1、第 1 页 共 5 页第 2 讲 1.1.2 集合间的基本关系学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用 Venn 图表达集合间的关系.知识要点：1. 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合 A 是集合 B 的子集（subset） ，记作 （或 ） ，读作“A 含于 B”（或“BBA包含 A”）.2. 如果集合 A 是集合 B 的子集（ ） ，且集合 B 是集合 A 的子集（ ） ，即集合 A 与集合 B的元素是一样的，因此集合 A 与集合 B 相等，记作
2、 . 3. 如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合 A 是集合 B 的真子集（proper subset） ，x记作 A B（或 B A）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set） ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质： ；若 ， ，则 ； 若 ，则 ；若 ，则BCAAB.例题精讲：【例 1】用适当的符号填空：（1）菱形 平行四边形； 等腰三角形 等边三角形.（2） ； 0 0； 0； N 0.2|xR解：（1） ， ；（2）=， ， ， .【例 2】若集合 ，且 ，求实数 的值.2|60,|10MxNxaMa解：由 ，因此， .2603x或 2,3M（i）若 时，
3、得 ，此时， ；aN（ii）若 时，得 . 若 ,满足 ，解得 .1a1a或 123a或故所求实数 的值为 或 或 .a023点评：在考察“ ”这一关系时，不要忘记“ ” ，因为 时存在 . 从而需要分情ABAB况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例 3】已知集合 A=a,a+b,a+2b，B=a,ax,ax2. 若 A=B，求实数 x 的值.解：若 a+ax2-2ax=0, 所以 a(x-1)2=0，即 a=0 或 x=1.2abx当 a=0 时，集合 B 中的元素均为 0，故舍去；当 x=1 时，集合 B 中的元素均相同，故舍去.若 2ax2-ax-a=0.2abx因为 a0，
4、所以 2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又 x1，所以只有 .12x经检验，此时 A=B 成立. 综上所述 .2x第 2 页 共 5 页点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第 2 练1.1.2 集合间的基本关系1.判断正误，并在题后括号内填“”或“”.(1)空集没有子集 （ ）(2)空集是任何一个集合的真子集 （ ）(3)任一集合必有两个或两个以上子集 （ ）(4)若 BA，那么凡不属于集合 a 的元素，则必不属于 B （ ）2.判断下列说法是否正确，并在题后括号内填“”或“”.(1)若 S1，2，3， A2，1，则 CSA
5、2，3 （ ）(2)若 S三角形， A直角三角形，则 CSA锐角或钝角三角形 （ ）(3)若 U四边形， A梯形，则 CUA平行四边形 （ ）(4)若 U1，2，3， A ，则 CUA A （ ）(5)若 U1，2，3， A5，则 CUA （ ）(6)若 U1，2，3， A2，3，则 CUA1 （ ）(7)若 U 是全集且 AB，则 CUA CUB （ ）3.集合 A x1 x3， xZ，写出 A 的真子集_.4.下列命题正确的序号是_.无限集的真子集是有限集 任何一个集合必定有两个子集自然数集是整数集的真子集 1是质数集的真子集5.以下五个式子中，错误的序号为_.10，1，2 1，33，1
6、0，1，2 1，0，2 0，1，2 06.判断如下 A 与 B 之间有怎样的包含或相等关系：(1)若 Axx2k1，kZ，Bxx2m1，mZ，则 A_B.(2)若 Axx2m，mZ，Bxx4n，nZ，则 A_B.7. A xR x3， UR，C UA_. A xR x3， UR，C UA_.已知 U 中有 6 个元素，C UA ，那么 A 中有_个元素.UR，Axaxb，C UAxx9 或 x3，则 a_，b_8.已知 A0，2，4，6，C UA1，3，1，3，C UB1，0，2，用列举法写出 B.*9.已知集合 P x x2 x60， Q x ax10满足 Q P，求 a 所取的一切值.第
