1、1高中阶段常见函数性质汇总函 数 名 称：常数函数解析式 形 式： f(x)=b (bR)图象及其性质：函数 f(x)的图象是平行于 x 轴或与 x 轴重合（垂直于 y 轴）的直线定 义 域：R值 域：b单 调 性：没有单调性奇 偶 性：均为偶函数当 b=0 时，函数既是奇函数又是偶函数反 函 数：无反函数周 期 性：无周期性函 数 名 称：一次函数解析式 形 式： f(x)=kx+b (k0, bR)图象及其性质：直线型图象。 |k|越大，图象越陡； |k|越小，图象越平缓；当 b=0 时，函数 f(x)的图象过原点；当 b=0 且 k=1 时，函数 f(x)的图象为一、三象限角平分线；当
2、b=0 且 k=-1 时，函数 f(x)的图象为二、四象限角平分线；定 义 域：R值 域：R单 调 性：当 k0 时，函数 f(x)为 R 上的增函数；当 k0 时，函数 f(x)的图象分别在第一、第三象限；当 k0 时，函数 f(x)为 和 上的减函数；)0,),(当 k0 时，函数 f(x)的图象caycdx分别在直线 与直线 形成的左下与右上部分；当 k0，在其定义域内下列函数为单调增函数的为 x(f （为常数） ； （ 为常数） ； ； ()yaf)yafx1()yfx2()yfx提示：借助复合函数的单调性.8函数 上的最大和最小值的和为 ，则 = (1)()log0,xxaf在 a2
3、提示： 是0,1上的增函数或减函数,故 ，可求得 =(0)1f19设 是定义在 上的单调增函数，满足()f()(),(3fxyfyf求：（1）f（1） ；（2）当 时 x 的取值范围.82fx解:(1) 令 可得 (2)又 2=1+1= 1xy0(39ff由 ,可得()8)()9因为 是定义在 上的增函数,f(所以有 且 且 ，解得：08x8x10求证:函数 在 上是增函数.()(0)af(,)a证明:设 则12x()ff12()()x1212()x121()xa当 时 , , ，所以12a01a0ff8所以函数 在 上是增函数.()(0)afx(,)a24 函数的奇偶性（考点疏理+典型例题+
4、练习题和解析）【典型例题】例 1 （1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A）偶函数的图象一定与 y 轴相交；函数 为奇函数的充要条件是 ；偶函数的图象关于 y()fx(0)f轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f（x）=0（xR） A1 B2 C3 D4提示：不对，如函数 是偶函数，但其图象与 轴没有交点；不对，因为奇函数的定义域21()fxy可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为 f（x）=0x（ ， ） ，a答案为 A（2）已知函数 是偶函数，且其定义域为 ，则（ ） 2()3fab 1,2aA ，b0 B ，b0 C ，b0 D ，b031a11a3提示：
5、由 为偶函数，得 b02()fx又定义域为 ， ， 故答案为 A,a()2a3（3）已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，则 ）在 R 上的()f x2()fx()fx表达式是（ ）A B C D 2yx(|)yx|y|2y提示：由 时， ， 是定义在 R 上的奇函数得：02()ff当 x0 时， ，2()(2)x ，即 ，答案为 D(0)()xf |f（4）已知 ，且 ，那么 f（2）等于 538fab(2)106提示： 为奇函数， ， ， ()8xx8f()81(2)6f（5）已知 是偶函数， 是奇函数，若 ，则 的解析式为f()g)(xg()fx提示：由 是偶函数， 是奇函数，可得
6、 ，联立 ，得：()xx 1f 1)(xg， 211()2f1)(2xf例 2判断下列函数的奇偶性：（1） ；(2) ；()xfx2()f9（3） ；（4） 2lg(1)|xf2(0)()xf解：（1）由 ，得定义域为 ，关于原点不对称， 为非奇非偶函数01, ()fx(2) ， 既是奇函数又是偶函数221xx()0fx()fx（3）由 得定义域为 ， ，20|x(1,),2lg(1)xf2lg(1)x 为偶函数22lg1()lg()xff(x（4）当 时， ，则 ，0x22()(f fx当 时， ，则 ，(综上所述，对任意的 ，都有 ， 为奇函数,x)fxff例 3若奇函数 是定义在（ ，1
