半径，G 为引力常量=9.8（6.410 6） 2/6.6710-11=61024Kg。方法二：测定卫星的轨道半径及运行周期，根据万有引力等于向心力计算 M。GmM/r2=m4 2r/T2，M=4 2r 3/GT2。二.怎样求天体密度？答：=M/V，V=4R 3/3，引用以上两项 M 的算式即可得 =3g/4GR；=3r 3/G T
38、2R3。三.计算第一宇宙速度及周期。方法一：根据重力=向心力，mg=mv2/R，v= smgR/109.7.62104.8933方法二：根据万有引力=向心力，GmM/R2=mv2/R，v= sRGM /.56/1067./ 3324V=2R/T，T=2R/V=2R/ =5100s=85min（每 24 小时绕地球 17 圈）gR四.试研究高空卫星的运行速度、角速度、向心加速度、周期和轨道半径的关系。解：1.万有引力=向心力：GmM/r 2=mv2/r。v= rGM 1式表明，v 与半径平方根成反比，随着 r 的增大而减小。当 r=R 时 v 为第一宇宙速度。当 1题目未给 G、M 值时，我们可
39、以根据在地面上重力=万有引力，找出替代关系mg=GmM/R2，GM=gR 2。得：V= rgR2 2式在给出 R 及 h 时使用。r=R+h 22.=v/r= 。 式表明 随 r 的增大而减小。 323rgRG 3 33.a= v2/r=GM/ r2=gR2/ r2。 式表明，a 与半径的平方成反比。 4 4134.T= = = 式表明，T 随 r 的增大而增大。vr2GM323gRr 5 5总之，以上四个物理量都是以 r 为自变量的函数。这是一个极其重要的观念，是讨论所有卫星运动（卫星的变轨、追赶、对比等等）的理论基础。例如，在同一轨道上运行的、前后两颗距离不远的卫星 A、B。试问，B 怎样
40、才能追上 A？五.试计算地球同步卫星轨道的高度。解：已知这种卫星运行周期与地球自转周期相同角速度大小及方向相同，运行平面与赤道平面为同一平面，T=24h=8.6410 4s。由 式，T 2= 得： 5 23344gRh。GMhR或R+h= 解之 h=36106m（3600Km）。gRGMT23234或六.地球同步卫星运行速度是多少？为什么说地球同步卫星有“五个一定”？七.已知近地卫星周期为 T1，距离地面为 3 倍地球半径的高空卫星周期为 T2，求 T2/ T1。提示：1.用万有引力=向心力求解。2.用开普勒第三定律求解。八.已知近地卫星周期为 5100 秒求同步卫星轨道的高度。九.已知地球质
41、量是月球质量的 81 倍，地球半径是月球半径的 4 倍，地球的第一宇宙速度是7.9Km/s，求月球的第一宇宙速度。十.地球绕太阳运行的半长轴为 1.501011m，周期为 365d；月球绕地球运行的半长轴为143.82108m，周期为 27.3d，求太阳的所有行星的 K 日 = ，及所有地球卫星的 K 地 = 值23Ta23Ta十一.若月球绕地球运行的周期为 27d，一人造地球卫星运行的轨道半长轴为月球的 1/3，则此卫星的运行周期约为多少？十二.地球公转半径 R1，公转周期为 T1，月球绕地球运行的半径为 R2，公转周期为 T2，则 M/M与这些量之间的关系应为。十三.地面上重力加速度为 1
42、0m/s2，月球表面的重力加速度约为地球的 1/6，质量 60Kg 的仪器车，落到月球上以后，使车在光滑的水平轨道上产生 4 m/s2，的加速度需要推力是多少？将其匀速竖直提升时，需要多大的力？十四.行星 A 和 B，各有一个卫星 a 和 b 且均为低空卫星，已知二行星质量之比为 p，半径之比为 q，求二卫星的周期之比。15.“双星”是宇宙中两颗相距较近的天体，它们以两者的连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图 14 所示。试证明：根据观测所得它们之间的距离 L 及运行周期可以计算出双星的总质量及各自的质量，并说明圆心是它们的公共质心。M1 o M2图 1416.图 15 所示，A 为地球，
43、B 为在轨道上运行的空间站，C 为已进入同一轨道的补给飞船，试问：C 要想追上 B，应当怎样做？说明理由。 BAC15图 1517.天体运动计算中，有时会用到“估算”的方法。这是一种类型题。此类题所给出的已知条件，常常是不全的，需要你根据题意自行补充条件；既是估算，一般结果只要求一位有效数字，因此中间过程可用 2-3 位有效数字；计算中常常遇到某些特定值的运算以及开平方、开立方等等，要掌握一些技巧。（1）已知地球绕太阳公转轨道平均半径约为 1.51011Km，万有引力常量 G=6.6710-11Nm2/Kg2，试估算太阳的质量。（2）已知地球半径约为 6.4106m，月球绕地球的运动视为匀速圆周运动，估算月地间的距离。（3）已知地球半径约为 6.4106m，地球表面附近的重力加速度 g=9.8m/s2，万有引力常量G=6.6710-11Nm2/Kg2。 估算地球的平均密度。 地核的体积约为总体积的 16%，质量约为总质 ! 2量的 34%，估算地核的平均密度。