7、3 页 共 5 页10.已知全集 U2，3， a22 a3， A2， a7，C UA5，求 a 的值.11.定义 ABxxA，且 xB，若 M1，2，3，4，5，N2，4，8，求 NM 的表达式.12.已知 IR，集合 Axx 23x20，集合 B 与 CRA 的所有元素组成全集 R，集合 B 与 CRA 的元素公共部分组成集合x0x1 或 2x3，求集合 B.答 案1 解：该题的 5 个命题，只有(4)是正确的，其余全错.对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集.对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲，当 x B
8、时必有 x A，则 xA 时也必有 x B.2 解：紧扣定义，利用性质求解相关题目.(2)(5)(6)正确，其余错误.第 4 页 共 5 页在(1)中，因 S1，2，3， A2，1，则 CSA3.(2)若 S三角形，则由 A直角三角形得 CSA锐角或钝角三角形.(3)由梯形及平行四边形构成的图形集合不一定是四边形的全部.如 既不是梯形，也不是平行四边形.(4)因 U1，2，3， A ，故 CUA U.(5)U1，2，3， A5，则 CUA .(6)U1，2，3， A2，3，则 CUA1.(7)若 U 是全集且 A B，则 CUACUB.评述：上述题目涉及补集较多，而补集问题解决前提必须考虑全集
9、，故一是先看全集 U，二是由 A 找其补集，应有 A(C UA) U.3 解：因1 x3， xZ，故 x0，1，2即 a x1 x3， xZ0，1，2真子集： 、1、2、0、0，1、0，2、1，2，共 7 个4 解：该题涉及到的是元素与集合，集合与集合关系.应是1 0，1，2，应是 0，1，2，应是 0，故错误的有，填.5 解：(1)因 Axx2k1，kZ，Bxx2m1，mZ，故 A、B 都是由奇数构成的，即 AB.(2)因 Axx2m，mZ，Bxx4n，nZ，又 x4n22n在 x2m 中，m 可以取奇数，也可以取偶数；而在 x4n 中，2n 只能是偶数.故集合 A、B 的元素都是偶数.但
10、B 中元素是由 A 中部分元素构成，则有 B A.评述：此题是集合中较抽象题目.注意其元素的合理寻求.6 解：由全集、补集意义解答如下：(1)由 UR 及 A x x3，知 CUA x x3(可利用数形结合).对于(2)，由 UR 及A x x3，知 CUA x x3，注意“”成立与否.对于(3)，全集中共有 6 个元素， A 的补集中没有元素，故集合 A 中有 6 个元素.对于(4)，全集为 R 因 A x a x B，其补集 CUA x x9 或 x3，则 A3， B9.7 解：因 xN， x10 时， x0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10A小于 10 的正奇数1，3，5，7，9
11、， B小于 11 的质数2，3，5，7，那么CUA0，2，4，6，8，10，C UB0，1，4，6，8，9，10.8 解：因 A0，2，4，6，C UA1，3，1，3，故 U A（C UA）0，1，2，3，4，6，3，1而 CUB1，0，2，故 B3，1，3，4，6.9 解：因 P x x2 x602，3当 a0 时， Q=x ax10 ， Q P 成立.又当 a0 时， Q x ax10 ，1a要 Q P 成立，则有 2 或 3， a 或 a . 1a 1a 12 13第 5 页 共 5 页综上所述， a0 或 a 或 a12 13评述：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论.本题易漏掉
12、 a0， ax10 无解，即 Q 为空集情况.而当 Q 时，满足 Q P.10 解：由补集的定义及已知有： a22 a35 且 a73，由 a22 a35 有 a4 或 a2，当a4 时，有 a73，当 a2 时 a79(舍)所以符合题条件的 a4评述：此题和第 4 题都用 CUA x x5，且 xA，有 U 中元素或者属于 A，或者属于 CUA.二者必居其一，也说明集合 A 与其补集相对于全集来说具有互补性，这一点在解题过程中常会遇到，但要针对全集而言.11 解：由题所给定义： N M x x N，且 x M8评述：从所给定义看：类似补集但又区别于补集， A B 与 CAB 中元素的特征相同
13、，后者要求 BA.而前者没有这约束，问题要求学生随时接受新信息，并能应用新信息解决问题.12 解：因 a x x23 x20 x1 x2，所以 CRA x x1 或 x2B 与 CRA 的所有元素组成全集 R,则 AB.B 与 CRA 的公共元素构成 x0 x1 或 2 x3，则x0 x1 或 2 x3 B在数轴上表示集合 B 为 A 及 x0 x1 或 2 x3的元素组成，即 B x0 x3.评述：研究数集的相互关系时,可将题设通过数轴示意,借助直观性探究,既易于理解.又能提高解题速度.上面提到的所有元素与公共元素是后面将要研究的交集、并集，就是BC RAR ， BC RA x0 x1 或 2 x3.
