1、概率论与数理统计习题解答 第二章随机变量及其分布 13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量 服从正态分布 ，求（1） ；（2）X)2,(N)8.56.1(XP)56.4(P解：(1) )4.3.()8.46.()8.1XP8950.3201981231.2( ,01,0,0,0 (2) )7.27.()5.()564 XPX()878.(1 1,01,01,0,0 .42932二、已知某种机械零件的直径 （mm）服从正态分布 规定直径在X)6.,(2N（mm）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率.解：设 表示这种机械零件的不合格品率，p则 )2.10(1)2.0(
2、PXP而 )26.012(66. XP()() 9540172故 045.9.1p三、测量到某一目标的距离时发生的误差 (m)具有概率密度X320)(4)(xexf求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 m 的概率解：三次测量中每次误差绝对值都超过 30 米可表为 3030 D第 三 次第 二 次第 一 次因为 ，所以由事件的相互独立性，有)4,20(N 31,01,033 )25.()25.()() PP.569.89.57. 3于是有8697)(0 DP米至 少 有 一 次 绝 对 值三 次 测 量 中 四、设随机变量 ，求随机变量函数 的概率密度（所得的概率分布称为对),(2NXXe
3、Y数正态分布） 解：由题设，知 的概率密度为 )(21)(2)( xexfxX从而可得随机变量 的分布函数为Y概率论与数理统计习题解答 第二章随机变量及其分布 )()()yePyYFXY当 时，有 ；此时亦有 0y0)(yY 0当 时，有dxeyXPyY ln2)(1)ln() 此时亦有 2)l1)(yYeyF从而可得随机变量 的概率密度为 .0,21;,0)(2)(lnyeyyfY五、设随机变量 与 独立， ， ，求：X),(1N),(2NY(1) 随机变量函数 的数学期望与方差，其中 及 为常数；baZ1 ab(2) 随机变量函数 的数学期望与方差Y2解：由题设，有 ； 从而有211)(,)(DE 22)(,)(DE(1) ；211 YEXYX2babababaZD(2) ；212 )()()(Y)()() 222 ( 2YEXYEDX)()(212121
