1、高中数学教案 选修 2-2 第 3 章 复数1课 题：3.1 数系的扩充教学目的：1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位 i 奎 屯王 新 敞新 疆2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 奎 屯王 新 敞新 疆3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念( 复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 奎 屯王 新 敞新 疆 理解并掌握复数相等的有关概念 奎 屯王 新 敞新 疆教学重点：复数的概念，虚数单位 i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用 奎 屯王 新 敞
2、新 疆教学难点：虚数单位 i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位 i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的 .在规定 i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 奎 屯王 新 敞新 疆教具准备：多媒体、实物投影仪教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.教学过程： 学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由
3、于计数的需要，就产生了 1，2，3，4 等数以及表示“没有”的数 0.自然数的全体构成自然数集 N 奎 屯王 新 敞新 疆随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展 奎 屯王 新 敞新 疆为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集 Q.显然 N Q.如果把自然数集 (含正整数和 0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有 Z Q、N Z.如果把整数看作分母为 1 的分数，那么有理数集实际上就是分数集 奎 屯王 新 敞新 疆有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所
4、得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集 R.因为有理数都可看作循环小数( 包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集 奎 屯王 新 敞新 疆因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集 R 以后，像 x2=1 这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于1.由
5、于解方程的需要，人们引入了一个新数 ，叫做虚数单位.并由此产生的了复i数 奎 屯王 新 敞新 疆讲解新课：1.虚数单位 :i(1)它的平方等于-1，即 ; 2i(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. 与1 的关系: 就是1 的一个平方根，即方程 x2= 1 的一个根，方程 x2=1 的ii高中数学教案 选修 2-2 第 3 章 复数2另一个根是 ! i3. 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 奎 屯王 新 敞新 疆iii4.复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部(,)abRab 奎 屯王 新 敞
6、新 疆全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 C 表示* 奎 屯王 新 敞新 疆 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示，即 ，把复数表示成(,)ziRa+bi 的形式，叫做复数的代数形式 奎 屯王 新 敞新 疆4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：对于复数 ，当且仅当(,)abib=0 时，复数 a+bi(a、bR) 是实数 a；当 b0 时，复数 z=a+bi 叫做虚数；当 a=0 且b0 时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当 a=b=0 时，z 就是实数 0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那
7、么我们就说这两个复数相等 奎 屯王 新 敞新 疆这就是说，如果 a，b，c，dR ，那么 a+bi=c+di a=c，b=d 奎 屯王 新 敞新 疆 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 奎 屯王 新 敞新 疆 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如 3+5i 与 4+3i 不能比较大小 .现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 奎 屯王 新 敞新 疆 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 奎 屯王 新 敞新 疆 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 奎 屯王 新 敞新 疆 7. 复平面、实轴、虚轴：复数 z=a+bi(a、bR )与有序实数
8、对(a，b) 是一一对应关系 奎 屯王 新 敞新 疆这是因为对于任何一个复数 z=a+bi(a、bR)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对( a，b) 惟一确定，如 z=3+2i 可以由有序实数对(3 ，2) 确定，又如 z=2+i 可以由有序实数对( 2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点 A，横坐标为3，纵坐标为 2，建立了一一对应的关系 奎 屯王 新 敞新 疆 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数z=a+bi(a、bR)
9、可用点 Z(a，b) 表示，这个建立了b Z(a，b)aoyx高中数学教案 选修 2-2 第 3 章 复数3直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 奎 屯王 新 敞新 疆实轴上的点都表示实数 奎 屯王 新 敞新 疆 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0) ， 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 奎 屯王 新 敞新 疆在复平面内的原点(0，0)表示实数 0，实轴上的点(2，0) 表示实数 2，虚轴上的点(0，1)表示纯虚数i，虚轴上的点 (0，5)表示纯虚数 5i 奎 屯王 新
10、敞新 疆非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(2，3) 表示的复数是 2+3i，z=53i 对应的点( 5，3)在第三象限等等.复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点zabi 一 一 对 应 (,)Zab这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.讲解范例：例 1 请说出复数 的实部和虚部，有没有纯虚iii 53,123,数？答：它们都是虚数，它们的实部分别是 2，3，0， ;虚部分别是3， ， ， ; i 是纯虚数.21531
11、例 2 复数2i+3.14 的实部和虚部是什么？答：实部是 3.14，虚部是2.易错为：实部是2，虚部是 3.14！例 3 实数 m 取什么数值时，复数 z=m+1+(m1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？分析因为 mR，所以 m+1，m1 都是实数，由复数 z=a+bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定 m 的值 .解：(1)当 m 1=0，即 m=1 时，复数 z 是实数；(2)当 m10 ，即 m1 时，复数 z 是虚数；(3)当 m+1=0，且 m10 时，即 m=1 时，复数 z 是纯虚数 .例 4 已知(2x1)+i= y(3y)i，其中 x，yR，求 x 与
12、y.解：根据复数相等的定义，得方程组 ，所以 x= ，y =4 奎 屯王 新 敞新 疆)3(,225巩固练习：1.设集合 C=复数 ，A=实数 ，B=纯虚数 ，若全集 S=C，则下列结论正确的是( )A.AB=C B. A=B C.A B= D.B B=CSSCS高中数学教案 选修 2-2 第 3 章 复数42.复数(2x 2+5x+2)+(x2+x2)i 为虚数，则实数 x 满足( )A.x= B.x=2 或 C.x2 D.x1 且 x2113.已知集合 M=1，2，(m 23m1)+( m25m6) i ，集合 P=1，3.MP =3 ，则实数 m 的值为( )A.1 B.1 或 4 C.
13、6 D.6 或14.满足方程 x22x 3+(9y 2 6y+1)i=0 的实数对(x，y)表示的点的个数是_.5.复数 z1=a+bi，z 2=c+di(a、b、c、dR) ，则 z1=z2 的充要条件是_.6.设复数 z=log2(m23m3)+ilog 2(3m )(mR )，如果 z 是纯虚数，求 m 的值.7.若方程 x2+(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根，试求实数 m 的值.8.已知 mR，复数 z= +(m2+2m3) i，当 m 为何值时，1)(1)zR ; (2)z 是虚数； (3)z 是纯虚数；(4)z= +4i.答案：1.D 2.D 3. 解析：由题设知
14、 3M，m 23m 1+(m 25m6)i=3 ， m =1，故选 A.065132m64或或4. 解析：由题意知 ,01932yx3yx或点对有(3， )，( 1， )共有 2 个.答案：235. 解析：z 1=z2 a=c 且 b2=d2.答案：a=c 且 b2=d2|db6.解：由题意知 ,0)3(log2m031m ，m =1.42m且 2且或7. 解：方程化为(x 2+mx+2)+(2x+m)i=0. ，0x高中数学教案 选修 2-2 第 3 章 复数5x= ， m 2=8，m =2 .2m,0428. 解：(1)m 须满足 解之得：m=3.1,32(2)m 须满足 m2+2m30
15、且 m10，解之得：m 1 且 m3.(3)m 须满足 解之得：m=0 或 m=2.,)(2(4)m 须满足 解之得：m 奎 屯王 新 敞新 疆.431)(2 课后作业：课本第 105 页 习题 3.1 1 , 2 , 3教学反思：这节课我们学习了虚数单位 i 及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题 奎 屯王 新 敞新 疆 复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类 奎 屯王 新 敞新 疆