7、）上的增函数，试解关于 的不等式：()f a2()40fa解：由已知得2(4)faf因 f(x)是奇函数，故 ，于是 2()fa2()(4)ff又 是定义在（ 1，1）上的增函数，从而()fx2341 3535aaaa或即不等式的解集是 (,2)例 4已知定义在 R 上的函数 对任意实数 、 ，恒有 ，且当 时，(fxxy()()fxyfx0x，又 ()0fx(1)3f（1）求证： 为奇函数；（2）求证： 在 R 上是减函数；（3）求 在 ，6上的最大值与x()f ()f3最小值（1）证明：令 ，可得 ，从而，f(0) = 00y()0()(fff令 ，可得 ，即 ，故 为奇函数yx()fxx
8、)(xf()fx（2）证明：设 R，且 ，则 ，于是 从而12,121212f12 212()()()()()0fffffxf所以， 为减函数x（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为 ，最小值为 (3)f(6)f()(2)12)12fffff634f10于是， 在-3，6上的最大值为 2，最小值为 -4()fx【课内练习】1下列命题中，真命题是（ C ）A函数 是奇函数，且在定义域内为减函数yxB函数 是奇函数，且在定义域内为增函数30(1)C函数 是偶函数，且在（ 3，0）上为减函数2D函数 是偶函数，且在（0，2）上为增函数yaxc提示：A 中， 在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定
9、义域不关于原点对称；D 中，当 时， 0a在（0，2）上为减函数，答案为 C2()2 若 ， 都是奇函数， 在（0，）上有最大值 5，则 在x(g()()2fxabgx()fx（，0）上有（ ）A最小值5 B最大值5 C最小值1 D最大值3提示： 、 为奇函数， 为奇函数)( )(2)(f又 有最大值 5， 2 在（0，）上有最大值 3fx 2 在 上有最小值3， 在 上有最小值1答案为 C()(,)()fx,0)3定义在 R 上的奇函数 在（0，+）上是增函数，又 ，则不等式 的解集为(fx(f()0xf（A）A （3，0）（0，3） B （，3）（3，+）C （3，0）（3，+） D （，
10、3）（0，3）提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解答案为 A4.已知函数 是偶函数， 在0，2上是单调减函数，则（A）()yfx()yfxA. B. (0)12f1()fC. D. ()0f 2)(0f提示：由 f（ x2）在0，2上单调递减， 在2，0上单调递减.fx 是偶函数， 在0，2上单调递增. 又 ，故应选 A.()y()fx(1)ff5已知 奇函数，当 （0，1）时， lg ，那么当 （1，0）时， 的表达式是fx()fxx()fxlg(1)提示：当 （1，0）时， （0，1） ， x()lgl()ff6已知 是奇函数，则 = 2008axf2log)(3207aa11提示：
11、， ，解得： ，经检验适合， 32(0)log0af11a207208a7若 是偶函数，当 0，+)时， ，则 的解集是xx()fx(1)fx|提示：偶函数的图象关于 y 轴对称，先作出 的图象，由图可知 的解集为， 的解集为 .|1(1)f|028试判断下列函数的奇偶性：（1） ； （2） ； （3） ()|2|fxx1)(xf 0)1(|)(xf解：（1）函数的定义域为 R， ，|2|2|f xf故 为偶函数()fx（2）由 得： ，定义域为 ，关于原点对称，20|3|10x且 1,0)(,， ，故 为奇函数221()xf2()()ffx()f（3）函数的定义域为(-，0)(0，1)(1，
12、+)，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数9已知函数 对一切 ，都有 ，若 ，用 表示 ()fx,yR()()fyfy(3)fa(12)f解：显然 的定义域是 ，它关于原点对称在 中，xf令 ，得 ，y0()fx令 ，得 ， ，x()0f()0f ，即 ， 是奇函数()fx ， 3a12(6)434f a10已知函数 是奇函数，又， ， ，求 、 、 的值.(),abcZ(1)2f()3fabc解：由 得 c=0. 又 ，得 ，fxf()x 而 ，得 ，解得 .(2)341312又 ， 或 .aZ0a若 ，则 b= ，应舍去； 若 ，则 b=1Z.Za .1,bc25 映射的概念、指
13、数函数作业本 A、B 卷 （练习题和解析）A 组1在 M 到 N 的映射中，下列说法正确的是（ D ）AM 中有两个不同的元素对应的象必不相同 BN 中有两个不同的元素的原象可能相同CN 中的每一个元素都有原象 DN 中的某一个元素的原象可能不只一个提示：M 中两个不同的元素对应的象可以相同， N 中的元素可以没有原象答案为 D2函数2(3)xya是指数函数，则有（ C）.12A 1a或 2 B 1a C 2a D 0a且 1提示：230得： ，答案为 C3已知2133321(),()abc，则下列关系中正确的是（ D ）A c B a C acb D 提示：32()，有()xy在 R 上为减
14、函数知 ，答案为 D 4xya在定义域内是减函数，则 的取值范围是（1，2）提示：由 01解得： a5若指数函数x在1,1上的最大值与最小值的差是 1，则底数 a提示：若 01a，则 1a，即 210a，解得： 51522与若 ，则 1即 2，解得：52与综上所述；5a6.比较下列个组数的大小：（1） 0.5与 0.46；（2） 0.8.451.5,()2.解：（1） .5.5且 .0.6， 0.50.46.（2） 0.81.64， 1.30.4， 1.5.() 1.6.5.32， 0.8.0.427.求函数 ()xy的值域及单调区间. 解：令 22(1)t，则 1t， ()3ty， 10()
15、3t,即 03y 函数 y的值域为 0,3.函数1()t在 R 上为减函数，当 x时，2x为增函数，当 1x时，2(1)tx为减函数 所给函数的增区间为 (,1，减区间为 ,.8已知函数2()fbc的对称轴为直线 ，且 (0)3f，比较 ()xxfbfa与的大小解：由题意： (0)3f， 2,3，2()fx， fx在 (0)上单调递增当 时， x，则xf；13当 0x时， 231x，则 (2)3xxff；当 时， x，则 B 组1设21()5,xxf它的最小值是（ ）AB 3 B 169D0提示：设 2(0)xt，得225()4ytt，当54t时， min916y2下列 f：MN 的对应关系中
16、,不是映射的是（C ）AM=| 9 ，N=0,1， f：取正弦BM=| ，N=1,1， ：取余弦CM=0,1,2，N=0, 1, 12， f：取倒数 DM =3,2,1,2,3，N=1,4,9,16， f：取平方提示：C 中，0 没有象3.函数 23xy的单调递增区间是（ D ） A、 ),( B、 0,( C、 ),2( D、 2,(提示： |21x, |t的减区间 就是所给函数的增区间.答案为 D4设 0a，使不等式 22135xxa成立的 x的集合是 |4x提示： ， 原不等式可以化为： 22135，解得 x5若 M=1,0,1 N=2,1,0,1,2从 M 到 N 的映射满足：对每个
17、xM 恒使 + ()fx是偶数, 则映射 f有_12_个提示： M中的元素 a与其在 N中的象 b的和为偶数，故 a为偶数时， b为偶数， a为奇数时， b为奇数，故符合条件的映射的个数为 231（个）6已知 9103xx，求函数()4()2xxy的最大值和最小值解 ：由 得： 90x，解得： 139x, 02x令()2xt，则 4t, 224()tt当1时， miny，此时， 1x；当 t时， maxy，此时， 0x7.若 0,ab，且 abc，求证：(1)当 1r时， rr ；(2)当 1r时， rrbc .证明： ,，且a+b=c， abc， 10,()rrrabcc，14（1）当 r时，1cbacrr，所以 rrabc；（2）当 时，rr，所以 rr.8.（1）已知mxf132)(是奇函数，求常数m的值；（2）画出函数 |xy的图象，并利用图象回答： k为何值时，方程| 31x k无解？有一解？有两解？解:（1）由 ()0f得：2031xxm,31xxm（2）当 0k时，直线 yk与函数 |xy的图象无交点,即方程无解；当 或 时, 直线 与函数 13的图象有唯一的交点，所以方程有一解； 当1时, 直线 与函数 |x的图象有两个不同交点，所以方程有两解.8
